Tabla de Contenidos
Tüm elemanlarına benzersiz bir doğal sayı atamak mümkün olmadığında, sayı kümesi sayılamaz . Diğer bir deyişle sayılamayan kümeler, doğal sayılarla birebir karşılığı olmayan kümelerdir.
Doğal sayıları saymak için genellikle sezgisel olarak kullanırız ve bunu, grubun saymak istediğimiz her bir öğesine sıralı olarak bir doğal sayı atayarak yaparız. Örneğin bir elimizdeki parmak sayısını sayarken her bir parmağa 1 ile başlayıp 5 ile biten benzersiz bir doğal sayı atarız. O zaman ellerde 5 parmak olduğunu biliriz çünkü bu en yüksek değerdir. parmaklara atadık. Başka bir deyişle, parmakları sayarız.
Bu fikir bazı sayı kümelerine uygulanamaz. Bazı durumlarda kümeler o kadar büyüktür ki, sonsuz doğal sayıları kullanmak bile kümenin tüm elemanlarını numaralandırmak için yeterli olmaz. Doğal sayılar kümesi sonsuz olduğundan, sayılamayan kümeler olduğu fikri, diğerlerinden daha büyük bazı sonsuzluklar olduğu ve yalnızca doğal sayılar kümesiyle aynı “boyutta” bir sonsuzluğa sahip olan kümelerin olduğu fikrini akla getirir. sayılabilir doğal sayılardır. Bir kümedeki eleman sayısına kardinal denir, dolayısıyla sayılamayan kümeler, kardinali doğal sayılardan daha büyük olan kümelerdir.
Sayılabilen ve sayılamayan kümelerin bazı özellikleri
Neden bazı kümelerin sayılabilir olduğunu ve bazılarının sayılmadığını anlamak için, kümelerin bazı özelliklerini bilmek yardımcı olur:
- A, B’nin bir alt kümesiyse ve A sayılamayansa, B de sayılamayandır. Başka bir deyişle, sayılamayan bir küme içeren herhangi bir kümenin kendisinin sayılamayan olması gerekir.
- A sayılamayan ve B herhangi bir küme ise (sayılabilir veya sayılamaz), bu durumda AUB birliği de sayılamayandır.
- A sayılamayan ve B herhangi bir küme ise, A x B Kartezyen çarpımı da sayılamayandır.
- A sonsuz ise (hatta sayılabilir sonsuz), o zaman A’nın kuvvet kümesi sayılamaz.
En yaygın sayılamayan kümelere örnekler
Gerçek sayılar kümesi (R)
Gerçek sayılar kümesi, sayılamayan kümenin ilk örneğidir. Ama sonsuz öğeleri varsa ve bizim de atamamız gereken sonsuz doğal sayılarımız varsa, sayılamayan olduklarını nasıl bilebiliriz? Bunu Cantor’un köşegen argümanı sayesinde yapıyoruz.
Cantor Köşegeni
Cantor’un köşegen argümanı, iyi tanımlanmış iki sınır arasında, örneğin 0 ile 1 arasında kalan gerçek sayıların alt kümesinin sayılamayan bir küme olduğunu göstermemizi sağlar. Sonuç olarak, sayılamayan kümelerin yukarıda belirtilen özelliklerinden dolayı, tüm gerçek sayıların tam kümesi de sayılamayan olmalıdır.
0 ile 1 arasında sonsuz bir gerçek sayı listesi oluşturduğumuzu varsayalım. Bu listenin nasıl oluşturulduğu tamamen önemsizdir. Önemli olan tek şey, tüm sayıların benzersiz olmasıdır. Şimdi bu sayıların her birine 1’den başlayarak sırayla çalışan benzersiz bir doğal sayı atayacağız. Bu listenin bir örneği aşağıdaki tabloda sunulmuştur:
| HAYIR. | R. | ||||||||
| 1 | 0, | 2 | 2 | 4 | 5 | 8 | 7 | 9 | 6… |
| 2 | 0, | 5 | 2 | 1 | 3 | 2 | 4 | 0 | 2… |
| 3 | 0, | 6 | 4 | 0 | 5 | 7 | 8 | 3 | 0… |
| 4 | 0, | 1 | 7 | 9 | 8 | 2 | 2 | 4 | 3… |
| 5 | 0, | 8 | 5 | 5 | 4 | 7 | 3 | 2 | 2… |
| 6 | 0, | 0 | 4 | 8 | 3 | 8 | 1 | 5 | 3… |
| 7 | 0, | 7 | 8 | 4 | 2 | 0 | 9 | 1 | 0… |
| 8 | 0, | 3 | 4 | 6 | 7 | 9 | 1 | 3 | 5… |
| … | … |
Bu noktada listemizdeki tüm sayılara tek bir doğal sayı atıyoruz. Bu liste sonsuz olduğundan ve her gerçek sayı bir doğal sayıya karşılık geldiğinden, bu tablodaki tüm doğal sayıları “harcamaktayız”. Canto’nun yaptığı şey, bu listede olmayan ve dolayısıyla sayılamayan en az bir ek gerçek sayı olduğunu göstermekti. Bu sayı, tabloyu kesen köşegenin tüm elemanlarını alıp 1 ekleyerek oluşturulur. Yani yeni sayı, ilk sayının ilk basamağı ile başlayacak ve bir birim artırılacak, ardından ikinci basamağı olacaktır. ikinci sayı bir birim artar, ardından üçüncü sayının üçüncü basamağı vb.
Aşağıdaki tabloda köşegen üzerindeki elemanlar koyu renkle vurgulanmış ve işlemden elde edilen sayı son satıra eklenmiştir:
| HAYIR. | R. | ||||||||
| 1 | 0, | 2 | 2 | 4 | 5 | 8 | 7 | 9 | 6… |
| 2 | 0, | 5 | 2 | 1 | 3 | 2 | 4 | 0 | 2… |
| 3 | 0, | 6 | 4 | 0 | 5 | 7 | 8 | 3 | 0… |
| 4 | 0, | 1 | 7 | 9 | 8 | 2 | 2 | 4 | 3… |
| 5 | 0, | 8 | 5 | 5 | 4 | 7 | 3 | 2 | 2… |
| 6 | 0, | 0 | 4 | 8 | 3 | 8 | 1 | 5 | 3… |
| 7 | 0, | 7 | 8 | 4 | 2 | 0 | 9 | 1 | 0… |
| 8 | 0, | 3 | 4 | 6 | 7 | 9 | 1 | 3 | 5 … |
| … | … | 2+1 | 2+1 | 0+1 | 8+1 | 7+1 | 1+1 | 1+1 | 5+1 |
| 0, | 3 | 3 | 1 | 9 | 8 | 2 | 2 | 6… |
Ortaya çıkan sayı 0.33198226…
Gördüğümüz gibi, yeni sayının (3 olan) ilk basamağı listedeki ilk sayının (2 olan) ilk basamağından farklı olduğu için, o zaman birinciden farklı bir sayı olacaktır. diğer tüm numaralar numaralar tamamen aynıdır. İkinci basamak (3), ikinci sayının (2) ikinci basamağından farklı olduğu için ikinci sayıdan da farklı olacaktır.
Aynı argüman, köşegen boyunca ilerleyerek sonsuza kadar devam ettirilebilir ve elde edilen sayının tablodaki tüm sonsuz sayılardan en az bir basamak farklı olması sağlanır.
Bununla birlikte, bu yeni sayıyı oluşturmadan önce zaten “harcadığımız” veya tüm doğal sayıları atadığımız için, o zaman ona atayacağımız herhangi bir benzersiz doğal sayımız kalmadı, bu nedenle 0 ile 1 arasındaki gerçek sayılar kümesinin şu sonuca varıyoruz: ve bu nedenle tüm gerçek sayıların uzantısı, sayılamayan bir kümedir.
Aşkın sayılar kümesi
Aşkın sayılar, gerçek sayılar kümesine ait olan ancak cebirsel sayılar olmayan sayılardır. Bu, şu şekildeki bir polinom denkleminin kökleri olmadıkları anlamına gelir:
burada tüm katsayılar tam sayıdır. A’ya tüm cebirsel gerçek sayılar kümesini ve T’yi gerçek sayıların geri kalanına, yani transandantal sayılar olarak adlandıralım . Toplam gerçek sayılar kümesinin, R , A ve T kümelerinin birleşimi olduğunu görmek kolaydır , yani:
Cebirsel sayılar kümesinin sayılabilir olduğu gösterilebilir. Ayrıca, gerçek sayıların sayılamayan olduğunu zaten kanıtladık. R sayılamayan olduğundan , iki sayılabilir kümenin birleşiminden oluşamaz. A’nın sayılabilir olduğunu bilerek , T’nin sayılamayan olduğu sonucuna varırız .
İkili sayı dizileri kümesi
Bir ikili sayı dizisi, herhangi bir uzunlukta 0’lar ve 1’lerden oluşan bir dizidir. Tüm olası ikili sayı dizilerini birleştirirsek, ikili sayı dizileri kümesini elde ederiz. Bu, yalnızca rakamları 0 ve 1 olan gerçek sayıların bir alt kümesinden başka bir şey değildir.
R’nin sayılamayan olduğunu gösterdiğimiz aynı Cantor argümanını kullanarak bu sayı kümesinin sayılamayan olduğunu göstermek çok kolaydır. Tek uyarı, köşegendeki sayılara 1 eklemek yerine, değerlerini tersine çevirerek 0’ı 1 ile değiştirmemiz ve bunun tersidir.
Daha önce olduğu gibi, ortaya çıkan ikili dizi, orijinal listeye eklemiş olabileceğimiz herhangi bir sonsuz dizi kümesine benzemeyecektir, dolayısıyla sayılamayan bir dizidir.
Farklı tabanlara sahip diğer sayı dizileri
İkili sayı dizilerinden ve gerçek sayılardan elde edilen argüman, herhangi bir tabandaki herhangi bir sayı dizisine genişletilebilir. Bu anlamda, tüm onaltılık sayı dizilerinin kümesi sayılamaz olacaktır; üçlü, dörtlü sayılar vb. dizileri kümesi de öyle olacaktır.
Referanslar
Sayılamayan kümelerin yaygın örnekleri . (2020, 16 Mart). PeoplePerProject. https://en.peopleperproject.com/posts/9312-common-examples-of-uncountable-sets
Ivorra Castillo, C. (sf). KÜME TEORİSİ UV.es. https://www.uv.es/ivorra/Libros/TC.pdf
Serbest metinler. (2021, 7 Temmuz). 1.4: Sayılabilen ve Sayılamayan Kümeler . Matematik LibreTexts. https://math.libretexts.org/Bookshelves/Combinatorics_and_Discrete_Mathematics/An_Introduction_to_Number_Theory_(Veerman)/01%3A_A_Quick_Tour_of_Number_Theory/1.04%3A_Countable_and_Uncountable_Sets
Schwartz, R. (2007, 12 Kasım). Sayılabilen ve Sayılamayan Kümeler . Kahverengi Matematik. https://www.math.brown.edu/reschwar/MFS/handout8.pdf
Sayılamayan Kümeler | Sayılamayan Kümelere Örnekler . (2020, 21 Eylül). Cuemath. https://www.cuemath.com/learn/Mathematics/uncountable-sets/
