Trong số các tổ hợp ký hiệu liên quan đến phép tính số học hoặc biểu thức đại số, người ta thường tìm thấy ba ký hiệu thường bị nhầm lẫn khi sử dụng; dấu ngoặc đơn ( ), dấu ngoặc vuông [ ] và dấu ngoặc nhọn { }. Hãy xem ứng dụng cụ thể của từng cái là gì cùng với một số ví dụ để sửa chữa các ý tưởng.
Dấu ngoặc đơn ( ) được sử dụng để nhóm các số và biến, trong một phép tính hoặc trong một phương trình đại số. Khi chúng tôi tìm thấy dấu ngoặc đơn ở giữa các phép tính số học khác nhau, chúng tôi đang được cho biết thứ tự thực hiện chúng. Hãy nhớ lại rằng, không cần chỉ dẫn thêm, phép nhân và phép chia được ưu tiên hơn phép cộng và phép trừ, và phép lũy thừa ưu tiên hơn phép nhân và phép chia. Khi các hoạt động có cùng mức độ ưu tiên phải được thực hiện, phép tính sẽ tiến hành từ trái sang phải trong biểu thức toán học. Hãy xem vai trò của dấu ngoặc đơn chỉ thứ tự thực hiện các phép toán trong ví dụ sau.
9 – 5 ÷ (8 – 3) × 2 + 6
Các dấu ngoặc đơn cho chúng ta biết rằng phép toán được đề xuất trong không gian của nó trước tiên phải được thực hiện mà không cần xem xét thứ tự ưu tiên thông thường trong đó các phép toán số học được thực hiện. Trong ví dụ này, các phép toán nhân và chia sẽ phải được thực hiện trước phép trừ, tuy nhiên vì phép toán 8 – 3 được đặt trong dấu ngoặc nên chúng ta phải thực hiện phép tính này trước. Khi tất cả các phép tính bên trong dấu ngoặc đơn đã được thực hiện, trong trường hợp này chỉ là 8 – 3, chúng sẽ bị loại bỏ và chúng tôi tiến hành các phép toán khác với mức độ ưu tiên thông thường. Trong trường hợp này, (8 – 3) được thay thế bằng 5 và trình tự giải của phép tính này sẽ như sau.
9 – 5 ÷ (8 – 3) × 2 + 6 = 9 – 5 ÷ 5 × 2 + 6
9 – 5 ÷ 5 × 2 + 6 = 9 – 1 × 2 + 6
9 – 1 × 2 + 6 = 9 – 2 + 6
9 – 2 + 6 = 7 + 6
7 + 6 = 13
Dấu ngoặc đơn cũng ngầm chỉ ra rằng đây là một phép toán nhân. Ví dụ, trong biểu thức 3(2 + 5), dấu ngoặc đơn cho biết phép cộng trước tiên phải được thực hiện bên trong khoảng trống của dấu ngoặc đơn, 2 + 5. Nhưng không có phép toán rõ ràng nào giữa ba và khoảng trống của dấu ngoặc đơn, do đó, được coi là một phép nhân. Một trường hợp tổng quát hơn, với hai dấu ngoặc đơn, sẽ là biểu thức (6 –3)(2 + 3). Một lần nữa, đầu tiên chúng ta phải giải hai phép tính trong khoảng trống giữa các dấu ngoặc đơn, đó là 6 – 3 và 2 + 3, sau đó chúng ta giả sử rằng chúng ta phải thực hiện tích của cả hai kết quả. Để rõ ràng, hãy phát triển tính toán.
(6 – 3)(2 + 3) = (6 – 3) × (2 + 3)
(6 – 3) × (2 + 3) = (3) × (3)
(3) × (3) = 3 × 3
3 × 3 = 9
Dấu ngoặc cũng được sử dụng khi cần nhóm các số và biến trong phép tính hoặc trong phương trình đại số, nhưng khi dấu ngoặc đã được sử dụng. Nghĩa là, nếu cần nhóm các số và biến trong khoảng trống đã được nhóm, thì nhóm bên trong được biểu thị bằng dấu ngoặc đơn và nhóm bên ngoài bằng dấu ngoặc vuông. Nếu cần một nhóm bậc ba khác trong cùng một không gian, thì dấu ngoặc nhọn sẽ được sử dụng. Trình tự, còn được gọi là dấu ngoặc lồng nhau, sẽ tuân theo thứ tự sau: { [ ( ) ] }
Hãy xem một ví dụ về biểu thức toán học kết hợp dấu ngoặc đơn và dấu ngoặc vuông. Như trong trường hợp dấu ngoặc đơn, nếu không có phép toán rõ ràng nào bên cạnh dấu ngoặc đơn thì giả định rằng đó là phép nhân.
4 – 3[4 – 2(6 – 3)] ÷ 3
Trong biểu thức này, trước hết chúng ta cần giải các phép toán bên trong dấu ngoặc.
4 – 2(6 – 3)
Ngược lại, biểu thức này có thứ tự ưu tiên được biểu thị bằng dấu ngoặc đơn; Đầu tiên, bạn phải giải quyết sự khác biệt 6 – 3. Hãy xem sự phát triển đầy đủ của trình tự tính toán.
4 – 3[4 – 2(6 – 3)] ÷ 3 = 4 – 3 × [4 – 2 × (6 – 3)] ÷ 3
4 – 3 × [4 – 2 × (6 – 3)] ÷ 3 = 4 – 3 × [4 – 2 × (3)] ÷ 3
4 – 3 × [4 – 2 × (3)] ÷ 3 = 4 – 3 × [4 – 6] ÷ 3
4 – 3 × [4 – 6] ÷ 3 = 4 – 3 × [-2] ÷ 3
4 – 3 × [-2] ÷ 3 = 4 + 6 ÷ 3
4 + 6 ÷ 3 = 4 + 2
4 + 2 = 6
Bây giờ hãy xem một ví dụ kết hợp ba biểu tượng.
2{1 + [4(2 + 1) + 3]}
Như đã đề cập, nguyên tắc chung là giải quyết các dấu ngoặc lồng nhau từ trong ra ngoài. Hãy xem trình tự tính toán.
2{1 + [4(2 + 1) + 3]} = 2 × {1 + [4 × (2 + 1) + 3]}
2 × {1 + [4 × (2 + 1) + 3]} = 2 × {1 + [4 × (3) + 3]}
2 × {1 + [4 × (3) + 3]} = 2 × {1 + [12 + 3]}
2 × {1 + [12 + 3]} = 2 × {1 + [15]}
2 × {1 + [15]} = 2 × {16}
2 × {16} = 32
Dấu ngoặc đơn, dấu ngoặc nhọn và dấu ngoặc nhọn cũng thường được gọi tương ứng là dấu ngoặc tròn, dấu vuông và dấu ngoặc nhọn. Trong một số biểu thức chỉ sử dụng dấu ngoặc đơn ngay cả khi có nhiều khoảng cách tính toán lồng nhau. Điều này được thực hiện đặc biệt khi việc lồng nhau lớn hơn ba cấp độ, trong trường hợp đó sẽ không còn ký hiệu phân biệt các cấp độ lồng nhau. Khi chỉ sử dụng dấu ngoặc đơn, phải đặc biệt cẩn thận để xác định khoảng trắng đầu tiên giữa các dấu ngoặc đơn trong lồng, giải quyết nó rồi chuyển sang cấp độ tiếp theo.
Đài phun nước
Samuel Selzer, Đại số và hình học giải tích. Phiên bản thứ hai. Buenos Aires, 1970.
, dấu ngoặc vuông [ ] và dấu ngoặc nhọn { } biểu thị thứ tự thực hiện các phép toán trong một biểu thức toán học.){kind=link}