Tabla de Contenidos
Matematikte, ortalama olarak da adlandırılan bir ortalama, bir dizi sayının veya verinin değerini tek bir değerde özetleyen bir sayıdır . Merkezi eğilim ölçüsü olarak bilinir çünkü bir şekilde bir veri koleksiyonunun merkezinde yer alan bir değeri temsil eder.
Ortalamalar ne için?
Ortalamalar çok faydalıdır, çünkü her bir bireysel değerin ayrıntılarında kaybolmadan çok sayıda verinin davranışını geniş çizgilerle görmemize izin verirler. Bir benzetme yapmak gerekirse, bir ortalama hesaplamak, ağaçlara odaklanmak yerine ormanı bir bütün olarak görmemizi sağlar.
Örneğin bir eğitim kurumunun aynı sınıftaki 100 öğrencisinin boy değerlerinin olduğu bir tablomuz olabilir. Büyük olasılıkla, bu kişilerin hiçbiri tam olarak aynı boyda değildir, bu nedenle tablodaki değerlerin çoğu farklı olacaktır.
Birisi bize o sınıftaki öğrencilerin o kampüsteki boylarının ne kadar olduğunu sorsa ne olurdu? Herhangi birinin boyunu cevap olarak vermek yanlış olur. Ortalamaların yardımcı olmaya başladığı yer burasıdır. Ortalama, 100 farklı yüksekliği bildirmek yerine, tüm bu bilgileri tek bir rakamda özetlemenizi sağlar. O halde kampüsteki öğrencilerin ortalama olarak 1,67 m boyunda olduğunu söyleyebiliriz (eğer durum böyleyse).
Bu, tüm öğrencilerin 1.67 olmadığı ve hatta hiçbirinin bu boyda olmadığı anlamına gelmez. Basitçe, o kampüsteki o sınıftaki öğrencilerin boyunu en iyi temsil eden sayı 1.67 m’dir.
Ortalamaların hesaplanması ile bilgi kaybı
Açıkçası, verileri bir ortalamaya çevirerek birçok bilgiyi kaçırıyorsunuz. Bilgi netlik için feda edilir. Ortalamaların hesaplanması, büyük bir veri koleksiyonunun davranışının veya özelliklerinin birkaç sayı ile tanımlanmasına izin veren bir dizi teknik ve hesaplamadan başka bir şey olmayan, tanımlayıcı istatistikler olarak bilinen şeyin bir parçasıdır.
Ortalamalar genellikle kendi başlarına onlara verdiğimiz uygulamaların çoğu için yeterli bilgi sağlamaz. Eksik bilgilerin bir kısmını kurtarmak için, ortalamalar genellikle, varyans veya standart sapma gibi, bireysel verilerin ortalama etrafındaki dağılımının bir ölçüsü ile birlikte rapor edilir.
Ortalama türleri ve formülleri
Bir veri koleksiyonundan ortalama hesaplamanın farklı yolları vardır. Bu, farklı ortalama türlerine veya daha doğrusu ortalamalara yol açar.
- Aritmetik Ortalama (X̅ veya AM)
- Ağırlıklı Aritmetik Ortalama (WAM)
- Geometrik Ortalama (GM)
- Harmonik Ortalama (HM)
- Kök Ortalama Kareler (RMS)
Aritmetik ortalama (X̅ veya AM)
Aritmetik ortalama veya AM, günlük hayatta en sık kullanılan ortalama şeklidir. Ortalaması alınacak öğelerin basit bir toplamının, toplam öğe veya veri sayısına bölümüdür.
Aritmetik ortalama, birçok matematiksel bağlamda, üzerinde bir çubuk bulunan ortalaması alınan değişkeni temsil eden sembolle temsil edilir. Örneğin, X değişkeninin aritmetik ortalaması X̅ (X-çubuk) olarak temsil edilir. Ayrıca bazen AM X ile temsil edilir . Formülü şu şekilde verilir:
Bu denklemde Xi , i’inci bireysel veri öğesini temsil eder ve n , ortalaması alınan veri öğelerinin toplam sayısıdır.
Bu ortalama, tüm bireysel verilerin ortalamaya göre sapmalarının toplamı her zaman sıfır olacak şekilde tüm verilerin merkezinde yer alma özelliğine sahiptir.
Aritmetik ortalama, aykırı değerlere veya aşırı verilere karşı çok hassastır. Yani, bir veri setinde diğer verilerin büyük çoğunluğundan çok daha büyük veya çok daha küçük bir değer olduğunda, bu uç veriler ortalamayı diğer verilerin çoğundan uzaklaştırarak ona doğru çeker.
Ağırlıklı Aritmetik Ortalama (WAM veya W)
Aritmetik ortalama, ortalaması alınan tüm verilere eşit önem veya ağırlık verir. Ancak, bazı veriler diğerlerinden daha önemli olabileceğinden bu her zaman uygun değildir. Bu durumlarda, genellikle W sembolüyle temsil edilen ağırlıklı aritmetik ortalama veya ağırlıklı ortalama kullanılır (İngilizce’den ” ağırlıklı ortalama” ).
Ağırlıklı ortalamada, her veri öğesinin göreli önemi , her veri öğesi ( Xi ) için belirli bir ağırlık faktörü ( w i ) şeklinde hesaplamaya girilir . Verinin önemi ne kadar büyükse, ağırlıklandırma faktörü de o kadar büyük olur ve böylece nihai ortalama üzerindeki etkisi artar. Ağırlıklı ortalamayı hesaplama formülü:
Ağırlıklandırma faktörü isteğe bağlı olarak seçilebilir ve bazı durumlarda gerekli görüldüğü takdirde uygun bir ağırlıklandırma fonksiyonu kullanılarak bile hesaplanabilir.
Bir öğrencinin not ortalamasının hesaplanmasında ağırlıklı ortalamanın basit ortalamadan daha uygun olduğu bir duruma örnek verilmiştir. Aritmetik ortalama veya basit ortalama bu durumlar için uygun değildir çünkü diğerlerinden çok daha fazla çalışma ve özveri gerektiren konular olduğu gibi öğrencinin akademik geleceği için diğerlerinden daha önemli olan konular da vardır. Bu nedenle GPA’ya daha az önemli konulardan daha fazla katkı sağlamalıdırlar.
Bu durumlarda, konunun kredi birimi sayısı genellikle ağırlıklandırma faktörü olarak kullanılır.
geometrik ortalama (GM)
Geometrik ortalama hesaplanırken, verilerin toplamını alıp veri sayısına bölmek yerine, n tekil veri birbiriyle çarpılır ve ortak çarpımın n’inci kökü alınır.
Bu ortalama, ortalaması alınan verilerden herhangi birinin sıfır olması durumunda sıfır olma özelliğine sahiptir. Ayrıca, veri öğelerinin sayısı çift ise, negatif veriler için geometrik ortalama tanımlanmaz, bu nedenle kullanışlılığı kesinlikle pozitif sayılarla sınırlıdır.
Bu ortalama türü genellikle yüzde ortalamaları hesaplanırken kullanılır.
Harmonik Ortalama (HM)
Harmonik ortalama veya HM, genellikle ürün veya bölüm olarak hesaplanan miktarları ortalamak için kullanılan bir ortalama türüdür. Bazı önemli örnekler, eşit uzunluktaki yolculuklarda ortalama hızların hesaplanması, borsadaki yatırımların fiyat/kazanç oranı (PER), vb.
Harmonik ortalamayı hesaplama formülü, bireysel verilerin terslerinin aritmetik ortalamasının tersini içerir. Başka bir deyişle, aşağıdaki denklemle verilir:
Kök Ortalama Kare (RMS)
Kök ortalama karesi olarak da bilinen RMS, hem pozitif hem de negatif değerlere sahip veriler için uygun bir ortalama türünü temsil eder. Bunun nedeni, bireysel verilerin karelerinin aritmetik ortalamasının kareköküne karşılık gelmesidir. Her veri parçasının karesi alınarak elde edilen sonuç her zaman pozitif olacaktır, bu nedenle bu işaretin ortalamanın hesaplanması üzerindeki etkisi ortadan kaldırılmıştır.
RMS tarafından verilir:
RMS’nin en yaygın uygulaması, sinüzoidal dalga ile AC akımın efektif geriliminin hesaplanmasıdır. Bu durumda en önemli şey, 0 V civarında simetri nedeniyle sıfır olan voltajın ortalama değeri değil, dalganın ortalama genliğidir.
Diğer merkezi eğilim ölçüleri: medyan ve mod
Daha önce gördüğümüz farklı araçlara ek olarak, esas olarak istatistikte kullanılan başka merkezi eğilim ölçüleri de vardır. Bunlar medyan ve moddur.
Medyan (X̃)
En küçükten en büyüğe sıralanan bir nicel veri setinde medyan, merkezi veriyi veya veri serisini aynı sayıda veri içeren iki yarıya veya kümeye bölen değişkenin değerini temsil eder. Bu şekilde, ilgilenilen değişkenin sembolünün üzerine bir dalga işareti veya dalga işareti yerleştirilerek temsil edilen medyanın belirlenmesi (örneğin, ṽ, bir dizi hız verisinin medyanını temsil edebilir), toplam veri sayısına bağlıdır. mevcut veriler
Medyan mutlaka hesaplanmaz, bunun yerine bir veri setinde tanımlanır. Medyanı belirlemek için yapılacak ilk şey, tüm verileri küçükten büyüğe doğru sıralamak ve ardından 1’den başlayarak sırayla numaralandırmaktır. Bir sonraki adım, mevcut toplam veri sayısının (n) çift mi yoksa tek mi olduğuna bağlıdır:
Tek veri sayısı: Seri tek sayıda veri içeriyorsa, medyan (n+1)/2 sayısıyla tanımlanan veriler olacaktır. Örneğin, toplamda 15 veri noktası varsa, medyan veri noktası (15+1)2=8 olur, çünkü bu medyanın altında 7 veri noktası ve medyanın üstünde 7 veri noktası bırakır.
Çift veri sayısı: Bu durumda, seriyi iki eşit yarıya bölen merkezi bir veri yoktur, bu nedenle medyan, iki merkezi verinin, yani n/2 veri sayısı ve verinin aritmetik ortalaması olarak hesaplanır. (n/2) +1. Örneğin, bir veri serisi 24 veri öğesi içeriyorsa, medyan veri öğesi 2/2=12 ile veri öğesi (2/24)+1=13 arasındaki basit ortalama olacaktır.
Medyan, aşırı değerlere ortalamadan daha az duyarlı olma avantajını sunar. Ancak, verilerin çarpık olması iyi bir merkezi eğilim ölçüsü değildir.
Mod ( MoX )
Mod, bir veri kümesinde en sık tekrarlanan değer veya kategoridir. Serideki “en sıcak” değer gibi bir şeydir ve veriler bir histogram biçiminde temsil edildiğinde en yüksek tepe noktasını temsil eder.
Farklı ortalamaları hesaplama örneği
Başkentteki bir okulun matematik bölümündeki 30 öğrencinin boyuna karşılık gelen aşağıdaki veri dizisine sahip olduğumuzu varsayalım. Tüm yükseklikler metre cinsindendir.
1.56 | 1.45 | 1.44 | 1.60 | 1.58 |
1.39 | 1.71 | 1.49 | 1.52 | 1.53 |
1.63 | 1.68 | 1.47 | 1.56 | 1.59 |
1.40 | 1.50 | 1.58 | 1.62 | 1.66 |
1.74 | 1.79 | 1.58 | 1.67 | 1.70 |
1.51 | 1.61 | 1.69 | 1.73 | 1.77 |
Bu verilerden a) aritmetik ortalamayı belirleyin; b) geometrik ortalama; c) harmonik ortalama; d) RMS ve e) medyan.
Çözüm
Medyanı belirlememiz istendiğinden ve bunun için verileri sıralayıp tanımlamamız gerektiğinden, buradan başlayacağız, çünkü bu genellikle diğer hesaplamaları kolaylaştırır:
sen | Xi _ | sen | Xi _ |
1 | 1.39 | 16 | 1.59 |
2 | 1.40 | 17 | 1.60 |
3 | 1.44 | 18 | 1.70 |
4 | 1.45 | 19 | 1.62 |
5 | 1.47 | yirmi | 1.63 |
6 | 1.49 | yirmi bir | 1.66 |
7 | 1.50 | 22 | 1.74 |
8 | 1.60 | 23 | 1.68 |
9 | 1.52 | 24 | 1.85 |
10 | 1.53 | 25 | 1.79 |
on bir | 1.56 | 26 | 1.71 |
12 | 1.56 | 27 | 1.90 |
13 | 1.58 | 28 | 1.82 |
14 | 1.67 | 29 | 2.01 |
onbeş | 1.58 | 30 | 1.93 |
Şimdi, bu tabloyu kullanarak, hesaplamamız istenen araçları hesaplayacağız. Her iki durumda da, sadece yukarıda gösterilen denklemleri uygulama meselesidir:
Aritmetik ortalama
Geometrik ortalama
harmonik ortalama
Rms
Medyan
Çift sayı veri olduğu için ortanca, verilerin aritmetik ortalaması 30/2=15 ve (30/2)+1=16 yani 1,58 ile 1,59 arası ortalama olacaktır:
Referanslar
Conthe, M. (2017, 21 Temmuz). Aritmetik ortalama mı yoksa geometrik ortalama mı? Genleşme. https://www.expansion.com/blogs/conthe/2017/07/21/un-calculo-poco-armonico.html
Matematiğin tadını çıkarın. (2011). Tanım: Ortalama . Enjoythemathematics.com. https://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/average.html
Larios, R. (2020, 9 Eylül). Matematikte ortalaman kaç? Evde Öğren II . Jalisco Birliği. https://www.unionjalisco.mx/2020/09/09/que-es-el-promedio-en-matematicas-aprende-en-casa-ii/
López, JF (2021, 2 Şubat). geometrik ortalama . Economipedia. https://economipedia.com/definiciones/media-geometrica.html
Matematik, M. (2020, 25 Haziran). ortalamalar; Aritmetik; geometrik ve Harmonik; özellikler; uygulamalar . Matematik. https://matematicas.review/promedios-aritmetico-geometrico-y-armonico-propiedades-aplicaciones/
Pérez P., J. ve Merino, M. (2011). ortalamanın tanımı . Tanımı. https://definicion.de/average/
Açık Üniversite. (2020). Temel bilim: sayıları anlamak . OpenLearn. https://www.open.edu/openlearn/science-maths-technology/basic-science-understanding-numbers/content-section-overview adresinde mevcuttur .