Üstel Dağılımın Medyanı Nasıl Hesaplanır?

Üstel dağılım, gama dağılımının özel bir halidir. Bir Poisson sürecindeki olaylar arasında geçen zamanın olasılık dağılımını tanımlamak için kullanılan sürekli bir dağılımdır. Bu, olayların sürekli ve birbirinden bağımsız, ancak sabit bir ortalama sıklıkta meydana geldiği süreçleri ifade eder.

Üstel dağılım aşağıdaki olasılık fonksiyonunu takip eder:

burada X sürekli bir rasgele değişkendir ve lambda ( λ ) her bir belirli dağılımın karakteristik bir parametresidir. Aşağıdaki şekil, farklı λ değerleri için bu dağılım fonksiyonunun grafiğini göstermektedir.

Görüldüğü gibi, bu fonksiyon λ’ya eşit bir başlangıç ​​değerinden üstel olarak azalmakta ve x arttıkça asimptotik olarak sıfıra yaklaşmaktadır.

Bu dağılım fonksiyonunun ortalaması μ = 1/ λ ile verilir ve varyansı σ ² = (1/ λ) ^2’dir . Aşağıdaki bölümler medyanın nasıl hesaplanacağını göstermektedir.

Üstel dağılımın önemi

Başta belirtildiği gibi, üstel dağılım Poisson sürecini takip eden herhangi bir sisteme uygulanabilir. Bu, müşterilerin hizmet tesislerine gelişleri, elektronik sistemlerin veya bileşenlerin arızalanması ve canlıların hayatta kalması gibi olaylar arasındaki süreyi tanımlamaya hizmet ettiği anlamına gelir.

medyan nedir?

Medyanı hesaplamaya geçmeden önce, onun ne olduğunu anlamamız gerekir. Bir olasılık dağılımının medyanı, dağılımı ikiye bölen rastgele değişkenin değerine karşılık gelir. Ayrık değişkenler söz konusu olduğunda, bu, ortancanın her iki tarafında aynı sayıda değer bırakmak anlamına gelir. Üstel fonksiyon ve diğer sürekli dağılım fonksiyonları için medyan, olasılık yoğunluk eğrisinin her iki tarafında aynı alanı bırakan noktadır.

Medyana bakmanın daha pratik bir yolu ve bu makalede onu bulmak için kullanacağız, dağıtım fonksiyonunun 0,5 değerine sahip olduğu noktaya karşılık gelmesidir. Yani, aşağıdaki denklemin çözümüne karşılık gelir:

Üstel dağılımın medyanının hesaplanması

Üstel dağılımın medyanını bulmak için, dağılım fonksiyonunu kullanacağız ve önceki bölümde açıklandığı gibi, dağılım fonksiyonunun 0,5 değerine sahip olduğu rastgele değişkenin değerini bulacağız. Başka bir deyişle, medyanın (Me), aşağıdakilerin doğrulandığı rastgele değişken x’in değeri olduğunu söyleyeceğiz:

Şimdi tek yapmamız gereken üstel dağılıma karşılık gelen pdf’yi ( f(x) ) yerine koymak ve entegre etmek:

Rastgele değişkenin sıfırdan küçük veya sıfıra eşit tüm değerleri için sıfır değerine sahip olan olasılık dağılım fonksiyonunun parçalı tanımını kullandığımız yer. Bu basit bir integraldir:

Şimdi, ½’ye eşitliyoruz ve ortanca Me’yi bulmak için denklemi çözüyoruz.

Son olarak yeniden düzenlenir, her iki üye için doğal logaritma alınır ve Me temizlenir:

Bu nedenle, üstel dağılımın medyanı ln2/λ ile verilir.

Üstel dağılımın yanlılığı

Az önce elde ettiğimiz medyanın değerini, ln2/λ, bu dağılımın başında bahsettiğimiz medyanın değeri olan 1/λ ile karşılaştırırsak, medyanın ortalamadan küçük olduğunu hemen anlarız, çünkü ln2, 1’den küçük bir sayıdır.

Ortalama ile ortanca çakışmadığı zaman, dağılımın çarpık olduğu söylenir. Bu durumda ortalama ortancadan büyük olduğu için üstel fonksiyona sağa çarpık denir .

Medyan, uç değerlere ortalamadan daha az duyarlı olan bir merkezi eğilim ölçüsü olduğundan, yanlılığın var olduğunun belirlendiği bu gibi durumlarda, medyanın o merkezi eğilimi temsil etmesi için kullanılması tercih edilir.

Referanslar

LesKanaris. (son). Üstel dağılımın medyanı nasıl hesaplanır – İlginç – 2021. Erişim tarihi: https://us.leskanaris.com/2916-exponential-distribution-medians.html

Lifehacks. (2018). Üstel dağılımın medyanı nasıl hesaplanır – 2021. Erişim noktası: https://esp.lifehackk.com/14-calculate-the-median-of-exponential-distribution-3126442-7366

Basit Matematik. (2021, 6 Eylül). Medyan – üstel dağılım [Video dosyası]. https://www.youtube.com/watch?v=0s3h1Tfysog adresinden kurtarıldı

Mtz De Lejarza E., J., & Mtz De Lejarza E., I. (1999). Üstel dağılım. https://www.uv.es/ceaces/base/modelos%20de%20probabilidad/exponencial.htm adresinden alındı.