Tabla de Contenidos
Dönme atalet momenti veya basitçe dönme atalet, kütlesi olan herhangi bir nesneye özgü skaler bir fiziksel niceliktir ve onu belirli bir dönme ekseni etrafında döndürmenin ne kadar zor olduğunu ölçer. Doğrusal eylemsizliğin dönme eşdeğeridir ve bu haliyle, ister hareketsiz ister hareket halinde olsun, bir nesnenin hızını değiştirmenin zorluğunu ifade eden bir niceliktir, şu farkla, bu durumda, yaklaşık olarak açısaldır. hız.
Bu nicelik, aynı dış şekle ve kütleye sahip olmalarına rağmen, onları yapmaya eğilimli tork kuvvetlerine maruz kaldıklarında farklı davranan cisimlerin davranışlarındaki farkı anlamamıza izin verdiği için, dönme hareketinin tarifinde büyük önem taşır. döndürmek. Bu fark, cismin kütlesinin dönme ekseni etrafındaki dağılımındaki farklılıktan kaynaklanmaktadır. Yukarıdakiler, aynı gövdenin dönme eksenine göre konumuna bağlı olarak farklı dönme atalet momentlerine sahip olabileceğini ima eder, böylece atalet momentini hesaplamak için farklı formüllere yol açar.
Yukarıdakileri söyledikten sonra, atalet momentini bulmak için mevcut nesnelerin olası şekilleri ve dönme eksenleri kadar çok sayıda formül olduğu açıktır. Bununla birlikte, pratikte doğal olarak ortaya çıkan eksenler etrafında dönen düzenli geometrik şekillerin bazı özel durumları vardır. İlerleyen bölümlerde, bu cisimlerin dönme atalet momentini belirlemek için en önemli formülleri göreceğiz.
Bir nokta parçacığın atalet momenti formülü
Bir nokta parçacığın atalet momenti, bu fiziksel miktarın orijinal tanımına karşılık gelir. Bu ifade, açısal hız, w cinsinden yazıldığında, dönme kinetik enerjisi ifadesinden gelir.
Aşağıdaki gibi bir merkezi eksen etrafında dönen m kütleli bir parçacığımız olduğunu varsayalım :
Bu parçacığın kinetik enerjisi, diğer hareket eden parçacıklarınki gibi, kütlesi ile kareye yükseltilmiş hızı (hızının büyüklüğü) arasındaki çarpımın yarısı, yani 1/2 mv 2 ile belirlenir . Bununla birlikte, bu parçacığın tanımladığı tek hareket eksen etrafındaki dönüş ise (öteleme yoktur), parçacığın doğrusal hızını açısal hızının bir fonksiyonu olarak v = rω yazarak ifade edebiliriz. Bunu yaparak, bu durumda özel olarak dönme kinetik enerjisi olan kinetik enerji şu şekilde ifade edilir:
Burada parçacığın atalet momenti, I şu şekilde tanımlanır:
Bu ifadede m , nokta parçacığın kütlesi ve r , dönme yarıçapı veya aynısı olan dönme ekseninden parçacığa olan mesafedir.
Bir nokta parçacık koleksiyonunun atalet momenti formülü
Şimdi, bir eksen etrafında dönen tek bir parçacığa sahip olmadığımızı, ancak her biri belirli bir kütleye (mi) sahip ve her birinin dönme ekseninden r i uzaklıkta dönen n parçacıktan oluşan bir sistemimiz olduğunu varsayalım . , aşağıda gösterilen üç parçacıklı sistem gibi.
Bu sistemin toplam kinetik enerjisini hesaplamak isteseydik, sadece üç parçacığın her birinin kinetik enerjilerini toplamamız gerekirdi. Bu fikri n parçacığın genel durumuna genişletirsek ve hepsinin aynı açısal hızda hareket ettiğini varsayarsak (çünkü birlikte döndüler), o zaman sistemin toplam dönme kinetik enerjisi şu şekilde verilir:
Buradan , her biri kendi kütlesine ve kendi dönme yarıçapına sahip, aynı eksen etrafında birlikte dönen n parçacıklı bir sistemin toplam atalet momentinin şu şekilde verildiği sonucu çıkar :
Bu formül, dönme ekseni kürenin dışında olduğu sürece hem noktasal parçacıklar hem de herhangi bir boyuttaki küresel parçacıklar için geçerlidir. Bu koşul sağlanırsa, yarıçap kürenin ekseni ile merkezi arasındaki mesafeye, kütle ise kürenin toplam kütlesine karşılık gelir.
Rijit cisimlerin atalet momentinin integral formülü
Atalet momenti için yukarıdaki formül, noktasal ve ayrık parçacıklardan oluşan sistemler için geçerlidir. Bununla birlikte, yaklaşık olarak makroskopik cisimlerde olduğu gibi, sürekli bir kütle dağılımına sahip katı cisimlere genişletilebilir.
Bu durumlarda eylemsizlik momentinin hesaplanması, cismin her biri dönme ekseninden r i mesafesinde bulunan küçük kütleli elemanlara (Δm i ) bölünmesinden ve ardından önceki denklemin uygulanmasından oluşur . Bununla birlikte, kütle öğesinin boyutunu, sonsuz küçük bir öğe veya bir kütle farkı (dm) haline geldiği sınıra kadar zorlarsak, toplam, aşağıda gösterildiği gibi integral olur:
Bu, şekli veya kütle dağılımı ne olursa olsun herhangi bir rijit cismin atalet momentini bulmanın genel ifadesidir. Çoğu durumda, entegrasyonu gerçekleştirmek için, kütle elemanı dm , cismin yoğunluğunun çarpımının hacim farkıyla ( dV) çarpımı ile değiştirilir . Bu, kütle dağılımı üniform olmasa bile (konuma bağlı olarak nasıl değiştiği bilindiği sürece) rijit cismin tüm hacmi üzerinden entegrasyon yapılmasına izin verir.
Bu durumda, atalet momentinin integral ifadesi şöyle olur:
Daha sonra, diğerlerinin yanı sıra halkalar, silindirler ve küreler gibi düzenli şekillere sahip farklı rijit cisimler için önceki ifadeyi entegre etmenin sonucunu sunacağız. Aşağıda açıklanan tüm durumlarda, dikkate alınan cisimlerin boyutları ve kütleleri, entegrasyon değişkenlerinden ayırt edilebilmeleri için büyük harflerle gösterilmiştir.
R yarıçaplı ince düzgün bir halkanın merkez ekseni etrafındaki atalet momenti için formül
Önceki denklemi entegre ederken en basit durumlardan biri, simetri merkezi etrafında dönen tekdüze bir halkadır. Aşağıdaki şekil bu durumu göstermektedir.
Halkanın kalınlığının yarıçapına kıyasla ihmal edilebilir olduğu özel durumda, onu kalınlığı olmayan bir çevre boyunca dağılmış bir kütle olarak düşünebiliriz, böylece tüm kütle elemanları esas olarak aynı yarıçaptadır, bu durumda, R. Bu koşullar göz önüne alındığında, yarıçap integrali terk eder ve geriye yalnızca diferansiyel kütlenin, dm, yani halkanın kütlesi M’nin integralini bırakır. Sonuç:
Bu ifadede CM, kütle merkezine göre atalet momenti olduğunu belirtir.
Merkezi etrafında dönen R yarıçaplı katı bir kürenin atalet momenti için formül
Aşağıda gösterilen gibi çaplarından herhangi biri (merkezinden geçen bir eksen) etrafında dönen R yarıçaplı ve düzgün yoğunluğa sahip katı bir küre durumunda, önceki integral farklı şekillerde çözülebilir. küresel bir koordinat sistemi kullanarak.
Bu durumda entegrasyonun sonucu:
Merkezine göre iç yarıçapı R 1 ve dış yarıçapı R 2 olan küresel bir kabuğun atalet momenti için formül
Katı bir küre yerine içi boş bir küre veya kalın cidarlı küresel bir kabuksa, dış ve iç olmak üzere iki yarıçap düşünmeliyiz. Bunlar aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Bu durumda çözüm, küresel kabuğu, merkezinden yarıçapı R1 olan aynı malzemeden bir kürenin çıkarıldığı R2 yarıçaplı bir küre olarak düşünmektir. Büyük kürenin sahip olacağı kütle ile orijinal kabuğun yoğunluğu aracılığıyla geri çekilen küçük kürenin kütlesini belirledikten sonra, her iki kürenin ataletleri çıkarılarak elde edilir:
R yarıçaplı ince küresel bir kabuğun merkezi etrafındaki atalet momenti için formül
Küresel kabuğun kalınlığının yarıçapına kıyasla ihmal edilebilir olması veya aynı olan R1’in pratik olarak R2’ye eşit olması durumunda, atalet momentini kütlenin bir yüzey dağılımıymış gibi hesaplayabiliriz, hepsi merkezden R mesafesinde bulunur.
Bu durumda iki seçeneğimiz var. Birincisi, integrali sıfırdan çözmek. İkincisi, kalın küresel kabuğun önceki sonucunu almak ve R1, R2’ye meylettiğinde limiti elde etmektir. Sonuç aşağıdaki gibidir:
L uzunluğundaki ince bir çubuğun kütle merkezinden geçen dikey bir eksen etrafındaki atalet momenti formülü
İnce bir çubuğumuz olduğunda, özünde, profilinin şekli ne olursa olsun (yani, silindirik, kare veya başka bir şekilli çubuk olup olmadığına bakılmaksızın) onu kütlenin doğrusal bir dağılımı olarak düşünebiliriz. Bu durumlarda önemli olan tek şey, hamurun çubuk boyunca eşit olarak dağılmasıdır.
Bu durumda atalet momenti şu şekilde ifade edilir:
L uzunluğundaki ince bir çubuğun bir ucundan geçen dik bir eksen etrafındaki atalet momenti formülü
Bu, yukarıdakiyle aynı durumdur, ancak tüm çubuk bir uçtan dik bir eksen etrafında döner:
Çubuğun kütlesi ortalama olarak dönme ekseninden daha uzakta olduğundan, atalet momenti daha büyük olacaktır. Aslında, aşağıdaki ifadeyle gösterildiği gibi, önceki durumdan dört kat daha büyüktür:
Bu durumda eksenin kütle merkezinden geçmediğine dikkat edin, bu nedenle atalet momenti sembolünün CM alt simgesi çıkarılmıştır.
R yarıçaplı katı silindirik bir çubuğun merkez ekseni etrafındaki atalet momenti için formül
Bu durum, silindirik bir koordinat sistemi kullanılarak ve silindirin eşit uzunlukta, ancak farklı yarıçaplara sahip eşmerkezli silindirik kabuklardan oluştuğu düşünülerek çok basit bir şekilde çözülür. Daha sonra yarıçap r = 0’dan r = R’ye entegre edilir.
Bu işlemin sonucu, silindirik bir çubuğun atalet formülüdür, bu formül:
Unutulmamalıdır ki, bu sonuç silindirin uzunluğuna bağlı olmadığından, aynı ifade dairesel bir disk için de kullanılabilir.
İç yarıçapı R1 ve dış yarıçapı R2 olan içi boş bir silindirin merkez ekseni etrafındaki atalet momenti için formül
Bu durum, kalın küresel kabuğa benzer. Kabuğun kalınlığı veya dış ve iç yarıçapları arasındaki fark, yarıçapların kendileriyle aynı büyüklükte olduğunda uygulanır ve bu nedenle kütlenin bir yüzey üzerinde yoğunlaştığını düşünemeyiz. Aksine, kabuğun kalınlığı boyunca kütlenin üç boyutlu bir dağılımı olduğunu düşünmeliyiz.
Kalın küresel kabuk durumunda olduğu gibi, iç yarıçapı R 1 ve dış yarıçapı R 2 olan içi boş bir silindirin atalet momenti , doğrudan entegrasyonla veya atalet momentini silindirden çıkararak bulunabilir. kabukla aynı yoğunluğa sahip katı bir silindirin atalet momentinin, bu iki eylemsizliğin her biri için önceki bölümün formülü kullanılarak, merkezi delik açılırken geri çekilmiştir.
Bu iki stratejiden birinin sonucu aynıdır ve aşağıda sunulmuştur:
Önceki durumda olduğu gibi, bu sonuç silindirin uzunluğuna bağlı olmadığından, örneğin pul veya pul gibi ortasında bir delik olan dairesel bir diskin atalet momentini hesaplamak için kullanabiliriz. Blu-ray disk.
R yarıçaplı ince silindirik bir kabuğun merkez ekseni etrafındaki atalet momenti için formül
Silindirik kabuğun kalınlığının silindirin yarıçapına göre çok küçük olduğu, aşağıdaki şekilde gösterilene benzer içi boş bir silindirimiz olması durumunda, kütlenin yalnızca R yarıçapının yüzeyinde dağıldığını varsayabiliriz. .
Diğer durumlarda olduğu gibi, alansal kütle yoğunluğunu kullanarak doğrudan integral alabiliriz veya kalın silindirik kabuğun sonucunu R1’in R2’ye yöneldiği limitte değerlendirebiliriz. Sonuç:
Yine bu sonucun uzunluktan bağımsız olduğunu not ediyoruz. Bu, ince bir kasnağa eşit olarak uygulandığı anlamına gelir. Aslında, ince bir halkaya karşılık gelen bölümde elde edilen sonucun aynı olduğunu doğrulayabiliriz.
Düzenli bir dikdörtgen plakanın merkezinden geçen dikey bir eksen etrafındaki atalet momenti formülü
Son olarak, aşağıda gösterildiği gibi, yüzeylerinden herhangi birine dik bir eksen etrafında dönen ve kütle merkezinden geçen dikdörtgen bir plaka durumunu düşünün.
Doğrudan entegrasyonun sonucu:
Önceki durumlarda olduğu gibi, bu sonuç plakanın yüksekliğinden veya kalınlığından bağımsızdır, bu nedenle katı bir beton blokta olduğu gibi bir kağıt yaprağına da eşit şekilde uygulanır.
Referanslar
Khan Akademisi. (son). Dönme Eylemsizliği (makale) . https://en.khanacademy.org/science/physics/torque-angular-momentum/torque-tutorial/a/rotational-inertia
Bir sınıf. (2020, 6 Ekim). OneClass: Bir çubuğun atalet momenti formülüyle başlayarak . https://oneclass.com/homework-help/physics/6942744-moment-of-inertia-bar.en.html
Serway, RA, Beichner, RJ ve Jewett, JW (1999). Modern Fizikle Bilim Adamları ve Mühendisler için Fizik: 2: Cilt I. Cilt (Beşinci Baskı). McGraw Tepesi.
Hızlı çözün. (son). İçi boş kalın küresel bir kabuğun atalet momenti . https://www.snapsolve.com/solutions/Themoment-of-inertia-of-a-hollow-thick-spherical-shell-of-mass-M-and-its-inner-r-1681132593667073
