Gerçek sayılar nelerdir?

Sayılar farklı özelliklere sahiptir ve çeşitli gruplara ayrılabilir. Matematiğin çeşitli dallarında geniş uygulamaları olan bu gruplardan biri de gerçek sayılardır. Onları daha iyi anlamak için önce farklı sayı türlerinin neler olduğuna bakalım.

Sayılar

Sayılar hakkında öğrendiğimiz ilk şey, onları saymak için nasıl kullanacağımızdır; basit işlemler yapmak için bunları parmaklarımızla eşleştirmekle başlıyoruz. Böylece on parmağımız ondalık sistemin temelidir. Oradan sayabildiğimiz kadar büyük miktarları sayarız ve sayıların sonsuz olduğuna dikkat ederiz. Ve böylece, sayacak hiçbir şeyimiz olmadığında sıfır (0) eklendiğinde, doğal sayılar oluşur.

Doğal sayılarla aritmetik işlemler yapıyoruz ve bir sayıdan başka bir sayı çıkardığımız zaman negatif sayıları vermek zorunda kalıyoruz. Böylece, negatif sayıları doğal olanlara ekleyerek tamsayılar kümesini elde ederiz.

Sayılarla yaptığımız aritmetik işlemlerden biri de bölme işlemidir. Ve bir sayıyı diğerine bölerken sonucun bir tam sayı olmadığı durumlar olduğunu görüyoruz; Çoğu durumda, bu bölme sonucu yalnızca bölme ifadesinin kendisi, yani bir kesir ile doğru bir şekilde temsil edilebilir. Tüm sayıların kesir olarak yazıldığı ve tam sayıların paydası 1 olan rasyonel sayılar kümesi bu şekilde oluşturulur.

Kesirlerle temsil edilemeyen sayıların olduğunu gözlemleyen eski uygarlıklardı. Geometrik şekillerle çalışırken, bir dairenin yarıçapı ile uzunluğu arasındaki ilişkiyi, iki tamsayı arasındaki bölüm olarak ifade edilemeyecek bir sayı olan pi sayısını buldular. Aynı zamanda 2 sayısının karekökü için de geçerlidir (yani kendisiyle çarpılan sayı sonuç olarak 2 sayısını verir). Ve çeşitli bilgi dallarında ortaya çıkan ve rasyonel sayılar kümesinin parçası olmayan birçok sayı vardır. Tam olarak iki tam sayının bölümü olarak temsil edilemeyen bu sayılara irrasyonel sayılar denir. Rasyonel ve irrasyonel sayılar kümesi, reel sayılar kümesini oluşturur.

Gerçek sayılar daha da büyük bir sayı kümesinin parçasıdır: karmaşık sayılar. Gerçek sayılar kümesinin bu uzantısı, negatif bir sayının karekökünü hesaplamak istediğimizde ortaya çıkar; İki negatif sayının çarpımı her zaman pozitif olduğundan, kendisi ile çarpımı negatif olan hiçbir gerçek sayı yoktur. Daha sonra -1’in karekökünü temsil eden hayali i sayısı tanımlanır ve karmaşık sayılar kümesi ortaya çıkar.

ondalık gösterim

Tüm sayılar ondalık biçimde ifade edilebilir; Örneğin, 1/2 rasyonel sayısı ondalık biçimde 0,5 olarak ifade edilebilir. Tam olarak tek bir ondalık basamakla temsil edilebilen rasyonel sayı 1/2’den farklı olarak, diğer rasyonel sayılar sonsuz sayıda ondalık basamağa sahiptir veTam olarak ondalık gösterimle ifade edilebilirler. 1/3 sayısının durumu budur; Ondalık gösterimi 0.33333…’tür ve sonsuz sayıda ondalık basamak içerir. Bu rasyonel sayılara periyodik ondalık sayılar denir, çünkü her durumda sonsuz sayıda tekrarlanan bir sayı dizisi vardır. 1/3 sayısı durumunda bu sıra 3’tür; 1/7 sayısının ondalık biçimi 0,1428571428571… ve sonsuz tekrar eden dizisi 142857’dir. İrrasyonel sayılar periyodik ondalık sayılar değildir; ondalık gösteriminde sonsuz sayıda tekrarlanan bir dizi yoktur.

Görsel sunum

Gerçek sayılar, şekilde gösterildiği gibi, her biri düz bir çizgi boyunca sonsuz sayıda noktadan biriyle ilişkilendirilerek görselleştirilebilir. Bu grafik gösterimde değeri yaklaşık 3.1416 olan pi sayısı, yaklaşık 2.7183 olan e sayısı ve 2 sayısının yaklaşık 1.4142 olan karekökü yer almaktadır. 0 sayısından sağa doğru pozitif gerçek sayılar artan biçimde, sola doğru ise mutlak değeri o yönde artan negatif sayılardır.

Gerçek sayıların bazı özellikleri

Gerçek sayılar, daha aşina olduğumuz tamsayılar veya rasyonel sayılar gibi davranır. Bunları aynı şekilde toplayabilir, çıkarabilir, çarpabilir ve bölebiliriz; tek istisna, mümkün olmayan bir işlem olan 0 sayısına bölme işlemidir. Toplama ve çarpmaların sırası önemli değildir, çünkü değişme özelliği hala geçerlidir ve dağılma özelliği aynı şekilde geçerlidir. Aynı şekilde, iki gerçek sayı x ve y benzersiz bir şekilde sıralanmıştır ve aşağıdaki bağıntılardan yalnızca biri doğrudur:

x = y , x < y veya x > y

Gerçek sayılar, tıpkı tamsayılar ve rasyonel sayılar gibi sonsuzdur. Prensipte bu açıktır, çünkü hem tamsayılar hem de rasyonel, gerçek sayıların altkümeleridir. Ancak bir fark vardır: tamsayılar ve rasyonel sayılar söz konusu olduğunda, bunların sayılabilir sonsuz sayılar olduğu söylenir; bunun yerine, gerçek sayılar sonsuz sayısızdır.

Bir kümenin bileşenlerinin her biri bir doğal sayı ile ilişkilendirilebiliyorsa bu kümeye sayılabilir veya sayılabilir denir. İlişkilendirme, tamsayılar söz konusu olduğunda açıktır; rasyonel sayılar söz konusu olduğunda, bir çift doğal sayı, pay ve payda ile ilişki olarak görülebilir. Ancak gerçek sayılar söz konusu olduğunda bu ilişki mümkün değildir.

kaynaklar

• Arias Cabezas, Jose Maria, Maza Saez, Ildefonso. Aritmetik ve Cebir . Carmona Rodríguez, Manuel, Díaz Fernández, Francisco Javier, eds. Matematik 1. Bruño Editoryal Grup, Limited Şirket, Madrid, 2008.
• Carlos Ivorra. Mantık ve Küme Teorisi . 2011.