Tabla de Contenidos
Trong thống kê, rất thường gặp phải các tình huống trong đó bạn muốn tính xác suất hợp nhất của một số sự kiện khác nhau. Ví dụ, chủ một cửa hàng kẹo có thể quan tâm đến việc xác định xác suất mà đứa trẻ tiếp theo bước vào cửa hàng của ông ta sẽ mua một thanh sô cô la trắng hoặc một thanh sô cô la sữa. Trong trường hợp này, chúng ta muốn xác định xác suất của một trong hai sự kiện có thể xảy ra, mà theo lý thuyết tập hợp, là xác suất hợp của cả hai sự kiện, hoặc P(AUB).
Trong trường hợp được mô tả, việc tính toán xác suất này chỉ đơn giản bao gồm tổng các xác suất riêng lẻ, trừ đi xác suất của giao điểm giữa cả hai sự kiện, nghĩa là:
Lý do xác suất giao điểm phải được trừ đi là bởi vì bằng cách cộng xác suất của cả hai sự kiện, bất kỳ giao điểm nào cũng được tính hai lần. Đây là một quá trình tương đối đơn giản để hiểu. Tuy nhiên, cũng có thể xảy ra trường hợp chúng ta muốn xác định xác suất kết hợp không phải của hai mà của ba biến cố trở lên. Nên làm gì trong những trường hợp như vậy? Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét một cách đơn giản để xác định công thức áp dụng trong trường hợp ba biến cố và bốn biến cố, sau đó chúng ta sẽ sử dụng các kết quả này, cùng với công thức trên, để khái quát hóa việc xác định xác suất hợp nhất cho bất kỳ số lượng sự kiện.sự kiện.
Đánh giá cơ bản
Để hiểu quy trình tính toán xác suất hợp nhất, cần nhớ lại ngắn gọn một số thuật ngữ quan trọng sẽ được sử dụng sau:
thí nghiệm . Trong xác suất, một thử nghiệm là bất kỳ quy trình nào có thể được lặp lại nhiều lần và luôn tạo ra kết quả. Mỗi thử nghiệm được liên kết với một tập hợp các kết quả có thể xảy ra nhất định sẽ luôn giống nhau.
Kết quả . Chúng ta sẽ gọi hệ quả của một thí nghiệm là kết quả, chẳng hạn như mặt cụ thể xuất hiện khi ném xúc xắc.
Không gian mẫu (S) . Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.
sự kiện . Bất kỳ tập hợp các kết quả có thể.
Sơ đồ Venn . Biểu diễn đồ họa cho thấy mối quan hệ giữa các tập hợp sự kiện và giữa xác suất của các sự kiện trong một thử nghiệm.
Xác suất hợp nhất của ba biến cố
Giả sử chúng ta tiến hành một thí nghiệm và muốn xác định xác suất xảy ra của một trong 3**3 ba sự kiện khác nhau, có thể xảy ra hoặc không xảy ra đồng thời. Ta sẽ gọi ba sự kiện này là A, B và C.
Trong những trường hợp này, một số tình huống khác nhau có thể xảy ra. Ví dụ: có thể xảy ra trường hợp không có sự kiện nào chia sẻ kết quả với bất kỳ sự kiện nào khác, trong trường hợp đó chúng ta nói rằng các sự kiện loại trừ lẫn nhau, điều này được minh họa trong sơ đồ Venn sau:
Các vòng tròn A, B và C đại diện cho ba sự kiện và kèm theo một tập hợp các kết quả trong không gian mẫu, là hình chữ nhật màu xám được xác định bằng chữ S. Trong những trường hợp này, xác suất hợp nhất được cho đơn giản bằng tổng xác suất của mỗi sự kiện. sự kiện riêng biệt:
Mặt khác, một trong các sự kiện cũng có thể chia sẻ kết quả với một trong hai sự kiện còn lại hoặc thậm chí với cả hai. Điều này được minh họa trong sơ đồ Venn dưới dạng các khu vực giao nhau.
Trong những trường hợp này, tổng các xác suất tính đến một số kết quả nhiều lần, vì vậy cần phải trừ đi những xác suất đã được tính vượt quá này. Nghĩa là, chúng ta phải trừ xác suất giao nhau giữa mỗi cặp sự kiện. Tuy nhiên, trong trường hợp có các kết quả xuất hiện trong cả ba sự kiện (chẳng hạn như các kết quả ở trung tâm của biểu đồ Venn ở trên), phép trừ các giao điểm của các cặp sẽ loại bỏ phần đóng góp của khu vực trung tâm mà các cặp giao nhau trong ba sự kiện. Vì lý do này, chúng ta phải cộng lại diện tích nhỏ này tương ứng với xác suất giao điểm của A, B và C.
Cuối cùng, xác suất hợp nhất của ba biến cố là:
LƯU Ý: Mặc dù biểu thức này được phát biểu cho trường hợp cụ thể khi ba biến cố cắt nhau, nhưng đây là dạng tổng quát hơn của trường hợp ba biến cố vì nó có thể được chuyển đổi thành xác suất hợp của bất kỳ bộ ba biến cố nào, cho dù chúng có cắt nhau hay không. hay không. Ví dụ, trong trường hợp các sự kiện loại trừ lẫn nhau, tất cả các xác suất giao điểm đều bằng 0, vì vậy biểu thức rút gọn thành tổng của các xác suất riêng lẻ được trình bày ở phần đầu của phần này.
Xác suất kết hợp của bốn sự kiện
Giả sử bây giờ chúng ta thực hiện một thí nghiệm mới và quan tâm đến xác suất hợp nhất giữa bốn sự kiện: A, B, C và D. Trường hợp tổng quát nhất là tất cả chúng có thể cắt nhau, như thể hiện trong sơ đồ sau:
Trong trường hợp này, tổng của bốn xác suất đơn giản được tính gấp bốn lần xác suất của các kết quả nằm trong khu vực I, ba lần xác suất của các khu vực II, III, IV và V, và hai lần xác suất của các khu vực VI, VII, VIII và IX. Để sửa lỗi này, trước tiên chúng ta phải trừ xác suất giao nhau của tất cả các cặp (A và B, A và C, A và D, B và C, B và D, và C và D). Đến lượt mình, điều này trừ đi quá nhiều lần các vùng giao nhau của mỗi nhóm ba (ABC, ABD, ACD và BCD), vì vậy các vùng này phải được cộng lại, v.v. cho đến khi tất cả các vùng được tính một lần.
Kết quả cho trường hợp bốn sự kiện, cho dù loại trừ lẫn nhau hay không, là:
Xác suất kết hợp của hơn bốn sự kiện
Cho đến thời điểm này, chúng ta đã có thể phát hiện ra một khuôn mẫu giữa các công thức cho xác suất hợp nhất của hai, ba và bốn biến cố. Tất cả chúng đều bắt đầu bằng tổng các xác suất đơn giản, sau đó trừ các xác suất giao nhau giữa tất cả các cặp sự kiện có thể xảy ra, sau đó cộng các xác suất giao nhau của từng nhóm ba sự kiện có thể xảy ra, v.v., lần lượt cộng và trừ các giao điểm giữa nhiều hơn và nhiều sự kiện hơn cho đến khi chúng ta đạt đến giao điểm của tất cả các sự kiện. Đối với số sự kiện chẵn, giao điểm cuối cùng này luôn âm (đã trừ) trong khi đối với số sự kiện lẻ, nó luôn dương (được cộng).
Người giới thiệu
- Arrizabalaga R., M. (2015, tháng 9). LÝ THUYẾT XÁC SUẤT . ĐẠI HỌC BANG MEXICO TỰ CHỦ. https://core.ac.uk/download/pdf/55528069.pdf
- DeVore, J. (2002). Xác suất và Thống kê cho Kỹ thuật và Khoa học (tái bản lần thứ 5). Thomson quốc tế.
- Manuel, M. (2020, ngày 1 tháng 7). Xác suất của sự kết hợp của các sự kiện . Toán học dễ dàng. https://lasmatesfaciles.com/2020/06/29/probabilidad-de-la-union-de-sucesos/
- Marta, M. (2021, ngày 27 tháng 3). Sự kết hợp của các sự kiện hoặc sự kiện . siêu giáo sư https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/probabilidades/combinatoria/union-de-sucesos.html
