Rastgele bir asal sayı seçme olasılığı nedir?

Matematikte, asal sayılar, tamsayıları incelerken yaygın olarak kullanılan konulardan biridir. Asal sayılar sonsuz olduğundan, onlarla pratik yapmak için ilginç bir alıştırma, 1’den X’e kadar rastgele seçilen bir sayının asal sayı olma olasılığını bulmaktır.

asal sayılar nelerdir

Asal sayılar, yalnızca 1’e ve kendisine, yani söz konusu sayıya bölünebilen sayılardır. Bu, başka bir sayıya bölündüğünde sonucun bir tam sayı vermediği anlamına gelir. Ayrıca sonsuz sayıda asal sayı olduğu kabul edilir.

Asal sayılardan farklı olarak, bileşik sayılar 1’e, kendilerine ve diğer sayılara bölünebilen sayılardır.

1 sayısı asal sayı olarak kabul edilmediği gibi bileşik sayı da değildir.

Asal sayılar ve Eratosthenes Eleği

Yunan matematikçi Eratosthenes (MÖ 3. yüzyıl), tüm asal sayıları hızlı bir şekilde bulmak için, belirli bir sayıya kadar tüm asal sayıları almanın hızlı bir yolunu buldu. Bu yöntem “Eratosthenes eleği” olarak bilinir.

Eratosthenes Sieve, verilen bir doğal sayıdan küçük tüm asal sayıların bilinmesine izin veren bir algoritmadır. Bunu yapmak için 2 ile seçilen sayı (n) arasındaki tüm doğal sayıları içeren bir tablo oluşturulur. Bu örnekte n, 100’dür.

Daha sonra asal olmayan sayıların üzeri çizilir. İlk olarak, 2 ile başlayın ve tüm katlarının üzerini çizin. Çarpılmamış bir sayı bulunduğunda, tüm katlarının üstü çizilir ve bu böyle devam eder. Bu prosedür, asal olduğu onaylanan bir sonraki sayının “n”den büyük olan karesi elde edildiğinde sona erer.

Eratosthenes Elek kullanarak 0 ile 100 arasında 25 asal sayı elde edeceğiz: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 , 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Diğer asal sayı örnekleri

100 ile 1000 arasındaki diğer asal sayı örnekleri şunlardır: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197 , 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349 , 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499 , 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829 , 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991 ve 997.

asal sayılar problemi

Matematikte neredeyse her zaman olduğu gibi, asal sayıların nasıl hesaplandığını anlamanın en iyi yolu problem çözmektir. Şimdi bir asal sayıyı hangi olasılıkla seçebileceğimizi bilmek için basit bir problem görelim.

Önce 1, 2, 3 gibi pozitif bir tamsayıyı belirli bir X sayısına kadar seçeceğiz. Daha sonra bu sayılardan birini rastgele seçmeliyiz. Bu, tüm X sayılarının seçilme olasılıklarının olduğu anlamına gelir.

Bu sorunun çözümü, düşük olan X sayıları için basittir. Sorun aşağıdaki adımlar izlenerek çözülür:

• İlk adım:
  • X’ten küçük veya X’e eşit olan asal sayıları sayın.
• İkinci adım:
  • X’ten küçük veya ona eşit asal sayıların sayısını X’in kendisine bölün.Yani, 1’den 10’a kadar belirli bir asal sayı seçme olasılığını bilmek istiyorsak, asal sayıların sayısını 10’a bölmemiz gerekir.

Örneğin, 1’den 10’a kadar bir asal sayının seçilme olasılığını bulmak için, asal sayıları 10’a bölmeliyiz. 1’den 10’a kadar 4 asal sayı olduğuna göre: 2, 3, 5, 7, asal sayı: 4/10 = 0,4, yani %40.

Aynı şekilde, 1’den 50’ye kadar bir asal sayının seçilme olasılıklarının ne olduğunu bilmek istiyorsak, önceki adımlar gerçekleştirilebilir. 50’den küçük 15 asal sayıları sayarız: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 ve 47. Ve bu miktarı şuna böleriz: 50: 15 /50 = 0,3, yani %30. Bu nedenle, 1’den 50’ye kadar bir asal sayı seçme şansı% 30’dur.

asal sayı teoremi nedir

Belirli bir sayıya kadar asal sayıları bilmenin ve bunlardan birini seçme olasılığını hesaplamanın bir başka yolu da Asal Sayılar Teoremini kullanmaktır . Bu teorem 18. yüzyılda Alman matematikçi Gauss tarafından ortaya atıldı ve neredeyse bir yüzyıl sonra Fransız Jacques Hadamard ve Belçikalı Charles-Jean de la Vallée Poussin gibi diğer matematikçiler tarafından ispatlandı.

Asal Sayı Teoremi, X’ten küçük veya ona eşit olan yaklaşık X / ln(X) asal sayı olduğunu belirtir. Bu ifadede:

• ln(X): X’in doğal logaritmasıdır.
• X: asal sayıları bilmek istediğimiz sayıdır.

X’in değeri arttıkça, X’ten küçük asal sayıların sayısı ile X / In(X) ifadesi arasındaki göreli hata azalır.

Asal Sayılar Teoremi nasıl uygulanır?

Asal Sayılar Teoremi ile, özellikle daha büyük sayılar arasındaki asal sayıları bilmek istiyorsak, öncekine benzer problemleri çözebiliriz.

Asal Sayı Teoremi ile, X’ten küçük veya X’e eşit olan yaklaşık X/ln(X) asal sayıları olduğunu biliyoruz. Ayrıca, X’ten küçük veya X’e eşit toplam X pozitif tam sayı vardır. Bu nedenle, olasılık bu aralıkta rastgele seçilen bir sayının asal olduğu: ( X / ln(X) ) / X = X / ( ln(X) . X ) = 1 / ln(X).

Örneğin, bu sonucu yaklaşık olarak ilk milyon tam sayı arasından rastgele bir asal sayı seçme olasılığını hesaplamak için kullanabiliriz.

Bunu yapmak için bir milyonun doğal logaritmasını hesaplamalıyız. Bu nedenle, elimizde:

P(1.000.000) = (X/ln(X) / X = 1 / ln(X)

P(1.000.000) = 1 / ln(1.000.000)

Böylece ln(1,000,000) = 13,8155 elde ederiz ve 1 / ln(1,000,000) yaklaşık olarak 0,07238’dir. Bu nedenle, ilk milyon tam sayıdan rastgele bir asal sayı seçme şansımız yaklaşık %7,238’dir.

Kaynakça

• López Mateos, M. Temel Matematik. (2017). İspanya. Uzay Yarat.
• dk. Matematik kitabı. (2020). İspanya. dk.
• Gracian, E. Asal sayılar: sonsuza giden uzun bir yol. (2010). İspanya. RBA Kitapları.