क्या होता है जब मानक विचलन शून्य के बराबर होता है?

डेटा सेट का मानक विचलन या किसी निश्चित आबादी से नमूना एक वर्णनात्मक सांख्यिकीय पैरामीटर है जो उस सेट में मूल्यों के प्रसार को मापता है । यदि मूल्यों के एक सेट के औसत की गणना की जाती है, तो मानक विचलन औसत से सेट में मूल्यों के अंतर का मूल्यांकन करता है।

मानक विचलन एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या है। चूंकि शून्य एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या है, यह पूछने योग्य है कि मानक विचलन शून्य के बराबर कब होगा और इसका क्या अर्थ है। यह केवल एक विशेष मामले में होता है, जब डेटा सेट में सभी मान बिल्कुल समान होते हैं।

मानक विचलन

जब आपके पास एक डेटा सेट होता है, चाहे वह एक निश्चित आबादी का एक नमूना हो या किसी दिए गए सिस्टम द्वारा उत्पादित मूल्यों का एक सेट, दो प्रश्न तुरंत उठते हैं: हमारे पास मौजूद डेटा सेट को हम किस परिभाषित मूल्य से जोड़ सकते हैं और क्या है डेटा सेट का फैलाव डेटा सेट हम विश्लेषण करते हैं।

तथाकथित वर्णनात्मक आंकड़ों में अलग-अलग पैरामीटर हैं जो इन दो सवालों के जवाब तलाशते हैं। उस मान का मूल्यांकन करने के लिए जिससे हम डेटा सेट को जोड़ सकते हैं, हम औसत या अंकगणितीय माध्य, ज्यामितीय माध्य, हार्मोनिक माध्य, मोड, औसत श्रेणी या माध्यिका की गणना कर सकते हैं। इस मामले में हम औसत या अंकगणितीय माध्य का उपयोग करेंगे: n मानों के एक सेट का औसत उन सभी का योग है जो मानों की संख्या n से विभाजित होते हैं ।

एक सेट में मूल्यों के प्रसार का आकलन मानक विचलन, सीमा या इंटरक्वेर्टाइल रेंज की गणना करके किया जा सकता है। नीचे दिया गया चित्र मानक विचलन σ की गणना के लिए प्रयुक्त सामान्य सूत्र को दर्शाता है । शब्दों में व्यक्त: हम उस सेट के प्रत्येक मान से घटाते हैं जिसका हम विश्लेषण करते हैं, जिसे हम सबस्क्रिप्ट i के साथ नोट करते हैं , सभी मानों का औसत; हम इनमें से प्रत्येक अंतर का वर्ग करते हैं और उन्हें जोड़ते हैं; हम परिणाम को सेट माइनस 1 में मानों की संख्या से विभाजित करते हैं और इस मान के वर्गमूल की गणना करते हैं।

जिस प्रकार के डेटा का हम विश्लेषण कर रहे हैं, उसके आधार पर मानक विचलन की दो अलग-अलग परिभाषाएँ हैं। यह अंतर थोड़ा अलग गणना का अर्थ है। मानक विचलन की गणना जनसंख्या या नमूने पर की जा सकती है।

यदि जनसंख्या या सेट के सभी सदस्यों से डेटा एकत्र किया जाता है, तो जनसंख्या के मानक विचलन का उपयोग किया जाना चाहिए। यदि आप डेटा का विश्लेषण कर रहे हैं जो एक बड़ी आबादी से नमूने का प्रतिनिधित्व करता है, तो आपको नमूने के मानक विचलन का उपयोग करना चाहिए। गणना में अंतर यह है कि एक नमूने के मानक विचलन के मामले में, प्रत्येक मान और वर्ग औसत के बीच के अंतर को मानों की संख्या घटाकर 1 (n – 1) से विभाजित किया जाता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है । जनसंख्या के मानक विचलन के लिए, n से विभाजित करें ।

मानक विचलन शून्य के बराबर है।

इस तरह से गणना की गई मानक विचलन σ सेट में मूल्यों के प्रसार का मूल्यांकन करता है: इसका मूल्य जितना बड़ा होगा, प्रसार उतना ही अधिक होगा। Y हमेशा एक धनात्मक संख्या होती है, क्योंकि यह वर्ग मानों का योग है, इसलिए, सभी धनात्मक होंगे। तो सहज रूप से, यदि मानक विचलन का मान शून्य है तो प्रसार शून्य होना चाहिए। और यह तब होता है जब सेट के सभी मान मेल खाते हैं: कोई फैलाव नहीं होता है।

बदले में, यदि सेट में सभी मान मेल खाते हैं, तो औसत भी उस मान से मेल खाता है। औसत की पिछली परिभाषा के अनुसार, यदि समुच्चय के n मान समान हैं, तो n मानों का योग उस मान को n से गुणा कर देता है ; औसत की गणना करने के लिए इसे n से विभाजित करते समय , n के दोनों मान समाप्त हो जाते हैं और तब हमारे पास यह होता है कि औसत सेट के अद्वितीय मान के बराबर होता है। इस विवरण को एक समीकरण में विकसित करते हुए, यदि n समान मान हैं, जिसे x के रूप में व्यक्त किया गया है , तो औसत की गणना इस प्रकार की जाती है

( एक्स + एक्स + एक्स + एक्स + एक्स +… + एक्स ) / एन = एनएक्स / एन = एक्स

आइए देखें कि पहले वर्णित सूत्र के साथ मानक विचलन की गणना के साथ क्या होता है। उस सूत्र में, प्रत्येक मान x _{i ,} x के बराबर है , और बदले में औसत के बराबर है। इसलिए, जब औसत को प्रत्येक x _i मान से घटाया जाता है , तो परिणाम शून्य होता है। एक योग जिसके सभी योग शून्य के बराबर हैं, परिणाम भी शून्य होगा। और तब मानक विचलन का अंतिम परिणाम शून्य होगा।

हम पहले ही देख चुके हैं कि जब एक सेट में सभी मान समान होते हैं, तो औसत उस मान के बराबर होता है और मानक विचलन शून्य होता है। विपरीत स्थिति पर विचार करें: क्या मानक विचलन शून्य है यदि सेट में सभी मान समान हैं?

इसे जांचने के लिए, आइए देखें कि क्या होता है यदि केवल एक मान भिन्न होता है। इसका अर्थ यह होगा कि औसत अब सेट में सभी मानों के बराबर नहीं है और फिर मानक विचलन गणना के कम से कम एक जोड़ गैर-शून्य होगा: इसलिए, मानक विचलन शून्य नहीं होगा। चूंकि यह योग वर्ग में उठाए गए मूल्यों पर विकसित होता है, इसलिए सभी जोड़ सकारात्मक होते हैं और उनके लिए एक घटाव में मुआवजा देना संभव नहीं होता है। धनात्मक संख्याओं का योग शून्य होने का एकमात्र तरीका यह है कि सभी जोड़ शून्य हों; इसलिए, मानक विचलन के शून्य होने का एकमात्र तरीका यह है कि समूह के सभी मान माध्य के बराबर हों, और इसलिए एक दूसरे के बराबर हों।

दोनों तर्क एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति का गठन करते हैं: मूल्यों के एक सेट का मानक विचलन केवल तभी शून्य होता है जब सेट में सभी मान समान हों।

झरना

यदोलह चकमा। सांख्यिकी का संक्षिप्त विश्वकोश । न्यूयॉर्क: स्प्रिंगर, 2010।