Tabla de Contenidos
Một tập hợp số là không đếm được khi không thể gán một số tự nhiên duy nhất cho tất cả các phần tử của nó . Nói cách khác, các tập hợp không đếm được là những tập hợp không tương ứng một đối một với các số tự nhiên.
Chúng ta thường sử dụng các số tự nhiên theo trực giác để đếm và chúng ta làm điều này bằng cách gán một số tự nhiên cho từng phần tử của nhóm mà chúng ta muốn đếm, theo thứ tự. Ví dụ, khi đếm số ngón tay chúng ta có trên một bàn tay, chúng ta gán cho mỗi ngón tay một số tự nhiên duy nhất bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 5. Khi đó chúng ta biết rằng có 5 ngón tay trên bàn tay vì đó là giá trị cao nhất chúng tôi gán cho ngón tay. Nói cách khác, chúng tôi đếm đầu ngón tay.
Ý tưởng này không thể được áp dụng cho một số bộ số. Trong một số trường hợp, các tập hợp lớn đến mức thậm chí sử dụng các số tự nhiên vô hạn cũng không đủ để đánh số tất cả các phần tử của tập hợp. Vì tập hợp các số tự nhiên là vô hạn, nên ý tưởng rằng có những tập hợp không đếm được gợi ý rằng có một số vô hạn lớn hơn những tập hợp khác và chỉ những tập hợp có vô số cùng “kích thước” với tập hợp các số tự nhiên đếm được.các số tự nhiên. Số lượng các phần tử trong một tập hợp được gọi là số phần tử, vì vậy các tập hợp không đếm được là những phần tử có số phần tử lớn hơn phần tử của các số tự nhiên.
Một số tính chất của tập hợp đếm được và tập hợp không đếm được
Để hiểu tại sao một số tập hợp đếm được còn một số thì không, cần biết một số thuộc tính của tập hợp:
- Nếu A là tập con của B và A không đếm được thì B cũng không đếm được. Nói cách khác, bất kỳ tập hợp nào chứa một tập hợp không đếm được thì bản thân nó phải là tập hợp không đếm được.
- Nếu A không đếm được và B là tập hợp bất kỳ (đếm được hoặc không), thì hợp AUB cũng không đếm được.
- Nếu A không đếm được và B là tập hợp bất kỳ thì tích Descartes A x B cũng không đếm được.
- Nếu A là vô hạn (thậm chí là vô hạn đếm được) thì tập lũy thừa của A là không đếm được.
Ví dụ về các tập hợp không đếm được phổ biến nhất
Tập hợp các số thực (R)
Tập hợp các số thực là ví dụ đầu tiên của tập hợp không đếm được. Nhưng làm sao chúng ta biết rằng chúng không đếm được nếu chúng có vô số phần tử và chúng ta cũng có vô số số tự nhiên để gán? Chúng tôi làm được điều này nhờ lập luận đường chéo của Cantor.
Đường chéo Cantor
Đối số đường chéo của Cantor cho phép chúng ta chỉ ra rằng tập hợp con của các số thực nằm giữa hai giới hạn được xác định rõ ràng, ví dụ, giữa 0 và 1, là một tập hợp không đếm được. Kết quả là, theo các tính chất đã được đề cập của các tập hợp không đếm được, tập hợp đầy đủ của tất cả các số thực cũng phải là tập hợp không đếm được.
Giả sử chúng ta tạo một danh sách vô hạn các số thực trong khoảng từ 0 đến 1. Việc danh sách này được xây dựng như thế nào là hoàn toàn không liên quan. Điều duy nhất quan trọng là tất cả các số là duy nhất. Bây giờ, chúng ta sẽ gán cho mỗi số này một số tự nhiên duy nhất, bắt đầu từ 1 và hoạt động tuần tự. Một ví dụ về danh sách này được trình bày trong bảng sau:
| KHÔNG. | r. | ||||||||
| 1 | 0, | 2 | 2 | 4 | 5 | số 8 | 7 | 9 | 6… |
| 2 | 0, | 5 | 2 | 1 | 3 | 2 | 4 | 0 | 2… |
| 3 | 0, | 6 | 4 | 0 | 5 | 7 | số 8 | 3 | 0… |
| 4 | 0, | 1 | 7 | 9 | số 8 | 2 | 2 | 4 | 3… |
| 5 | 0, | số 8 | 5 | 5 | 4 | 7 | 3 | 2 | 2… |
| 6 | 0, | 0 | 4 | số 8 | 3 | số 8 | 1 | 5 | 3… |
| 7 | 0, | 7 | số 8 | 4 | 2 | 0 | 9 | 1 | 0… |
| số 8 | 0, | 3 | 4 | 6 | 7 | 9 | 1 | 3 | 5… |
| … | … |
Tại thời điểm này, chúng tôi đang gán một số tự nhiên duy nhất cho tất cả các số trong danh sách của chúng tôi. Vì danh sách này là vô hạn và mỗi số thực tương ứng với một số tự nhiên, nên chúng tôi “tiêu” tất cả các số tự nhiên trong bảng này. Điều mà Canto đã làm là chỉ ra rằng có ít nhất một số thực bổ sung không có trong danh sách này và do đó không thể đếm được. Số này được tạo bằng cách lấy tất cả các phần tử của đường chéo đi qua bảng, rồi cộng thêm 1. Tức là số mới sẽ bắt đầu bằng chữ số đầu tiên của số thứ nhất tăng thêm một đơn vị, khi đó nó sẽ có chữ số thứ hai là số thứ hai tăng thêm một đơn vị, rồi chữ số thứ ba của số thứ ba, v.v.
Trong bảng sau, các phần tử trên đường chéo được tô đậm và số kết quả từ thao tác được thêm vào hàng cuối cùng:
| KHÔNG. | r. | ||||||||
| 1 | 0, | 2 | 2 | 4 | 5 | số 8 | 7 | 9 | 6… |
| 2 | 0, | 5 | 2 | 1 | 3 | 2 | 4 | 0 | 2… |
| 3 | 0, | 6 | 4 | 0 | 5 | 7 | số 8 | 3 | 0… |
| 4 | 0, | 1 | 7 | 9 | số 8 | 2 | 2 | 4 | 3… |
| 5 | 0, | số 8 | 5 | 5 | 4 | 7 | 3 | 2 | 2… |
| 6 | 0, | 0 | 4 | số 8 | 3 | số 8 | 1 | 5 | 3… |
| 7 | 0, | 7 | số 8 | 4 | 2 | 0 | 9 | 1 | 0… |
| số 8 | 0, | 3 | 4 | 6 | 7 | 9 | 1 | 3 | 5 … |
| … | … | 2+1 | 2+1 | 0+1 | 8+1 | 7+1 | 1+1 | 1+1 | 5+1 |
| 0, | 3 | 3 | 1 | 9 | số 8 | 2 | 2 | 6… |
Số kết quả là 0,33198226…
Như chúng ta có thể thấy, vì chữ số đầu tiên của số mới (là 3) khác với chữ số đầu tiên của số đầu tiên trong danh sách (là 2), nên nó sẽ là một số khác với số đầu tiên, ngay cả khi tất cả các số khác đều giống hệt nhau. Vì chữ số thứ hai (3) khác với chữ số thứ hai của số thứ hai (2) nên nó cũng sẽ khác với số thứ hai.
Lập luận tương tự này có thể được tiếp tục vô thời hạn bằng cách tăng dần dọc theo đường chéo, đảm bảo rằng số kết quả sẽ khác ít nhất một chữ số so với tất cả các số vô hạn trong bảng.
Tuy nhiên, vì chúng ta đã “xài” hoặc gán tất cả các số tự nhiên trước khi tạo số mới này, nên chúng ta không còn bất kỳ số tự nhiên duy nhất nào để gán cho nó, vì vậy chúng ta kết luận rằng tập hợp các số thực từ 0 đến 1, và do đó mở rộng của tất cả các số thực, là một tập hợp không đếm được.
Tập hợp các số siêu việt
Các số siêu việt là những số thuộc tập hợp các số thực, nhưng không phải là các số đại số. Điều này có nghĩa là chúng không phải là nghiệm của phương trình đa thức có dạng:
trong đó tất cả các hệ số là số nguyên. Ta gọi A là tập hợp tất cả các số thực đại số và T là các số thực còn lại, tức là các số siêu việt. Dễ thấy rằng tổng các số thực R , là hợp của các tập A và T , đó là:
Có thể chỉ ra rằng tập hợp các số đại số là đếm được. Ngoài ra, chúng tôi đã chứng minh rằng các số thực là không đếm được. Vì R là không đếm được nên nó không thể được tạo thành bởi hợp của hai tập hợp đếm được. Biết rằng A là đếm được, ta kết luận rằng T là không đếm được.
Tập hợp các dãy số nhị phân
Một dãy số nhị phân chỉ đơn giản là một chuỗi các số 0 và 1 có độ dài bất kỳ. Nếu chúng ta hợp nhất tất cả các dãy số nhị phân có thể, chúng ta sẽ có được tập hợp các dãy số nhị phân. Đây không gì khác hơn là một tập hợp con của các số thực trong đó các chữ số duy nhất là 0 và 1.
Rất dễ dàng để chỉ ra rằng tập hợp các số này là không đếm được bằng cách sử dụng cùng một đối số Cantor mà chúng ta chứng minh rằng R là không đếm được. Lưu ý duy nhất là thay vì thêm 1 vào các số trên đường chéo, chúng ta chỉ cần đảo ngược giá trị của chúng, thay thế 0 bằng 1 và ngược lại.
Như trước đây, chuỗi nhị phân kết quả sẽ không giống với bất kỳ tập hợp vô hạn nào của các chuỗi mà chúng tôi có thể đã đưa vào danh sách ban đầu, vì vậy nó là một tập hợp không đếm được.
Các dãy số khác có cơ số khác
Đối số từ các dãy số nhị phân và từ các số thực có thể được mở rộng cho bất kỳ dãy số nào của bất kỳ cơ số nào. Theo nghĩa này, tập hợp tất cả các dãy số thập lục phân sẽ không đếm được; như vậy sẽ là tập hợp các dãy số bậc ba, bậc bốn, v.v.
Người giới thiệu
Các ví dụ phổ biến về tập hợp không đếm được . (2020, ngày 16 tháng 3). PeoplePerProject. https://en.peopleperproject.com/posts/9312-common-examples-of-uncountable-sets
Ivorra Castillo, C. (sf). THIẾT LẬP LÝ THUYẾT . UV.es. https://www.uv.es/ivorra/Libros/TC.pdf
Các văn bản miễn phí. (2021, ngày 7 tháng 7). 1.4: Tập hợp đếm được và không đếm được . Văn bản tự do toán học. https://math.libretexts.org/Bookshelves/Combinatorics_and_Discittle_Mathematics/An_Introduction_to_Number_Theory_(Veerman)/01%3A_A_Quick_Tour_of_Number_Theory/1.04%3A_Countable_and_Uncountable_Sets
Schwartz, R. (2007, ngày 12 tháng 11). Tập hợp đếm được và không đếm được . Toán Nâu. https://www.math.brown.edu/reschwar/MFS/handout8.pdf
Bộ Không đếm được | Ví dụ về Uncountable Sets . (2020, ngày 21 tháng 9). Cuemath. https://www.cuemath.com/learn/Mathematics/uncountable-sets/
