Tabla de Contenidos
Olasılık ve istatistikteki toplama kuralları, bu olayların birleşiminden oluşan yeni olayların olasılığını belirlemek için iki veya daha fazla farklı olayın bilinen olasılıklarını birleştirebileceğimiz farklı yolları ifade eder .
İstatistik ve olasılıkta, genellikle belirli olayların (örneğin, A ve B olayları) ayrı ayrı meydana gelme olasılığını biliyoruz, ancak bunların aynı anda meydana gelme veya birinin veya diğerinin meydana gelme olasılığını bilmiyoruz. Toplama kurallarının kullanışlı olduğu yer burasıdır.
Örneğin: iki zar atarken altı atma olasılığını bilebiliriz, buna P(6 atma) diyelim ve her iki zarın da çift sayılara gelme olasılığını P(çift sayılar) olarak adlandırabiliriz.
Bu nispeten kolaydır. Ancak bazen, iki zar atıldığında her ikisinin de çift sayı veya toplamının altı olması olasılığını belirlemekle ilgileniyoruz. İstatistiksel gösterimde ve grup teorisinde bu “veya”, iki olayın birleşimini gösteren U sembolü ile temsil edilir ve bu durumda bu olasılık aşağıdaki gibi temsil edilir:
Bu tür olasılıklar, bireysel olasılıklardan ve bazı ek verilerden, toplama kuralları aracılığıyla hesaplanabilir.
Her durumda hangi toplama kuralını kullanacağımızın, hem düşündüğümüz olayların sayısına hem de bu olayların birbirini dışlayıp dışlamadığına bağlı olduğuna dikkat edilmelidir. Bazı basit durumlar için toplama kuralları aşağıda açıklanmıştır.
Durum 1: Ayrık veya birbirini dışlayan olaylar için toplama kuralı
Birinin gerçekleşmesi diğerinin olma olasılığını ortadan kaldırdığında, iki olay birbirini dışlayan olarak adlandırılır. Yani aynı anda meydana gelemeyecek olaylardır. Örneğin, bir zar atıldığında, 4’ün geldiği sonuç, diğer 5 olası sonuçtan herhangi birinin gelmediğini dışlar.
İki veya daha fazla olayı (A, B, C…) birbirini dışlayan olarak düşünürsek, birleşim olasılığı basitçe bu olayların her birinin bireysel olasılıklarının toplamından oluşur. Yani, bu durumda birleşme olasılığı şu şekilde verilir:
Bu, bir Venn diyagramı aracılığıyla daha kolay anlaşılabilir. Burada örnek uzay dikdörtgen bir alanla temsil edilmektedir; her olayın olasılığı ise bu daha geniş alan içindeki sektörler tarafından temsil edilir. Bir Venn şemasında, birbirini dışlayan olaylar, birbirine dokunmayan veya örtüşmeyen ayrı alanlar olarak görülür.
Bu tür diyagramlarda, birleşim olasılığını hesaplamak, olasılıklarını düşündüğümüz tüm olayların kapladığı toplam alanı elde etmekten ibarettir. Önceki görüntü söz konusu olduğunda, bu, aşağıdaki şekilde mavi alan olan A, B ve C sektörlerinin toplam alanının elde edilmesi anlamına gelir.
Yukarıdaki iki görüntüde olduğu gibi olaylar ayrıksa, birleşme olasılığının basitçe üç alanın toplamı olduğunu görmek kolaydır.
Örnek 1: Zar atarken çift sonuç elde etme olasılığının hesaplanması
Diyelim ki bir zar atıyoruz ve çift sayı gelme olasılığını bilmek istiyoruz. 6 kenarlı bir zardaki olası tek sayılar 2, 4 ve 6 olduğundan, o zaman gerçekten bilmek istediğimiz, zarın 2, 4 veya 6’ya gelme olasılığıdır, çünkü bu durumlardan herhangi biri çift sayıya düştü.
6 kafadan herhangi birinin gelme olasılığı 1/6’dır (adil bir zar olduğu sürece). Ayrıca, biraz önce gördüğümüz gibi, üç sonuç birbirini dışlayan olaylardır, çünkü 2 zar atsaydı, 4 veya 6 zar atamazdı, vb. Bu koşullar altında, birleşme olasılığı şu şekilde verilir:
Durum 2: Birbirini dışlamayan iki olay için toplama kuralı
A ve B, sonuçları paylaşan, yani aynı anda meydana gelebilecek olaylarsa, olayların birbirini dışlamadığı söylenir. Bu durumda, Venn şeması şöyle görünür:
Görüldüğü gibi örnek uzayda her iki olayın aynı anda gerçekleştiği bir bölge vardır. Birleşme olasılığını, yani P(AUB) belirlemek istiyorsak, önceki şekilde sağdaki Venn şemasında gösterilen alanı bulmamız gerekir.
Bu durumda, sadece A ve B’nin alanlarını toplarsak, ortak alanı iki kez sayacağımızı ve böylece istediğimizden daha büyük bir alan (okuma, olasılık) elde edeceğimizi görmek kolaydır. Bu fazla hatayı düzeltmek için, yalnızca kesişme olasılığına karşılık gelen A ve B olayları tarafından paylaşılan alanı çıkarmak gerekir:
Birleşme olasılığı için bu ifade önceki durum için de geçerlidir, çünkü karşılıklı olarak birbirini dışlayan, aynı anda meydana gelme olasılıkları (kesişim olasılığı) sıfırdır.
Örnek 2: Bir zar atarken çift veya 4’ten küçük bir sayı elde etme olasılığının hesaplanması
Bu durumda, her iki olay da hem çift hem de 4’ten küçük sonuç 2’yi paylaşır, bu nedenle birleşme olasılığı şöyle olacaktır:
Durum 3: Birbirini dışlamayan üç olay için toplama kuralı
Biraz daha karmaşık olan başka bir durum, aşağıdaki Venn şemasında gösterilen gibi birbirini dışlamayan 3 olayın meydana gelmesidir:
Bu durumda, üç alanın toplamı, A ve B, B ve C ve C ve D arasındaki kesişme bölgelerinin iki katı sayılır ve A, B ve C üç olayının kesişme bölgesinin üç katı sayılır. daha önce olduğu gibi ve her olay çifti arasındaki kesişme alanlarını üç alanın toplamından çıkarırsak, merkezin alanının üç katını çıkarmış olacağız, bu nedenle üç olayın kesişme olasılığı olarak eklenmelidir. Son olarak, münhasır olmayan üç etkinlik için genel toplama kuralı şu şekilde verilir:
Daha önce olduğu gibi, bu ifade, ayrık olsun ya da olmasın herhangi bir üç olay kümesi için geneldir, çünkü bu durumda kesişimler boş olacak ve sonuç birinci durumun aynı ifadesi olacaktır.
Örnek 3: 20 kenarlı bir zarda çift sayı, 10’dan küçük bir sayı veya asal sayı gelme olasılığının hesaplanması
Bu durumda, aralarında sonuçları paylaşan ve aynı zamanda paylaşılmayan sonuçları da içeren üç olay vardır, bu nedenle birleşim olasılığı yukarıda belirtilen ifade ile verilir.
Bireysel olayların olasılıkları şunlardır:
Şimdi, kesişme olasılıkları:
Şimdi, birleşim olasılığı için denklemi uygulayarak:
Referanslar
- muhteşem. (son). Olasılık – Toplam Kuralı | Parlak Matematik ve Bilim Wiki . https://brilliant.org/wiki/probability-rule-of-sum/ adresinden alındı
- lümen. (son). Olasılık Kuralları | Sınırsız İstatistikler . https://courses.lumenlearning.com/boundless-statistics/chapter/probability-rules/#:%7E:text=The%20addition%20rule%20states%20the,probability%20that%20both%20will%20happen adresinden alındı .
- MateMobile. (2021, 1 Ocak). Olasılıkların toplamı veya eklenmesi kuralı | matermobil . https://matemovil.com/regla-de-la-suma-o-adicion-de-probabilidades/ adresinden alındı.
- Webster, A. (2001). İşletme ve Ekonomiye Uygulanan İstatistikler (İspanyolca Baskı) . Toronto, Kanada: Irwin Professional Publishing.
