Tabla de Contenidos
Rastgele bir değişkenin varyansı , ortalama etrafındaki dağılımının bir ölçüsüdür . Bu, söz konusu değişkenin değerlerinin ortalamanın her iki tarafındaki ortalama dağılımını veya olasılık dağılımının genliğini gösteren bir nicelik olduğu anlamına gelir. Bu parametre, olasılık dağılımına bakılmaksızın herhangi bir rastgele değişken için önemli bir niceliktir.
Öte yandan, Poisson dağılımı , bir telin uzunluğu gibi diğer sürekli değişkenlerle ilişkili olarak da adlandırılabilmesine rağmen, ayrık olayların bir zaman aralığında meydana gelme sıklığını modellemeye hizmet eden ayrık bir olasılık dağılımıdır. , bir yüzey vb.
Poisson dağılımı, bir ATM’nin bilet gişesine gelen insan sayısı kadar günlük, belirli bir zaman aralığındaki radyoaktif bozunma sayısı kadar karmaşık süreçleri modellemeye izin verdiği için büyük önem taşır. nükleer atık örneğinden.
Poisson dağılımının matematiksel tanımı
Rastgele bir X değişkeni, olasılık kütle fonksiyonu veya PMF’si aşağıdaki forma sahipse bir Poisson dağılımını izler:
Formülde λ , dağılımın her zaman pozitif bir parametresidir ve x , rastgele değişkenin alabileceği farklı değerleri temsil eder. Poisson süreçlerinde, λ parametresi genellikle birim zaman başına, birim alan başına vb. hızı veya frekansı temsil eder.
Daha sonra göstereceğimiz gibi, λ sırasıyla Poisson dağılımının ve varyansının ortalamasıdır.
Artık bu dağılım fonksiyonunun ne olduğunu ve ne için olduğunu bildiğimize göre, varyansın daha resmi bir tanımına, onu hesaplamanın genel yoluna ve son olarak, Poisson dağılımının özel durumu için varyansın nasıl hesaplandığına bakalım.
Varyans nedir?
Matematiksel olarak, istatistikte Var(X) ile gösterilen rastgele bir X değişkeninin varyansı , söz konusu değişkenin ortalamasından sapmasının karesinin beklenen değerine karşılık gelir ve bu, aşağıdaki formülle ifade edilir:
Önceki tanım, herhangi bir rasgele değişkenin varyansını hesaplamak için kullanılabilse de, birinci ve ikinci sıradan momentler veya orijin etrafındaki momentler (m 1 , m 2 ) kullanılarak aşağıdaki şekilde daha kolay hesaplanabilir :
Varyansı bu şekilde hesaplamak birincisinden daha uygundur, bu nedenle bu makalede Poisson dağılımının varyansını hesaplamak için kullanacağımız yol bu olacaktır.
Poisson dağılımının varyansının hesaplanması
Ortalama veya birinci sıradan anın hesaplanması
Herhangi bir ayrık dağılım için, X’in ortalamasının veya beklentisinin, birinci momenti tanımlayan aşağıdaki ifade aracılığıyla belirlenebileceğini hatırlayalım:
İlk terim sıfır olduğu için bu toplamı x=1’den itibaren alabiliriz. Ayrıca, şimdi her şeyi λ ile çarpar ve bölersek ve ayrıca x!/x’i (x-1) ile değiştirirsek! , elde ederiz:
Bu ifade , y = x – 1 değişkeninde değişiklik yapılarak basitleştirilebilir :
Toplama içindeki işlev, yine Poisson olasılık işlevidir; bu, tanımı gereği, 1’e eşit olması gereken herhangi bir olasılık işlevinin sıfırdan sonsuza kadar tüm olasılıklarının toplamıdır.
Poisson fonksiyonunun ilk momentine veya ortalamasına zaten sahibiz. Şimdi varyansı bulmak için bu sonucu ve X’in karesinin beklentisini kullanacağız .
İkinci olağan anın hesaplanması
İkinci an şu şekilde verilir:
x 2’yi x (x-1)+x ile değiştirmekten oluşan bu toplamı çözmek için küçük bir hile kullanabiliriz :
Toplamanın ikinci teriminde önceki sonucu kullandığımızda, λ x-2 üssünü elde etmek için λ 2 ile çarpar ve böleriz ve y = x – 2 değişkeninin değişimini uygularız .
Şimdi geriye kalan tek şey varyans formülündeki bu iki anı değiştirmek ve beklenen sonucu elde edeceğiz:
Referanslar
Devore, J. (2021). Mühendislik ve Bilim için Olasılık ve İstatistik . CENGAGE ÖĞRENME.
Rodó, P. (2020, 4 Kasım). Poisson dağılımı . Economipedia. https://economipedia.com/definiciones/distribucion-de-poisson.html
UNAM [Luis Rincon]. (2013, 16 Aralık). 0625 Poisson Dağılımı [Video]. Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=y_dOx8FhHpQ
