Tabla de Contenidos
Khi thực hiện các loại phép tính khác nhau, dù là trong khoa học hay kỹ thuật, chúng ta thường sử dụng dữ liệu thử nghiệm được sắp xếp trong các bảng khác nhau. Những dữ liệu này thường liên quan đến hai biến mà chúng ta biết phụ thuộc lẫn nhau, nhưng chúng ta không biết sự phụ thuộc toán học của chúng. Đây sẽ không phải là vấn đề nếu tất cả dữ liệu chúng ta cần đều có trong bảng, nhưng điều này hiếm khi xảy ra. Điều phổ biến hơn là chúng ta cần giá trị của một trong các biến cho giá trị của biến khác không tìm thấy trong bảng.
Khi điều này xảy ra, chúng ta có thể điều chỉnh dữ liệu thử nghiệm hoặc dữ liệu được lập bảng thành một hàm toán học đa thức, sau đó chúng ta có thể sử dụng hàm này để tính gần đúng giá trị chưa biết của biến quan tâm. Quá trình này có thể liên quan đến nội suy hoặc ngoại suy.
Hai quy trình này có liên quan chặt chẽ và dựa trên cùng một quy trình điều chỉnh cơ bản, nhưng chúng không giống nhau. Tiếp theo, chúng ta sẽ thảo luận về sự khác biệt chính giữa hai phương pháp ước tính giá trị của một biến phụ thuộc cho một giá trị nhất định của một biến độc lập.
định nghĩa nội suy
Nội suy là quá trình ước tính giá trị của một biến phụ thuộc cho một giá trị cụ thể của biến độc lập từ kiến thức về một tập hợp dữ liệu hoặc các điểm rời rạc trên và dưới điểm mà chúng ta muốn ước tính. Nói cách khác, đó là quá trình ước tính một điểm nằm giữa hai điểm đã biết. Biểu đồ sau đây hiển thị một chuỗi dữ liệu được biểu thị bằng các điểm màu xanh lam và điểm màu đỏ biểu thị phép nội suy giữa các điểm trong X 1 và X 2 .
Từ nội suy xuất phát từ sự kết hợp của hai từ tiếng Latinh là tiền tố inter-, có nghĩa là giữa hoặc trong khoảng thời gian và -polire , có nghĩa là đẩy hoặc đẩy, đề cập đến thực tế là phép nội suy liên quan đến việc đẩy hoặc di chuyển hai data.đến một điểm nằm giữa chúng.
Định nghĩa ngoại suy
Phép ngoại suy có thể được hiểu là quá trình ước tính giá trị của một biến phụ thuộc cho một giá trị của biến độc lập, từ một tập hợp các điểm hoặc dữ liệu đều lớn hơn hoặc tất cả đều nhỏ hơn điểm cần ước tính.
Nói cách khác, đó là quá trình ước tính giá trị của một điểm cao hơn hoặc thấp hơn tất cả các điểm hoặc dữ liệu đã biết. Hình dưới đây cho thấy một ví dụ về ngoại suy dữ liệu đến một điểm trên tất cả dữ liệu đã biết.
Theo quan điểm từ nguyên, ngoại suy có cùng gốc Latinh –polire , chỉ có điều lần này nó được đặt trước bởi tiền tố Latinh extra- có nghĩa là ra khỏi. Do đó, thuật ngữ này đề cập đến ước tính của các điểm nằm ngoài phạm vi của tập dữ liệu gốc, bởi vì nó lớn hơn hoặc nhỏ hơn tất cả dữ liệu đã biết.
Sự khác biệt về độ không đảm bảo của nội suy và ngoại suy
Khi so sánh phép nội suy với phép ngoại suy, có thể nhận thấy rằng có một sự khác biệt quan trọng liên quan đến rủi ro tạo ra kết quả sai lệch đáng kể so với giá trị thực của dữ liệu mà chúng ta đang tìm kiếm. Trong trường hợp nội suy, vì nó được thực hiện giữa hai điểm liên tiếp, nên chúng ta có thể có một mức độ chắc chắn nhất định rằng giá trị mà chúng ta đang nội suy nằm ở đâu đó giữa hai điểm này. Nghĩa là, chúng tôi có một số đảm bảo rằng giá trị của hàm chưa biết không tăng hoặc giảm trước khi đạt đến điểm tiếp theo, bởi vì chúng tôi biết điểm tiếp theo đó ở đâu.
Thay vào đó, khi chúng ta thực hiện một phép ngoại suy, chúng ta đang chiếu hành vi của dữ liệu tiến hoặc lùi và vì không có điểm tham chiếu nào ở phía trước (hoặc xa hơn nữa, nếu đúng như vậy), nên chúng ta không có cách nào biết được dữ liệu sẽ hành xử như thế nào .thực sự là biến. Nó có thể tiếp tục với hành vi giống như trước đó, chẳng hạn như nó có thể đột ngột bắn theo một trong hai hướng. Vì lý do này, phép ngoại suy mang lại sự không chắc chắn lớn hơn phép nội suy.
Chúng thường được trang bị cho các hàm đa thức khác nhau
Các quy trình ngoại suy và nội suy dựa trên việc điều chỉnh hai hoặc nhiều điểm đã biết đối với một hàm toán học sẽ cho phép chúng ta dự đoán giá trị của hàm tại các điểm chưa biết khác. Trong cả hai trường hợp nội suy và ngoại suy, hàm được sử dụng phổ biến nhất để ước lượng là hàm tuyến tính (y = mx +b). Mặc dù chức năng này phù hợp cho cả phép nội suy và phép ngoại suy khi giá trị chưa biết mà chúng ta muốn ước tính khá gần với các điểm đã biết, nhưng điều này không còn đúng khi ngoại suy cách xa các điểm cực trị.
Trên thực tế, nếu toàn bộ dữ liệu không có hành vi tuyến tính rõ rệt, thì các phép ngoại suy có thể rất nhanh chóng bị lệch khỏi giá trị thực khi chúng ta rời xa một trong hai thái cực. Đây là lý do tại sao phép ngoại suy thường yêu cầu cẩn thận hơn và sử dụng các hàm ngoại suy phức tạp hơn hoặc có bậc cao hơn các hàm được sử dụng để nội suy.
Trong trường hợp sau, phép nội suy tuyến tính hầu như luôn phù hợp, giả sử rằng dữ liệu hoặc điểm đã biết không cách nhau quá xa.
Chúng có thể khác nhau về số lượng mục dữ liệu cần thiết cho ước tính
Một sự khác biệt quan trọng khác giữa phép nội suy và phép ngoại suy là số lượng mục dữ liệu cần thiết để thực hiện ước tính. Trong phép nội suy, người ta hầu như luôn giả định rằng giá trị của điểm cần tìm nằm trên một đường thẳng nối hai điểm gần nhau nhất. Trong trường hợp này, biết hai điểm này là đủ để thực hiện phép nội suy. Nói cách khác, ảnh hưởng của một lỗi trong ước tính độ dốc đối với phép nội suy hiếm khi nghiêm trọng, vì điểm ước tính hầu như luôn nằm giữa hai điểm đã biết.
Mặt khác, trong trường hợp ngoại suy, vì khi chúng ta di chuyển xa hơn từ điểm cao nhất (hoặc thấp nhất), sự khác biệt về độ dốc của đường có tác động ngày càng tăng đến giá trị của y, sẽ rất rủi ro nếu chỉ lấy hai điểm để tính độ dốc. Trong những trường hợp này, điều thường được thực hiện là khớp một vài điểm với đường thẳng tốt nhất hoặc với một hàm đa thức bậc cao khác thông qua quy trình bình phương nhỏ nhất, do đó đảm bảo rằng đường thẳng mà chúng ta ngoại suy về phía trước (hoặc phía sau) phản ánh hành vi chung của toàn bộ dữ liệu chứ không chỉ một vài trong số chúng.
Nội suy tuyến tính và ngoại suy
Trong trường hợp nội suy tuyến tính và ngoại suy tuyến tính, về cơ bản các phương trình toán học giống nhau được sử dụng. Trong cả hai trường hợp, hàm nội suy có dạng y = mx + b, trong đó y là giá trị mà chúng ta đang tìm kiếm cho một giá trị cho trước của x, m là hệ số góc của đường thẳng mà chúng ta khớp dữ liệu và b là phần cắt với trục y của hàm nội suy.
Hệ số góc của hàm tuyến tính có thể được tính từ hai điểm bất kỳ bằng công thức:
Chúng ta có thể áp dụng công thức này hai lần, một lần giữa hai điểm bất kỳ của chuỗi dữ liệu đã biết và một lần khác giữa một điểm đã biết và điểm chúng ta muốn tìm. Vì trong cả hai trường hợp, hệ số góc là như nhau, nên chúng ta có thể so khớp cả hai biểu thức và do đó thu được công thức liên hệ giữa giá trị của y mà chúng ta đang tìm kiếm với giá trị nhất định của x mà chúng ta có.
Ví dụ
Giả sử chúng ta muốn sử dụng hai điểm liên tiếp p k-1 =(x k-1 ; y k-1 ) và p k =(x k ; y k ) để nội suy hoặc ngoại suy bất kỳ điểm nào (x ; y). Sau đó chúng ta có thể viết độ dốc hai lần và tương đương để có được:
Sắp xếp lại phương trình này, chúng tôi nhận được:
Lưu ý rằng, trong trường hợp này, không có giả định nào về vị trí của điểm (x ; y) liên quan đến hai dữ liệu được sử dụng để ước tính, do đó, cùng một phương trình được sử dụng cho cả nội suy và ngoại suy.
Nếu xác minh được rằng x k-1 < x < x k , hay nói cách khác, x nằm giữa x k-1 và x k , thì đó là một phép nội suy. Mặt khác, nếu x>x max hoặc x<x min , nghĩa là nếu x lớn hơn giá trị lớn nhất hoặc nhỏ hơn giá trị nhỏ nhất của chuỗi dữ liệu, thì đó là một phép ngoại suy.
ví dụ nội suy
Giả sử chúng ta biết rằng nhu cầu về bánh pizza ở thành phố Mérida của Venezuela là 500.000 chiếc mỗi năm khi giá trung bình cho mỗi chiếc là 20 đô la, trong khi ở mức giá trung bình là 15 đô la thì nhu cầu tăng lên 750.000. Chúng tôi quan tâm đến việc ước tính nhu cầu sẽ là bao nhiêu nếu chúng tôi đặt giá ở mức 16,5 đô la.
Giải pháp
Lưu ý rằng đây là một ví dụ về phép nội suy, vì điểm chúng tôi muốn ước tính, tương ứng với mức giá 16,5 đô la, nằm giữa hai điểm đã biết (tức là nằm trong khoảng từ 15 đô la đến 20 đô la). Đối với ví dụ này, chúng ta có:
Bây giờ, áp dụng công thức nội suy tuyến tính:
Do đó, nếu giá pizza trung bình được đặt ở mức 16,5 đô la một chiếc, thì nhu cầu hàng năm sẽ là 675.000 chiếc pizza mỗi năm.
Ví dụ về phép ngoại suy
Giả sử rằng trong cùng ví dụ trên, chúng tôi muốn xác định nhu cầu sẽ là bao nhiêu nếu giá tăng lên 25 đô la một đơn vị. Vì trong trường hợp này, người ta xác minh rằng x = $25 > $20, nên đó là một phép ngoại suy. Một lần nữa, dữ liệu là:
thay thế:
Do đó, phép ngoại suy dự đoán rằng nếu giá tăng lên 25 đô la, thì nhu cầu sẽ giảm xuống một nửa so với mức 20 đô la.
Người giới thiệu
Alonso. (2006, ngày 13 tháng 2). 3 Phương pháp nội suy từ điểm . Đại học Madrid. https://www.um.es/geograf/sigmur/temariohtml/node43_mn.html
Gonza, D. (2016, tháng 9). Đơn vị: nội suy và ngoại suy dữ liệu . doloresgonza.files. https://doloresgonza.files.wordpress.com/2016/09/interpolacion-1.pdf
LesKanaris. (nd). Sự khác biệt giữa ngoại suy và nội suy – Thú vị – 2022 . https://us.leskanaris.com/3668-the-difference-between-extrapolation-and-interpolation.html
Pinzón, J. (2013, ngày 9 tháng 10). Nội suy và ngoại suy . julianapinzon. https://julianapinzon.wordpress.com/interpolacion-y-extrapolacion/
UNIGAL. (2021, ngày 14 tháng 9). Công thức nội suy tuyến tính, định nghĩa, ví dụ, v.v. https://unigal.mx/formula-de-interpolacion-lineal-definicion-ejemplos-y-mas/
