Tabla de Contenidos
Trong Toán học, số nguyên tố là một trong những chủ đề phổ biến khi nghiên cứu về số nguyên. Vì các số nguyên tố là vô hạn nên một bài tập thú vị để thực hành với chúng là tìm hiểu xác suất để một số từ 1 đến X được chọn ngẫu nhiên là một số nguyên tố.
số nguyên tố là gì
Số nguyên tố là những số chỉ chia hết cho 1 và chính nó, tức là cho số đang xét. Điều này có nghĩa là khi chia cho bất kỳ số nào khác, kết quả không cho số nguyên. Nó cũng được coi là có vô số số nguyên tố.
Không giống như số nguyên tố, hợp số là những số có thể chia hết cho 1, cho chính nó và cho các số khác.
Số 1 không được coi là số nguyên tố, cũng không phải là hợp số.
Số nguyên tố và sàng Eratosthenes
Để tìm nhanh tất cả các số nguyên tố, nhà toán học Hy Lạp Eratosthenes (thế kỷ III TCN) đã sáng tạo ra cách quy tất cả các số nguyên tố đến một số nào đó một cách nhanh chóng. Phương pháp này được gọi là “Eratosthenes sàng”.
Sàng Eratosthenes là một thuật toán cho phép biết tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn một số tự nhiên cho trước. Để làm điều này, một bảng được tạo với tất cả các số tự nhiên trong khoảng từ 2 đến số đã chọn (n). Trong ví dụ này, n là 100.
Sau đó, các số không phải là số nguyên tố bị gạch bỏ. Đầu tiên, hãy bắt đầu với 2 và gạch bỏ tất cả các bội số của nó. Khi một số không bị gạch chéo được tìm thấy, tất cả các bội số của nó sẽ bị gạch bỏ, v.v. Quy trình này kết thúc khi thu được bình phương của số tiếp theo được xác nhận là số nguyên tố lớn hơn “n”.
Sử dụng Sàng Eratosthenes, chúng ta sẽ thu được 25 số nguyên tố từ 0 đến 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 , 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Các ví dụ khác về số nguyên tố
Các ví dụ khác về số nguyên tố giữa 100 và 1000 là: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197 , 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349 , 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499 , 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659 , 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829 , 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991 và 997.
bài toán số nguyên tố
Như hầu hết các trường hợp trong Toán học, cách tốt nhất để hiểu cách tính các số nguyên tố là giải các bài toán. Bây giờ hãy xem một bài toán đơn giản để biết xác suất chọn được một số nguyên tố là bao nhiêu.
Đầu tiên, chúng ta sẽ chọn một số nguyên dương, có thể là 1, 2, 3, v.v., cho đến một số X nhất định. Sau đó, chúng ta phải chọn ngẫu nhiên một trong những số này. Điều này có nghĩa là tất cả các số X đều có xác suất được chọn.
Giải pháp cho vấn đề này rất đơn giản đối với các số X thấp. Vấn đề được giải quyết bằng cách làm theo các bước sau:
- Bước đầu tiên:
- Đếm số lượng các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng X.
- Bước thứ hai:
- Chia số các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng X cho chính số X. Tức là muốn biết xác suất chọn một số nguyên tố nào đó từ 1 đến 10 thì ta phải chia số các số nguyên tố đó cho 10.
Ví dụ, để tìm xác suất chọn một số nguyên tố từ 1 đến 10, chúng ta phải chia số nguyên tố cho 10. Vì có 4 số nguyên tố từ 1 đến 10: 2, 3, 5, 7 nên xác suất chọn một số nguyên tố là: 4/10 = 0,4, tức là 40%.
Theo cách tương tự, nếu chúng ta muốn biết xác suất mà một số nguyên tố từ 1 đến 50 được chọn là bao nhiêu, thì có thể thực hiện các bước trước đó. Chúng ta đếm các số nguyên tố nhỏ hơn 50, đó là 15: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 và 47. Và chúng ta chia số này cho 50:15/50 = 0,3, tức là 30%. Do đó, có 30% cơ hội chọn một số nguyên tố từ 1 đến 50.
định lý số nguyên tố là gì
Một cách khác để biết các số nguyên tố cho đến một số nhất định và tính xác suất chọn một trong số chúng là sử dụng Định lý số nguyên tố . Định lý này được phát biểu bởi nhà toán học người Đức Gauss trong thế kỷ 18, và được chứng minh gần một thế kỷ sau bởi các nhà toán học khác, chẳng hạn như Jacques Hadamard người Pháp và Charles-Jean de la Vallée Poussin người Bỉ.
Định lý số nguyên tố phát biểu rằng có khoảng X / ln(X) các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng X. Trong phát biểu này:
- ln(X): là logarit tự nhiên của X.
- X: là số đến mà ta muốn biết các số nguyên tố.
Khi giá trị của X tăng lên, sai số tương đối giữa số lượng các số nguyên tố nhỏ hơn X và câu lệnh X / In(X) giảm xuống.
Cách áp dụng Định lý số nguyên tố
Với Định lý số nguyên tố, chúng ta có thể giải các bài toán tương tự như bài toán trước, đặc biệt nếu chúng ta muốn biết các số nguyên tố trong số các số lớn hơn.
Theo Định lý số nguyên tố, chúng ta biết rằng có xấp xỉ X/ln(X) số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng X. Hơn nữa, có tổng X số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng X. Do đó, xác suất rằng một số được chọn ngẫu nhiên trong phạm vi này là số nguyên tố là: ( X / ln(X) ) / X = X / ( ln(X). X ) = 1 / ln(X).
Ví dụ: chúng ta có thể sử dụng kết quả đó để tính toán gần đúng xác suất chọn ngẫu nhiên một số nguyên tố trong số một triệu số nguyên đầu tiên.
Để làm điều này, chúng ta phải tính logarit tự nhiên của một triệu. Vì vậy, chúng tôi có:
P(1.000.000) = (X/ln(X) / X = 1 / ln(X)
P(1.000.000) = 1 / ln(1.000.000)
Vì vậy, chúng tôi nhận được ln(1.000.000) = 13,8155 và 1 / ln(1.000.000) xấp xỉ 0,07238. Do đó, chúng ta có khoảng 7,238% cơ hội chọn ngẫu nhiên một số nguyên tố từ một triệu số nguyên đầu tiên.
Thư mục
- López Mateos, M. Toán cơ bản. (2017). Tây ban nha. TạoSpace.
- đk. Cuốn sách toán học. (2020). Tây ban nha. đk.
- Gracian, E. Số nguyên tố: một chặng đường dài đến vô tận. (2010). Tây ban nha. Sách RBA.
