olasılık aksiyomları

Aksiyomlar, bilimin tüm teori ve teoremlerinin dayandığı, ispata gerek olmaksızın doğru kabul edilen bir dizi önermedir. Bu nedenle, olasılık aksiyomları, olasılık teorisinin dayandığı temel ifadelerdir . Olasılık teorisindeki tüm mevcut teoremlerin mantıksal olarak atıfta bulunması gereken nihai referans çerçevesini temsil ederler. 1933’te Rus matematikçi Andrey Nikolaevich Kolmogorov tarafından öne sürüldü ve yalnızca sağduyudan türetildi.

Olasılık aksiyomlarının amacı, bir şeyin olma olasılığına atadığımız sayısal değerlerin sezgisel olasılık kavramımızla tutarlı olmasını sağlamak için matematiksel olasılık kavramını resmileştirmektir.

Ön tanımlar

Olasılık teorisi yalnızca üç aksiyoma dayanmaktadır , ancak ayrıntılara girmeden önce, bazı temel tanımların yanı sıra olasılıkta kullanılan semboloji etrafındaki bazı kuralları oluşturmak gerekir:

• Deney. Bir sonuç veya gözlem oluşturan herhangi bir eylem veya süreçtir. Örneğin, yazı tura atmak, tura veya yazıyla sonuçlanabilecek bir deneydir (bir işlem veya eylem).
• Örnek uzay ( S ). Bir deneyin tüm olası sonuçlarının kümesini ifade eder ve S sembolü ile gösterilir. Yukarıdaki yazı tura örneğinde, örnek uzay yalnızca iki sonuç kümesinden oluşur: S ={tura, yazı}.
• Olay ( E ). Bir olay, örnek uzayın bir alt kümesidir, yani deneyin herhangi bir sayıdaki olası sonuçlarıdır. _{Olaylar genellikle büyük harfler ve alt simgelerle (E 1} , E ₂ , E ₃ , vb.) veya farklı harflerle (A, B, C,…) tanımlanır . Örneğin yazı tura atarken tura gelmesi bir olaydır. Kuyrukların gelmesi farklı bir olaydır.
• Olasılık ( P ): Bir olaya atanan sayısal bir değerdir ve kişinin olayın meydana gelmesiyle ilgili kesinlik derecesini gösterir. Genel bir kural olarak, bir olayın (örneğin E ₁ ) gerçekleşeceğinden ne kadar emin olursanız, o olaya atadığınız olasılık değeri o kadar yüksek olur.

setleri

Bu tanımlara ek olarak kümelerle ilgili bazı işlemleri de hatırlamakta fayda var. İki küme arasındaki kesişme, her ikisinde de ortak olan yeni bir kümeyle sonuçlanır, ∩ sembolü ile gösterilir ve “ve” olarak okunur. Öte yandan, iki küme arasındaki birleşim, her ikisinin de tüm ortak ve ortak olmayan öğelerini içeren yeni bir kümedir, ∪ sembolü ile gösterilir ve “veya” olarak okunur.

Örnek:

• P(E ₁ ∩ E ₂ ) ifadesi ” E ₁ olayının ve E ₂ olayının aynı anda meydana gelme olasılığı” olarak okunur.
• P(E ₁ ∪ E ₂ ) ifadesi ” E ₁ olayının veya E ₂ olayının meydana gelme olasılığı ” şeklinde okunur.

Aksiyom 1 Olasılık

İlk olasılık aksiyomu, bir deney verildiğinde, meydana gelen herhangi bir olayın olasılığının (E) negatif olmayan bir gerçek sayı olması gerektiğini söyler. Bu resmi olarak şu şekilde ifade edilir:

Aksiyom 1, olumsuz bir olasılıktan bahsetmenin anlamsız olduğuna dair sezgisel görüşü temsil eder . Ayrıca, imkansız bir olaya atanan alt sınır olarak sıfır olasılık belirler. İkincisi, resmi olarak, deneyin örnek uzayında yer almayan herhangi bir sonuç (veya sonuçlar kümesi) olarak tanımlanır.

Örnek:

Bir zar yalnızca bir kez atıldığında, örnek uzay yalnızca S={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesi tarafından oluşturulacaktır. İlk aksiyom, sonuçlardan (örneğin 4) herhangi birini elde etme olasılığının sıfırdan büyük bir sayı olması gerektiğini belirtir ( P(4)>0 ). Öte yandan, örneklem uzayının bir parçası olmayan sonucun 7 olma olasılığı sıfırdır ( P(7)=0 ).

İlk aksiyomun olası olayların olasılığının büyüklüğünü belirtmediğine dikkat edin, yani zarın yuvarlanmasının örneğin 4 ile sonuçlanma olasılığının ne olması gerektiğini belirtmez. Yalnızca bunun olması gerektiğini belirtir. bazı pozitif sayılar. .

Aksiyom 2 Olasılık

İkinci olasılık aksiyomu, her deney için, örnek uzayın olasılığının 1 olduğunu söyler veya resmi olarak:

Aksiyom 2’yi anlamanın basit bir yolu, ne olursa olsun, deneyde bazı sonuçların elde edilme olasılığının 1 olmasıdır.

Örnek:

Yukarıda bahsedildiği gibi, bir yazı tura atarken sadece iki olası sonuç vardır: tura veya yazı, yani Aksiyom 2’ye göre tura veya yazı gelme olasılığı 1’dir.

İlk aksiyom olasılığın alt sınırını sıfıra ayarlarsa, ikinci aksiyom üst sınırını 1 olarak ayarlar. Bunun nedeni, örnek uzayın belirli bir olay olması ve bu nedenle olasılığının mümkün olan en yüksek olasılık olması gerektiğidir.

Aksiyom 3 Olasılık

_{E 1} , E ₂ , …, E _n olaylarının ortak sonuçları yoksa (kesişimleri boş bir kümedir), birinin gerçekleşmesi diğerinin oluşmasını engellediğinden, bunların karşılıklı olarak dışlayıcı olduğu söylenir. Üçüncü aksiyom, birbirini dışlayan olayların birleşim olasılığının, her bir olayın olasılıklarının toplamına eşit olduğunu belirtir . Başka bir deyişle:

Yalnızca birbirini dışlayan iki olayın en basit durumu için (yazı-tura atma durumunda olduğu gibi), Aksiyom 3 şu şekilde formüle edilir:

Bu aksiyom, bir olayın ne kadar çok olası sonucu varsa, o kadar olası olduğu fikrini resmileştirir. Bu, birbirini dışlayan iki olayın birleşiminin tanım gereği her iki olaydaki tüm sonuçların toplamını içermesi gerektiği gerçeğinden çıkar.

Aksiyomların Uygulanması

Yukarıda belirtilen örneklere ek olarak, üç aksiyom, olasılık teorisinde yararlı teoremler oluşturmak ve kanıtlamak için kullanılabilir. Basit bir örnek, herhangi bir olayın olasılıkları ile tamamlayıcısı arasındaki ilişkiyi belirlemektir.

E herhangi bir olaysa , onun tümleyeni ( Ec ile temsil edilir), E dışında herhangi bir şeyin meydana geldiği veya aynı anlama gelen E’nin meydana gelmediği ^olay olarak tanımlanır . Bu tanımın iki sonucu vardır:

• E ve E ^c’nin birbirini dışladığını .
• E ve E ^c arasındaki birleşim , S ( E ∪ E ^c = S ) örnek uzayını verir .

Üçüncü aksiyoma dayalı olarak karşılıklı olarak dışlayıcı olduklarından , şuna sahibiz:

Ancak bu birleşim S ile sonuçlandığı için , o zaman

Şimdi, ikinci aksiyomu uygulayarak , bu olur

olarak yeniden düzenlenir

Son olarak, birinci aksiyomdan P(E ^c )’ nin negatif olmayan bir nicelik olması gerektiğini bildiğimiz için, herhangi bir olayın olma olasılığının her zaman 1 eksi olayın olmama olasılığına eşit olacağı sonucuna varıyoruz ve iki olasılıktan herhangi birinin [0, 1] aralığında bir değere sahip olması gerektiğini.

kaynaklar

Devone, JL (1998). Mühendislik ve Bilimler için Olasılık ve İstatistik (4. baskı). Uluslararası Thomson Yayıncıları.