Tabla de Contenidos
Logic là một nhánh của toán học, và một phần của nó là lý thuyết tập hợp. Định luật De Morgan là hai định đề về sự tương tác giữa các tập hợp. Những luật này ghi lại tiền đề ở Aristotle và William of Ockham. Augustus De Morgan sống trong khoảng thời gian từ 1806 đến 1871 và là người đầu tiên đưa các định luật mà ông đưa ra trong cấu trúc hình thức của logic toán học.
Toán tử trong lý thuyết tập hợp
Trước khi chuyển sang các định đề của De Morgan, chúng ta hãy xem xét một số định nghĩa về lý thuyết tập hợp.
Nếu có hai tập hợp bất kỳ gồm các phần tử mà ta gọi là A và B thì giao của hai tập hợp này là tập hợp các phần tử chung của cả hai tập hợp. Giao của hai tập hợp được ký hiệu là ∩, và là một tập hợp khác mà chúng ta có thể gọi là C; C = A∩B, và C là tập hợp các phần tử vừa xuất hiện trong cả nhóm A và nhóm B. Tương tự, hợp của hai tập hợp A và B được một tập hợp mới chứa tất cả các phần tử của A và B, và nó được ký hiệu là ký hiệu U. Tập hợp C, hợp của A và B, C = AUB, là một tập hợp có tất cả các phần tử của A và B. Định nghĩa thứ ba mà chúng ta phải nhớ là phần bù của một tập hợp: nếu ta có một vũ trụ gồm các phần tử nào đó và một tập hợp A của vũ trụ này thì phần bù của A là tập hợp các phần tử của vũ trụ đó không thuộc tập hợp A. Tập hợp phần bù của A được ký hiệu là A C .
Ba toán tử giữa các tập hợp này có thể được khái quát hóa thành phép toán giữa một số tập hợp, nghĩa là giao, hợp và bù của một số tập hợp. Hãy xem xét một ví dụ đơn giản. Hình dưới đây cho thấy sơ đồ Venn của ba tập hợp: những con chim, đại diện bởi con vẹt, con đà điểu, con vịt và con chim cánh cụt; những sinh vật biết bay, đại diện là vẹt, vịt, bướm và cá bay, và những sinh vật biết bơi, đại diện là vịt, chim cánh cụt, cá bay và cá voi. Vịt là tập hợp giao điểm của ba tập hợp: tập hợp các loài chim và sinh vật biết bay được tạo thành từ đà điểu, vẹt, bướm, vịt, chim cánh cụt và cá chuồn. Và phần bổ sung của những sinh vật biết bay và những sinh vật biết bơi là tập hợp có con đà điểu.
Định luật De Morgan
Bây giờ chúng ta có thể thấy các định đề của định luật De Morgan. Định đề thứ nhất nói rằng phần bù của giao của tập hợp hai tập hợp A và B bằng với tập hợp của phần bù của A và phần bù của B. Sử dụng các toán tử được định nghĩa trong đoạn trước, định luật đầu tiên của De Morgan có thể được viết như cách sau:
(A∩B) C = A C UB C
Định luật thứ hai của De Morgan quy định rằng phần bù của tập hợp hợp của A và B bằng giao của tập hợp phần bù của A với tập hợp phần bù của B, và nó được ghi chú như sau:
(AUB) C = A C ∩ B C
Hãy xem một ví dụ. Xét tập hợp các số nguyên từ 0 đến 5. Số này được ký hiệu là [0,1,2,3,4,5]. Trong vũ trụ này, chúng ta xác định hai tập hợp A và B. A là tập hợp các số 1, 2 và 3; Một = [1,2,3]. YB là bộ số 2, 3, 4; B = [2,3,4]. Luật đầu tiên của De Morgan sẽ được áp dụng như sau.
A = [1,2,3]; B = [2,3,4]
Định luật đầu tiên của De Morgan: (A∩B) C = A C UB C
(A∩B) C
A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]
(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]
A C UB C
AC = [1,2,3] C = [ 0,4,5]
BC = [2,3,4] C = [0,1,5]
A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]
Kết quả của việc áp dụng các toán tử ở cả hai vế của đẳng thức cho thấy định luật đầu tiên của De Morgan đã được kiểm chứng. Chúng ta hãy xem ứng dụng của ví dụ cho định đề thứ hai.
Định luật thứ hai của De Morgan: (AUB) C = A C ∩ B C
(AUB) C
AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]
(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]
A C ∩ B C
AC = [1,2,3] C = [ 0,4,5]
BC = [2,3,4] C = [0,1,5]
A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]
Như với định đề đầu tiên, trong ví dụ đã cho, định luật thứ hai của De Morgan cũng được áp dụng.
nguồn
AG Hamilton. Logic cho các nhà toán học. Biên tập Paraninfo, Madrid, 1981.
Carlos Ivorra Castillo. Logic và lý thuyết tập hợp . Truy cập tháng 11 năm 2021
