Quy tắc nhân cho các sự kiện độc lập

Có nhiều tình huống mà chúng ta quan tâm đến việc tìm xác suất của hai sự kiện xảy ra đồng thời. Một số trong số họ là:

• Tìm xác suất để tung được mặt sáu kép khi tung đồng thời hoặc lần lượt hai con súc sắc.
• Tìm xác suất để một người được chọn ngẫu nhiên từ một nhóm đều là nữ và có nước da ngăm đen.
• Xác suất chọn một cặp sinh viên khác giới từ một khu vực của trường.
• Xác suất mà hai hệ thống điều khiển dự phòng gặp sự cố cùng lúc trong một vụ phóng tên lửa vũ trụ.

Loại bài toán này có thể giải bằng quy tắc tổng quát nhân xác suất. Quy tắc này thiết lập rằng, đối với hai sự kiện A và B, xác suất để chúng xảy ra đồng thời, nghĩa là xác suất giao nhau, được cho bởi:

Trong phương trình này, P(A|B) là xác suất có điều kiện để sự kiện A xảy ra với B. Trên đây là quy tắc nhân chung và áp dụng cho bất kỳ cặp sự kiện nào. Trong một số trường hợp, xác suất có điều kiện là không xác định hoặc khó xác định; tuy nhiên, trong trường hợp các sự kiện độc lập, xác suất này được đơn giản hóa để tạo ra quy tắc nhân cho các sự kiện độc lập.

Quy tắc nhân cho các sự kiện độc lập

Các sự kiện độc lập là gì?

Hai biến cố A và B độc lập với nhau nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra biến cố kia. Theo thuật ngữ toán học, điều này ngụ ý rằng xác suất có điều kiện của một trong hai sự kiện xảy ra, với điều kiện là chúng ta biết sự kiện kia đã xảy ra, bằng với xác suất đơn giản của sự kiện đầu tiên xảy ra. Nói cách khác, hai sự kiện sẽ độc lập chỉ khi:

Cách giải thích ở trên là xác suất xảy ra A với điều kiện B đã xảy ra bằng với xác suất xảy ra A. Điều này ngụ ý rằng sự xuất hiện của B không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra A, vì vậy cả hai sự kiện xảy ra một cách độc lập đường.

Cặp biến cố nào không thỏa mãn điều kiện trên sẽ là biến cố phụ thuộc.

Quy tắc nhân bị ảnh hưởng như thế nào trong trường hợp này?

Như chúng ta có thể thấy, biểu thức đầu tiên của điều kiện độc lập có thể được sử dụng để đơn giản hóa quy tắc nhân chung, vì thừa số đầu tiên có thể được thay thế bằng xác suất đơn giản của A, do đó thu được biểu thức sau:

Biểu thức trên được gọi là quy tắc nhân xác suất cho các biến cố độc lập . Nó ngụ ý rằng nếu chúng ta biết rằng hai sự kiện độc lập với nhau và chúng ta biết xác suất xảy ra của chúng, thì chúng ta có thể tìm ra xác suất để cả hai sự kiện đó xảy ra đồng thời chỉ bằng cách nhân các xác suất này.

Ví dụ về các sự kiện độc lập

Thiếu thông tin có thể gây khó khăn cho việc xác định xem hai sự kiện có độc lập hay không. Ví dụ, chúng ta có thể nghĩ rằng tóc nâu không liên quan gì đến việc mắc bệnh ung thư vú, nhưng sinh lý cơ thể con người phức tạp đến mức không bác sĩ nào dám đưa ra nhận định đó.

Tuy nhiên, có nhiều thí nghiệm đơn giản trong đó chúng ta có thể dễ dàng xác định xem hai sự kiện có độc lập hay không.

• Ném hai con xúc xắc cùng một lúc. Khi tung hai con xúc xắc, kết quả của một con xúc xắc không ảnh hưởng theo bất kỳ cách nào đến kết quả có thể xuất hiện trên con số kia, vì vậy sự kiện một con xúc xắc rơi vào một số nhất định không phụ thuộc vào sự kiện con xúc xắc kia rơi vào một số khác. hoặc giống nhau, thậm chí.
• Kết quả của việc tung cùng một con súc sắc hai lần liên tiếp cũng độc lập với nhau vì những lý do tương tự.
• Tung một đồng xu hai lần. Việc nó tung mặt ngửa hay mặt sấp lần đầu tiên sẽ không ảnh hưởng đến kết quả của lần tung tiếp theo.
• Trong một nhà máy sản xuất tủ lạnh có hai dây chuyền sản xuất độc lập cho các bộ phận sử dụng nguyên liệu thô và nhân công riêng biệt, có thể chấp nhận giả định rằng xác suất một trong hai bộ phận bị hỏng không phụ thuộc vào xác suất hỏng của bộ phận kia.
• Rút ngẫu nhiên một thẻ hoặc bộ bài từ bộ bài, thay thế nó và sau đó rút ngẫu nhiên một thẻ khác từ bộ bài là các sự kiện riêng biệt, vì việc thay thế thẻ ban đầu trong bộ bài sẽ đặt lại cơ hội rút bất kỳ thẻ ban đầu nào.

Ví dụ về các sự kiện không độc lập

• Rút ngẫu nhiên một lá bài hoặc bộ bài từ một bộ bài và sau đó rút một lá bài khác từ cùng bộ bài mà không thay thế lá bài đầu tiên không phải là các sự kiện độc lập, vì việc rút lá bài đầu tiên làm giảm tổng số quân bài có trong cỗ bài, điều này ảnh hưởng đến xác suất của bất kỳ quân bài nào. thẻ khác sắp ra. Ngoài ra, nếu chúng tôi không thay thế thẻ đầu tiên, xác suất thẻ đó xuất hiện lần thứ hai sẽ bằng không.
• Trong một chiếc ô tô đang chạy, khả năng động cơ của ô tô bị quá nóng và khả năng máy bơm nước làm mát động cơ bị hỏng không phải là các sự kiện độc lập, vì nếu máy bơm nước bị hỏng, rất có thể động cơ sẽ bị quá nóng.
• Một ví dụ dễ hiểu hơn nữa là việc đạt điểm cao môn thống kê không phụ thuộc vào việc học , vì nếu chúng ta học, chúng ta có nhiều khả năng đạt điểm cao hơn.

Ví dụ về tính toán xác suất sử dụng quy tắc nhân cho các sự kiện độc lập

Ví dụ 1: Tung đồng xu hai lần

Giả sử chúng ta muốn tính xác suất khi tung một đồng xu hai lần, kết quả là cả hai lần tung đều có mặt ngửa.

Nếu chúng ta gọi A là biến cố trong đó quả ném thứ nhất được mặt ngửa và B là biến cố quả tung thứ hai được mặt ngửa, thì xác suất mà chúng ta được yêu cầu tính toán là xác suất giao điểm của A với B, vì chúng ta muốn cả hai biến cố đều xảy ra . Nghĩa là, ẩn số là P(A∩B).

Vì chỉ có hai kết quả có thể xảy ra cho mỗi lần tung, xác suất xảy ra của một trong hai sự kiện là như nhau:

Bây giờ, vì chúng ta biết rằng các sự kiện là độc lập, nên chúng ta có thể sử dụng quy tắc nhân để xác định xác suất giao nhau:

Ví dụ 2: Tung hai con súc sắc

Hãy tính xác suất để khi tung hai con súc sắc sáu mặt giống nhau, một con xúc xắc được mặt một và con thứ hai được số chẵn.

Hãy gọi các sự kiện sau A và B:

       A = một trong những con xúc xắc rơi vào 1.

       B = một trong những con xúc xắc rơi vào một số chẵn.

Một lần nữa, cái mà chúng ta muốn tính là P(A∩B).

Vì kết quả của mỗi con súc sắc không phụ thuộc vào số tạo ra con số khác, nên chúng ta có thể tính P(A∩B) bằng cách sử dụng quy tắc nhân cho các sự kiện độc lập. Nhưng trước tiên, chúng ta cần xác suất của A và B.

Xúc xắc có 6 mặt được đánh số từ 1 đến 6 không lặp lại. Do đó, chỉ có một số 1 và có ba số chẵn là 2, 4 và 6. Do đó, xác suất của các sự kiện riêng biệt xảy ra là:

Sử dụng các xác suất này và quy tắc nhân, chúng ta thu được xác suất mong muốn:

Ví dụ 3: Các bộ phận bị lỗi

Một nhà máy chế tạo thiết bị máy tính sử dụng, trong số các thành phần khác, hai chip hoặc mạch tích hợp khác nhau từ hai nhà sản xuất khác nhau. Theo nhà sản xuất chip đầu tiên, xác suất nó bị lỗi trong điều kiện hoạt động bình thường là 0,00133. Về phần mình, nhà sản xuất thứ hai tự hào rằng cứ 5.000 đơn vị được cài đặt thì chỉ có hai chip của họ bị lỗi. Chủ nhà máy muốn tìm xác suất để cả hai bộ phận bị hỏng cùng một lúc. Sự thất bại của mỗi thương hiệu chip có thể được coi là độc lập với nhau.

Trong trường hợp này, bản thân câu lệnh xác định rằng hai sự kiện là độc lập, vì vậy chúng ta có thể sử dụng quy tắc nhân ở trên. Ngoài ra, xác suất chip đầu tiên bị lỗi cũng được cung cấp, mà chúng ta sẽ gọi là sự kiện A. Xác suất chip thứ hai bị lỗi (sự kiện B) có thể được tính từ thông tin do nhà sản xuất cung cấp:

Vậy xác suất để cả hai bộ phận hỏng cùng một lúc là:

Người giới thiệu

Xác suất có điều kiện và tính độc lập . (nd). Đại học Y tế Florida. https://bolt.mph.ufl.edu/6050-6052/unit-3/module-7/

Devore, JL (1998). XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ CHO KỸ THUẬT VÀ KHOA HỌC . Nhà xuất bản Thomson Quốc tế, SA

Frost, J. (2021, ngày 10 tháng 5). Quy tắc nhân để tính xác suất . Thống kê của Jim. https://statisticsbyjim.com/probability/multiplication-rule-calculating-probabilities/

Quy tắc nhân, giải bài tập . (2021, ngày 1 tháng 1). MateMobile. https://matemovil.com/regla-de-la-multiplicacion-o-producto-de-probabilidades/

Quy tắc nhân xác suất . (nd). Gia sư Varsity. https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/multiplication-rule-of-probability

Quy tắc nhân (Xác suất) [Ví dụ] . (nd). Fhybea. https://www.fhybea.com/multiplication-rule.html

Quy tắc nhân tổng quát . (nd). Học viện Khan. https://www.khanacademy.org/math/ap-statistics/probability-ap/probability-multiplication-rule/a/General-multiplication-rule