Tabla de Contenidos
Giai thừa của một số nguyên dương là tích của tất cả các số nguyên nhỏ hơn hoặc bằng nó và được biểu thị bằng ký hiệu !. Ví dụ, giai thừa của số 4 được biểu thị bằng 4! và bằng 24:
4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
Cụ thể, giai thừa của số 0, (nghĩa là 0!), được định nghĩa bằng 1, mặc dù giá trị này không xuất phát từ định nghĩa của giai thừa, chỉ có giá trị đối với bất kỳ số nguyên nào lớn hơn hoặc bằng 1. Tại sao Tại sao giai thừa của số 0 được xác định bằng 1 nếu có một quy tắc toán học nói rằng bất kỳ số nào nhân với 0 đều bằng 0?
Ngoài sự nhầm lẫn mà tình huống này có thể dẫn đến, cần lưu ý rằng giá trị của giai thừa của số 0 là một định nghĩa ; nghĩa là, về mặt toán học, nó được định nghĩa là 0! = 1. Hãy xem bên dưới nền tảng của định nghĩa này.
Định nghĩa giai thừa của số 0
Như chúng tôi đã đề cập, điều đầu tiên cần lưu ý là việc gán giá trị 1 cho giai thừa của số 0 (0! = 1) là một định nghĩa, mặc dù về nguyên tắc, điều này không dẫn đến lời giải thích thỏa đáng nếu chúng ta chỉ xem xét. theo định nghĩa của giai thừa.
Nhắc lại định nghĩa giai thừa của một số nguyên dương là tích của tất cả các số nguyên bằng hoặc nhỏ hơn nó. Lưu ý rằng định nghĩa này cũng ngụ ý rằng giai thừa được liên kết với tất cả các kết hợp có thể có của các số nhỏ hơn hoặc bằng số chúng ta đang xem xét.
Số 0 không có số nguyên dương nào nhỏ hơn nó nhưng nó vẫn là một số và chỉ có một tổ hợp khả dĩ duy nhất của tập hợp các số đặc biệt này chỉ được tạo thành từ số 0. Tổ hợp đó là một, giống như trường hợp của số 1.
Để hiểu rõ hơn ý nghĩa toán học của định nghĩa này, cần lưu ý rằng khái niệm giai thừa cũng liên quan đến thông tin khác chứa trong một số, cụ thể là các hoán vị có thể có của các thừa số của nó. Ngay cả trong tập rỗng được đại diện bởi số 0, có thể nghĩ rằng có một cách để sắp xếp tập hợp này.
Hoán vị và giai thừa
Khái niệm giai thừa được sử dụng trong nhánh toán học gọi là tổ hợp, một ngành học trong đó khái niệm hoán vị các phần tử được định nghĩa. Hoán vị là một thứ tự cụ thể và duy nhất của các phần tử tạo nên một tập hợp nhất định. Ví dụ, có sáu hoán vị có thể có của tập hợp {1, 2, 3}, chứa ba phần tử, vì chúng ta có thể viết các phần tử này theo sáu cách sau:
- 1, 2, 3
- 1, 3, 2
- 2, 3, 1
- 2, 1, 3
- 3, 2, 1
- 3, 1, 2
Chúng ta cũng có thể diễn đạt khái niệm này thông qua biểu thức giai thừa của ba, 3! = 6, cho phép ta tính được tập hợp đầy đủ các hoán vị của nhóm 3 phần tử. Tương tự, có 24 hoán vị (4!=24) của một tập hợp có bốn phần tử và 120 hoán vị có thể có (5!=120) của một tập hợp có năm phần tử. Vì vậy, một cách khác để suy nghĩ về khái niệm giai thừa là gạt sang một bên ý tưởng rằng nó được liên kết với một số tự nhiên n và nghĩ rằng n ! là số các hoán vị của tập hợp gồm n phần tử.
Bây giờ chúng ta hãy xem một số ví dụ xem xét khái niệm mới này về giai thừa của một số. Một tập hợp gồm hai phần tử có hai hoán vị: {a, b} có thể được sắp xếp là (a, b) hoặc là (b, a). Điều này gắn liền với định nghĩa giai thừa của số 2; 2! = 2. Một tập hợp gồm một phần tử duy nhất, {a}, chỉ có một hoán vị khả dĩ và được liên kết với định nghĩa giai thừa của số 1; 1! = 1.
Bây giờ chúng ta hãy quay lại trường hợp giai thừa bằng 0. Tập hợp gồm các phần tử bằng 0 được gọi là tập hợp rỗng. Để tìm giá trị của giai thừa bằng 0, chúng ta có thể tự hỏi mình, có bao nhiêu cách chúng ta có thể sắp xếp một tập hợp không có phần tử? Và trong khi một câu trả lời có thể là không có gì để sắp xếp trong một tập hợp trống, thì chúng ta cũng có giải pháp thay thế là ngay cả tập hợp trống cũng là một tập hợp, vì vậy câu trả lời có thể là 1, và do đó, 0! = 1.
Các ứng dụng khác của giai thừa
Như chúng ta đã nói, khái niệm giai thừa được sử dụng trong tổ hợp và công cụ toán học này được sử dụng để thực hiện các phép tính trong các công thức biểu thị các hoán vị và tổ hợp của các nhóm phần tử. Mặc dù các ứng dụng này không đưa ra lời biện minh trực tiếp cho việc gán 1 cho giai thừa của số 0, nhưng có thể hiểu tại sao nó được định nghĩa theo cách này.
Khái niệm về sự kết hợp của một nhóm các phần tử đề cập đến số lượng các nhóm con có thể thu được với chúng, bất kể thứ tự mà chúng được xem xét. Ví dụ: tập hợp {1, 2, 3} chỉ có một phép nối nếu lấy ba phần tử, bất kể thứ tự. Nhưng nếu chúng ta lấy chúng theo hai phần tử, chúng ta sẽ có ba tổ hợp khả dĩ, {1, 3}, {2, 3} và {1, 2}, giống như khi chúng ta lấy chúng theo một phần tử, {1}, {2} và {3}. Công thức chung để tính số tổ hợp không lặp của một tập n phần tử nào đó được lấy trong các nhóm con có p phần tử là C ( n , p ) = n !/ p !( n–p ) !.
Nếu chúng ta sử dụng công thức này để xác định số tổ hợp của ba phần tử lấy ba, chúng ta thấy rằng kết quả phải là 1, được biểu thị bằng C (3, 3) = 3! /3! (3-3)! = 3! /3! 0!, vì vậy cần phải xác định 0! = 1 để biểu thức toán học có nghĩa.
Theo cách tương tự, có những tình huống khác khiến cần phải xác định giai thừa của số 0 là 1, 0! = 1, như một phần của quan niệm chung trong sự phát triển của toán học chỉ ra rằng khi các ý tưởng mới được xây dựng và các định nghĩa mới được kết hợp thì phải có sự tương thích với các cấu trúc đã có từ trước.
Thư mục
Giai thừa không hoặc 0!. Học viện Khan .
Có giai thừa bằng 0 không? Kênh youtube Lạc trôi .
