Quy tắc cộng trong xác suất và thống kê

Các quy tắc cộng trong xác suất và thống kê đề cập đến các cách khác nhau mà chúng ta có thể kết hợp các xác suất đã biết của hai hoặc nhiều sự kiện khác nhau để xác định xác suất của các sự kiện mới được hình thành bởi sự kết hợp của các sự kiện đó .

Trong thống kê và xác suất, chúng ta thường biết xác suất mà một số sự kiện (ví dụ: sự kiện A và B) sẽ xảy ra riêng biệt nhưng không biết xác suất chúng sẽ xảy ra đồng thời hoặc xảy ra cái này hay cái kia. Đây là nơi các quy tắc bổ sung có ích.

Ví dụ: chúng ta có thể biết xác suất xuất hiện mặt sáu khi tung hai con xúc xắc, gọi là P(tung 6), và xác suất để cả hai con xúc xắc xuất hiện số chẵn, gọi là P(số chẵn).

Điều này là tương đối dễ dàng. Nhưng đôi khi chúng ta quan tâm đến việc xác định xác suất mà khi tung hai con xúc xắc, cả hai đều ra một số chẵn hoặc tổng của chúng bằng sáu. Trong ký hiệu thống kê và trong lý thuyết nhóm, chữ “hoặc” này được biểu thị bằng ký hiệu U biểu thị sự kết hợp của hai sự kiện và trong trường hợp này, xác suất này sẽ được biểu diễn như sau:

Các loại xác suất này có thể được tính toán từ các xác suất riêng lẻ và một số dữ liệu bổ sung bằng quy tắc cộng.

Cần lưu ý rằng quy tắc cộng nào chúng ta nên sử dụng trong từng trường hợp phụ thuộc vào số lượng sự kiện chúng ta đang xem xét và liệu các sự kiện này có loại trừ lẫn nhau hay không. Các quy tắc bổ sung cho một số trường hợp đơn giản được mô tả dưới đây.

Trường hợp 1: Quy tắc bổ sung cho các sự kiện rời rạc hoặc loại trừ lẫn nhau

Hai sự kiện được gọi là loại trừ lẫn nhau khi sự xuất hiện của một trong số chúng loại trừ khả năng xảy ra của sự kiện kia. Đó là, chúng là những sự kiện không thể xảy ra cùng một lúc. Ví dụ: khi tung một con xúc xắc, kết quả mà 4 xuất hiện sẽ loại trừ bất kỳ kết quả nào trong số 5 kết quả có thể khác xuất hiện.

Nếu chúng ta xem xét hai hoặc nhiều sự kiện (A, B, C…) loại trừ lẫn nhau, thì xác suất kết hợp chỉ đơn giản bao gồm tổng các xác suất riêng lẻ của từng sự kiện này. Đó là, trong trường hợp này, xác suất hợp nhất được cho bởi:

Điều này có thể được hiểu dễ dàng nhất bằng sơ đồ Venn. Ở đây không gian mẫu được biểu diễn bằng một diện tích hình chữ nhật; trong khi, xác suất của mỗi sự kiện được đại diện bởi các lĩnh vực trong khu vực rộng lớn hơn này. Trong biểu đồ Venn, các sự kiện loại trừ lẫn nhau được coi là các khu vực riêng biệt không chạm vào nhau cũng như không trùng lặp.

Trong loại biểu đồ này, việc tính toán xác suất kết hợp bao gồm việc thu được tổng diện tích bị chiếm bởi tất cả các sự kiện có xác suất mà chúng ta đang xem xét. Trong trường hợp của hình ảnh trước, điều này có nghĩa là thu được tổng diện tích của các khu vực A, B và C, tức là vùng màu xanh lam trong hình sau.

Dễ dàng nhận thấy rằng nếu các sự kiện rời rạc như trong trường hợp của hai hình ảnh trên, thì xác suất hợp nhất chỉ đơn giản là tổng của ba lĩnh vực.

Ví dụ 1: Tính xác suất xuất hiện mặt chẵn khi tung xúc xắc

Giả sử chúng ta tung một con xúc xắc và muốn biết xác suất để nhận được một số chẵn. Vì các số chẵn duy nhất có thể có trên một con súc sắc 6 mặt là 2, 4 và 6, nên điều chúng ta thực sự muốn biết là xác suất mà con súc sắc sẽ rơi vào 2, 4 hoặc 6, vì trong một trong hai trường hợp này sẽ đã rơi vào số chẵn.

Xác suất xuất hiện của bất kỳ mặt ngửa nào trong số 6 mặt ngửa là 1/6 (miễn là đó là một con xúc xắc công bằng). Ngoài ra, như chúng ta đã thấy lúc trước, ba kết quả là các sự kiện loại trừ lẫn nhau vì nếu 2 lần tung, 4 hoặc 6 không thể tung, v.v. Trong những điều kiện này, xác suất kết hợp được đưa ra bởi:

Trường hợp 2: Quy tắc cộng cho hai biến cố không xung khắc

Nếu A và B là các sự kiện chia sẻ kết quả với nhau, nghĩa là chúng có thể xảy ra đồng thời, thì các sự kiện được cho là không loại trừ lẫn nhau. Trong trường hợp này, sơ đồ Venn trông như thế này:

Có thể thấy, có một vùng của không gian mẫu trong đó cả hai sự kiện xảy ra đồng thời. Nếu chúng ta muốn xác định xác suất kết hợp, nghĩa là P(AUB), thì chúng ta cần tìm khu vực được chỉ ra trong biểu đồ Venn ở bên phải trong hình trước.

Dễ thấy rằng trong trường hợp này, nếu chúng ta chỉ cộng diện tích của A và B, chúng ta sẽ đếm diện tích chung hai lần, vì vậy chúng ta sẽ có diện tích (đọc, xác suất) lớn hơn những gì chúng ta muốn. Để sửa lỗi quá mức này, chỉ cần trừ đi khu vực được chia sẻ bởi các sự kiện A và B, tương ứng với xác suất giao nhau:

Biểu thức xác suất kết hợp này cũng áp dụng cho trường hợp trước đó vì loại trừ lẫn nhau, xác suất chúng xảy ra đồng thời (xác suất giao nhau) bằng không.

Ví dụ 2: Tính xác suất để được kết quả chẵn hoặc được số bé hơn 4 khi tung xúc xắc

Trong trường hợp này, cả hai sự kiện đều có chung kết quả 2, tức là chẵn và nhỏ hơn 4, vì vậy xác suất hợp sẽ là:

Trường hợp 3: Quy tắc cộng cho ba biến cố không xung khắc

Một trường hợp khác phức tạp hơn một chút là khi xảy ra 3 sự kiện không loại trừ lẫn nhau, chẳng hạn như sự kiện được thể hiện trong sơ đồ Venn sau:

Trong trường hợp này, tổng của ba khu vực đếm hai lần khu vực giao nhau giữa A và B, giữa B và C và giữa C và D, và đếm ba lần khu vực giao nhau của ba sự kiện A, B và C. Nếu chúng ta làm như trước và lấy tổng của ba diện tích trừ các diện tích giao nhau giữa mỗi cặp sự kiện, chúng ta sẽ trừ đi ba lần diện tích của tâm, vì vậy nó phải được cộng lại dưới dạng xác suất giao nhau của ba sự kiện. Cuối cùng, quy tắc cộng chung cho ba sự kiện không loại trừ được đưa ra bởi:

Như trước đây, biểu thức này là chung cho bất kỳ tập hợp ba sự kiện nào, cho dù chúng có rời nhau hay không, vì trong trường hợp này, các giao điểm sẽ trống và kết quả sẽ giống biểu thức của trường hợp đầu tiên.

Ví dụ 3: Tính xác suất để được số chẵn, số bé hơn 10, số nguyên tố khi gieo súc sắc 20 mặt

Trong trường hợp này, có ba sự kiện chia sẻ kết quả giữa và cũng chứa các kết quả không được chia sẻ, vì vậy xác suất hợp nhất được đưa ra bởi biểu thức đã nói ở trên.

Xác suất của các sự kiện riêng lẻ là:

Bây giờ, xác suất giao nhau là:

Bây giờ, áp dụng phương trình cho xác suất hợp nhất:

Người giới thiệu

• xuất sắc. (nd). Xác Suất – Quy Tắc Tổng | Wiki Toán học & Khoa học rực rỡ . Lấy từ https://brilliant.org/wiki/probability-rule-of-sum/
• quang thông. (nd). Quy Tắc Xác Suất | Thống kê vô biên . Lấy từ https://courses.lumenlearning.com/boundless-statistics/chapter/probability-rules/#:%7E:text=The%20addition%20rule%20states%20the,probability%20that%20both%20will%20happen .
• MateMobile. (2021, ngày 1 tháng 1). Quy tắc tổng hoặc cộng xác suất | di động . Lấy từ https://matemovil.com/regla-de-la-suma-o-adicion-de-probabilidades/
• Webster, A. (2001). Thống kê áp dụng cho kinh doanh và nền kinh tế (Ấn bản tiếng Tây Ban Nha) . Toronto, Canada: Irwin Professional Publishing.