Tabla de Contenidos
Các số có các thuộc tính khác nhau và có thể được phân loại thành các nhóm khác nhau. Một trong những nhóm này, với ứng dụng rộng rãi trong các ngành toán học khác nhau, là số thực. Để hiểu rõ hơn về chúng, trước tiên chúng ta hãy xem các loại số khác nhau là gì.
Những con số
Điều đầu tiên chúng ta học về các con số là cách sử dụng chúng để đếm; chúng tôi bắt đầu với việc khớp chúng bằng các ngón tay của mình để thực hiện các thao tác đơn giản. Như vậy, mười ngón tay của chúng ta là cơ sở của hệ thống thập phân. Từ đó, chúng tôi đếm số lượng lớn nhất có thể và lưu ý rằng các số là vô hạn. Và như vậy, thêm số không (0) khi ta không còn gì để đếm, các số tự nhiên được hình thành.
Với các số tự nhiên, chúng ta thực hiện các phép tính số học và khi chúng ta trừ một số khác khỏi một số, chúng ta phải giới thiệu các số âm. Vì vậy, cộng các số âm với các số tự nhiên, chúng ta thu được tập hợp các số nguyên.
Trong số các phép tính số học mà chúng ta thực hiện với các số là phép chia. Và chúng tôi thấy rằng có những trường hợp khi chia một số này cho một số khác, kết quả không phải là một số nguyên; Trong nhiều trường hợp, kết quả phép chia này chỉ có thể được biểu diễn chính xác bằng chính biểu thức phép chia, tức là một phân số. Đây là cách xây dựng tập hợp các số hữu tỉ, trong đó tất cả các số được viết dưới dạng phân số và các số nguyên có mẫu số là 1.
Chính các nền văn minh cổ đại đã quan sát thấy rằng có những con số không thể biểu diễn dưới dạng phân số. Khi làm việc với các hình hình học, họ đã tìm ra số pi, mối quan hệ giữa bán kính và độ dài của một hình tròn, một con số không thể biểu thị dưới dạng thương số giữa hai số nguyên. Đó cũng là trường hợp của căn bậc hai của số 2 (nghĩa là số đó nhân với chính nó sẽ cho kết quả là số 2). Và có nhiều con số xuất hiện trong các nhánh kiến thức khác nhau mà không phải là một phần của tập hợp các số hữu tỉ. Những số này, không thể biểu diễn chính xác dưới dạng thương của hai số nguyên, được gọi là số vô tỉ. Khi đó tập hợp các số hữu tỉ và vô tỉ tạo thành tập hợp các số thực.
Các số thực là một phần của một tập hợp số thậm chí còn lớn hơn: các số phức. Phần mở rộng này của tập hợp các số thực phát sinh khi chúng ta muốn tính căn bậc hai của một số âm; Vì tích của hai số âm luôn dương nên không có số thực nào nhân với chính nó là số âm. Sau đó, số ảo i được xác định , đại diện cho căn bậc hai của -1 và tập hợp các số phức phát sinh.
đại diện thập phân
Tất cả các số có thể được biểu thị ở dạng thập phân; Ví dụ, số hữu tỷ 1/2 có thể được biểu diễn ở dạng thập phân là 0,5. Không giống như số hữu tỷ 1/2, có thể được biểu diễn chính xác bằng một chữ số thập phân duy nhất, các số hữu tỷ khác có vô số chữ số thập phân và khôngChúng có thể được thể hiện chính xác với biểu diễn thập phân. Đây là trường hợp của số 1/3; Biểu diễn thập phân của nó là 0,33333…, với vô số chữ số thập phân. Các số hữu tỉ này được gọi là số thập phân tuần hoàn, vì trong mọi trường hợp tồn tại một dãy số lặp lại vô hạn lần. Trong trường hợp số 1/3 dãy đó là 3; trong trường hợp của số 1/7, dạng thập phân của nó là 0,1428571428571…, và dãy lặp lại vô tận là 142857. Các số vô tỷ không phải là số thập phân tuần hoàn; không có dãy nào được lặp lại vô hạn lần trong biểu diễn thập phân của nó.
Đại diện trực quan
Các số thực có thể được hình dung bằng cách liên kết mỗi số trong số chúng với một trong vô số điểm dọc theo một đường thẳng, như thể hiện trong hình. Trong biểu diễn đồ họa này là số pi, có giá trị xấp xỉ 3,1416, số e , xấp xỉ 2,7183 và căn bậc hai của số 2, xấp xỉ 1,4142. Từ số 0 sang phải các số thực dương có dạng tăng dần và sang trái các số âm tăng giá trị tuyệt đối theo chiều đó.
Một số tính chất của số thực
Số thực hoạt động giống như số nguyên hoặc số hữu tỷ mà chúng ta quen thuộc hơn. Chúng ta có thể cộng, trừ, nhân và chia chúng theo cùng một cách; ngoại lệ duy nhất là phép chia cho số 0, một phép toán không thể thực hiện được. Thứ tự của các phép cộng và phép nhân không quan trọng, vì tính chất giao hoán vẫn đúng và tính chất phân phối cũng áp dụng theo cách tương tự. Tương tự, hai số thực x và y được sắp xếp theo một cách duy nhất và chỉ một trong các quan hệ sau là đúng:
x = y , x < y hoặc x > y
Các số thực là vô hạn, giống như số nguyên và số hữu tỉ. Về nguyên tắc, điều này là hiển nhiên vì cả số nguyên và số hữu tỉ đều là tập con của số thực. Nhưng có một sự khác biệt: trong trường hợp số nguyên và số hữu tỉ, người ta nói rằng chúng là những số vô hạn đếm được; thay vào đó, các số thực là vô hạn.
Một tập hợp được gọi là đếm được hoặc đếm được khi mỗi thành phần của nó có thể được liên kết với một số tự nhiên. Hiệp hội là rõ ràng trong trường hợp số nguyên; trong trường hợp các số hữu tỷ, nó có thể được coi là liên kết với một cặp số tự nhiên, tử số và mẫu số. Nhưng hiệp hội này là không thể trong trường hợp số thực.
nguồn
- Arias Cabezas, Jose Maria, Maza Saez, Ildefonso. Số học và Đại số . Trong Carmona Rodríguez, Manuel, Díaz Fernández, Francisco Javier, chủ biên. Toán học 1. Bruño Editorial Group, Limited Company, Madrid, 2008.
- Carlos Ivora. Lý thuyết logic và tập hợp . 2011.
