Tabla de Contenidos
Madeni para ve zar atmak ya da bir kutudan körü körüne top çıkarmak, istatistikle ilgili farklı kavramları anladığımızı test etmek için yapabileceğimiz en basit deneylerden bazılarıdır. Yapılması kolay, herkesin evinde yapabileceği, açık ve net sonuçlar veren, kolaylıkla sayısal verilere dönüştürülebilen deneylerdir.
Zar atma söz konusu olduğunda, bunlar ve şans oyunları arasında da açık bir ilişki vardır, bu da birçok insanın günlük yaşamının bir parçası olan bir şeyde veya en azından hemen hemen herkesin sahip olduğu bir şeyde istatistiklerin uygulanmasını daha somut hale getirir. çoğumuz hayatında en az bir kez karşılaşmışızdır.
Aynı anda üç zar atmak, farklı şekillerde yorumlayabileceğimiz farklı türde sonuçlar üretebilir. Bireysel sonuçların kendisiyle ilgilenebiliriz veya toplamın değeriyle veya zarlar arasında çıkan çift veya tek sonuçların sayısıyla vb. ilgilenebiliriz. Üçünden en yaygın olanı, üç zarın değerlerinin toplamının sonucuyla ilgilenmektir. Aşağıdaki bölümlerde, aynı anda üç zar atarken toplamların her birinin oluşma olasılığının nasıl hesaplanacağını keşfedeceğiz.
Üç zar atmak için örnek uzay
Tek bir zar atmak, yalnızca altı olası sonucu olan basit bir deneydir. Yani, örnek uzayı S 1 verilen = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.
İki zar aynı anda atılırken, her zarın sonucunun diğerinden bağımsız olduğu varsayılabilir, böylece her biri önceki altı sonuçtan herhangi biriyle sonuçlanabilir. Bu, bir kalıbın 6 değeri ile diğerinin 6 değeri arasındaki tüm olası kombinasyonlara karşılık gelen 6 2 = 36 olası sonucun verilebileceği sonucunu getirir.
Bu durumda , verilen = {11; 12; 13; 14; on beş; 16; yirmi bir; 22; 23; 24; 25; 26; …; 61; 62; 63; 64; 65; 66}. Bu 36 sonuçtan, benzersiz kombinasyonların sayısı (sıra dikkate alınmaksızın), m = 6 olası sonuçla n = 2’lik grupların (atılan iki zar) alındığı tekrarlı bir kombinatorik aracılığıyla hesaplanabilir. :
Bu 21 sonuç {11; 12; 13; 14; on beş; 16; 22; 23; 24; 25; 26; 33; 3. 4; 35; 36; 44; Dört beş; 46; 55; 56; 66}. Bu sonuçların her birinin olasılığı, 1/36 çarpı her bir sayının basamaklarıyla oluşturulabilecek farklı permütasyonların sayısına karşılık gelir (sayı 11, 22 vb. gibi tekrarlanıyorsa 1 ve eğer tekrarlanıyorsa 2). 12 veya 21, 13 veya 31 vb. olabileceğinden sayı tekrarlanmaz.)
3 zarın atılması durumunda, örneklem uzayındaki olası sonuçların toplam sayısı 6 3 = 216 olarak verilir. Bu sonuçlar S 3 zar = {111; 112; 113; 114; 115; 116; 121; …; 126; 131; …; 136; …; 166; 211; 212; …; 656; 666}. Bu durumda, herhangi bir bireysel sonucun olasılığı 1/216 olmalıdır.
Üç zar atıldığında bireysel sonuçların olasılığı
Artık 3 zar atmanın tüm olası sonuçlarının örnek uzayını iyi tanımladığımıza göre, elde edilebilecek farklı sonuçların her birinin olasılığını nasıl hesaplayacağımıza bakalım.
Üç zar atma durumunda, sonuçların gelme sırasının alakasız olduğu düşünüldüğünde, 216 sonucun çoğu aslında tekrarlanacaktır. Benzersiz sonuçların toplam sayısı, her biri 6 seçenekli ve tekrar olasılığı olan 3’lü grupların bir kombinasyonu olarak yeniden hesaplanabilir, yani:
Bu 56 sonuçtan üç eşit sayıdan oluşanlar (AAA diyelim) sadece bir kez çıkıyor. Öte yandan, iki özdeş ve bir farklı olan (AAB) olanlar 3’er kez tekrarlanır (AAB, ABA ve BAA permütasyonlarına karşılık gelir). Son olarak üç farklı rakama (ABC) sahip olanlar 3 çıkacaktır! = 6 kez (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB ve CBA).
Bu bilgiden ve olası sonuçların toplam sayısından (216), her bir sonucun olasılığını şu şekilde hesaplayabiliriz:
Sonuca göre 1, 2 veya 3 farklı rakama sahiptir. 56 olası sonuç ve olasılıkları aşağıdaki tabloda gösterilmektedir:
| Sonuç | olasılık | Sonuç | olasılık | Sonuç | olasılık | Sonuç | olasılık |
| 111 | 1/216 | 136 | 1/36 | 235 | 1/36 | 346 | 1/36 |
| 112 | 1/72 | 144 | 1/72 | 236 | 1/36 | 355 | 1/72 |
| 113 | 1/72 | 145 | 1/36 | 244 | 1/72 | 356 | 1/36 |
| 114 | 1/72 | 146 | 1/36 | 245 | 1/36 | 366 | 1/72 |
| 115 | 1/72 | 155 | 1/72 | 246 | 1/36 | 444 | 1/216 |
| 116 | 1/72 | 156 | 1/36 | 255 | 1/72 | 445 | 1/72 |
| 122 | 1/72 | 166 | 1/72 | 256 | 1/36 | 446 | 1/72 |
| 123 | 1/36 | 222 | 1/216 | 266 | 1/72 | 455 | 1/72 |
| 124 | 1/36 | 223 | 1/72 | 333 | 1/216 | 456 | 1/36 |
| 125 | 1/36 | 224 | 1/72 | 334 | 1/72 | 466 | 1/72 |
| 126 | 1/36 | 225 | 1/72 | 335 | 1/72 | 555 | 1/216 |
| 133 | 1/72 | 226 | 1/72 | 336 | 1/72 | 556 | 1/72 |
| 134 | 1/36 | 233 | 1/72 | 344 | 1/72 | 566 | 1/72 |
| 135 | 1/36 | 2. 3. 4 | 1/36 | 3. 4. 5 | 1/36 | 666 | 1/216 |
Üç zar atıldığında toplamın gelme olasılığı
Daha önce de belirtildiği gibi, zar atarken, her turanın geldiği belirli sayıdan daha önemli bir sonuç, zarların toplamıdır. Üç zarın atıldığı ve toplamın elde edildiği deneyde, örneklem uzayı 1’den 6’ya kadar olan üç sayı arasındaki olası tüm toplamlardan oluşmaktadır.
Bu toplamdan kaynaklanabilecek en küçük değer, üç zar 1’e geldiğinde elde edilen ve 1+1+1 = 3 toplamı elde edilen değerdir, maksimum değer ise 6+6+6 = 18’e karşılık gelir. Ara meblağlardan herhangi birinin elde edilmesi. Bu nedenle, bu deneyin örnek uzayı şuna karşılık gelir:
S = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; on bir; 12; 13; 14; on beş; 16; 17; 18}
| üç zarın toplamı | Benzersiz sonuçların sayısı | Özellikle benzersiz sonuçlar | Olası sonuçların toplam sayısı |
| 3 | 1 | 111 | 1 |
| 4 | 1 | 112 | 3 |
| 5 | 2 | 113; 122 | 6 |
| 6 | 3 | 114; 123; 222 | 10 |
| 7 | 4 | 115; 124; 133; 223 | onbeş |
| 8 | 5 | 116; 125; 134; 224; 233 | yirmi bir |
| 9 | 6 | 126; 135; 144; 225; 2. 3. 4; 333 | 25 |
| 10 | 6 | 136; 145; 226; 235; 244; 334 | 27 |
| on bir | 6 | 146; 155; 236; 245; 335; 344 | 27 |
| 12 | 6 | 156; 246; 255; 336; 3. 4. 5; 444 | 25 |
| 13 | 5 | 166; 256; 346; 355; 445 | yirmi bir |
| 14 | 4 | 266; 356; 446; 455 | onbeş |
| onbeş | 3 | 366; 456; 555 | 10 |
| 16 | 2 | 466; 556 | 6 |
| 17 | 1 | 566 | 3 |
| 18 | 1 | 666 | 1 |
Tablonun son sütunu, eşdeğer sonuçlar (her benzersiz kombinasyonun tüm permütasyonlarından) dahil olmak üzere, her toplamın verdiği toplam sonuç sayısını gösterir. Örneğin, 15’in toplamı için, zar atışının 366, 356 veya 555 olması gerekir. Ancak 366’lık (366, 636 ve 663) 3 permütasyon ve 356’lık (356, 365, 536, 366, 365, 536, 563, 635 ve 653) ve 555’te tek bir, yani 15’e eşit olası sonuçların toplam sayısı 10’dur.
Önceki tabloyla, üç zarın atılması için her toplamın olasılığını iki farklı şekilde hesaplama alıştırması yapabiliriz. Bunlar aşağıda detaylandırılmıştır.
Strateji 1: Her benzersiz sonucun olasılığını kullanmak
İlk strateji, her toplamın verebileceği tüm benzersiz sonuçların olasılığını eklemekten oluşur. Bu, üçüncü sütundaki benzersiz sonuçların ve yukarıda sunulan her bir sonucun ilgili olasılığının kullanılmasını içerir.
Örnek
Üç zarın toplamının 11 (yani P(11)) olma olasılığını hesaplamak istediğimizi varsayalım. Bu durumda, toplamı 11 veren 6 benzersiz kombinasyon (sırasına bakılmaksızın) vardır. Bu sonuçlar (yukarıdaki tablonun üçüncü sütununa göre): {146; 155; 236; 245; 335; 344}.
Her bir sonucun olasılığı, önceki bölümde açıklandığı gibi, her durumda olası permütasyonların toplam sayısına göre belirlenir. Bu durumda:
Bu nedenle, toplamın sonucunun 11 olma olasılığı:
Benzer şekilde, toplamın 16 olma olasılığını istiyorsak, sonuç her ikisi de 1/72’ye eşit olan 466 ve 556 olasılıklarının toplamı olacaktır, dolayısıyla olasılık şöyle olacaktır:
Strateji 2: Her toplama karşılık gelen toplam sonuç sayısını kullanma
Bu durumda, permütasyonlar da dahil olmak üzere her toplam için tüm olası sonuçların bir listesi olduğu sürece daha basit bir yol izlenir. O halde, her toplamın olasılığı basitçe, toplamın toplam sonuç sayısının olası sonuçların toplam sayısına bölünmesiyle elde edilir (216).
Örnek
Toplam = 11 olması durumunda, söz konusu toplamı veren olası sonuçların toplam sayısı 27’dir (önceki tablonun üçüncü sütununa bakın), yani 11’in toplamının olma olasılığı:
Gördüğünüz gibi, sonuç öncekiyle aynı ve önceden oluşturulmuş bir öncekine benzer bir tablomuz varsa çok basit. Ancak, daha olası sonuçların olduğu daha karmaşık durumlar için (4, 5 veya 4 zar atmak gibi), bu strateji daha az kullanışlı olabilir ve birincisi daha pratik olabilir.
Referanslar
Graffe, S. (2021, 21 Eylül). Üç zar attığınız zaman toplamının 7 gelme olasılığı nedir? Quora. https://en.quora.com/What%C3%A9-probabilidad-hay-que-al-lanzar-tres-dados-salga-una-sumatoria-de-7
Montagud Rubio, N. (2022, 17 Mart). Sayma teknikleri: türleri, nasıl kullanılacağı ve örnekler . Psikoloji ve Zihin. https://psicologiaymente.com/miscelanea/tecnicas-de-conteo
şekerlemeler (2017, 16 Kasım). Olasılık ve İstatistikte Sayma Teknikleri . Naps Teknolojisi ve eğitim. https://naps.com.mx/blog/tecnicas-de-conteo-en-probabilidad-y-estadistica/
Valdés Gómez, J. (2016, 23 Kasım). Tekrarlı kombinasyonlar . Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=WqHZx64RW-Q
