กฎส่วนเติมเต็มในสถิติ

ในสถิติและความน่าจะเป็น กฎส่วนเสริมกำหนดว่าความ น่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A ใดๆ จะเกิดขึ้นจะเท่ากับความสามัคคีลบความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ตรงข้ามหรือส่วนเสริมของ A จะเกิดขึ้นเสมอ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เป็นกฎที่บ่งชี้ว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์และส่วนเติมเต็มมีความสัมพันธ์กันโดยใช้นิพจน์ต่อไปนี้:

กฎนี้เป็นหนึ่งในคุณสมบัติพื้นฐานของความน่าจะเป็น และบอกเราว่าเราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ ได้ตลอดเวลา หากเราทราบความน่าจะเป็นของส่วนเติมเต็มและในทางกลับกัน สิ่งนี้มีความสำคัญอย่างยิ่ง เนื่องจากในสถานการณ์จริงหลายๆ สถานการณ์ที่เราจำเป็นต้องคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ การคำนวณความน่าจะเป็นของส่วนเติมเต็มโดยตรงจะง่ายกว่ามาก จากนั้น เมื่อคำนวณแล้ว เราจะใช้กฎส่วนเติมเต็มเพื่อกำหนดความน่าจะเป็นที่เราต้องการในตอนแรก

ตัวอย่างง่ายๆ ของการใช้กฎนี้คือ:

• หากความน่าจะเป็นที่เรอัลมาดริดจะชนะการแข่งขันฟุตบอลแชมเปียนส์ลีกคือ 34/57 หรือ 0.5965 ความน่าจะเป็นที่พวกเขาจะไม่ชนะการแข่งขันแชมเปียนส์ลีกคือ 1-34/57 = 23/57 หรือ 0.4035
• ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋า 6 ด้านทั่วๆ ไปจะออกเลขคู่น้อยกว่า 6 คือ 1/3 ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าจะไม่ลงเลขคู่น้อยกว่า 6 คือ 2/3

บทพิสูจน์ของกฎเสริม

กฎส่วนเติมเต็มสามารถแสดงให้เห็นได้หลายวิธี วิธีใดวิธีหนึ่งจะทำให้ผู้อ่านจำได้ง่ายขึ้น ในการสาธิตนี้ เราต้องเริ่มต้นด้วยการนิยามคำศัพท์พื้นฐานบางอย่าง เช่น เหตุการณ์คืออะไร และอะไรคือส่วนเติมเต็ม นอกจากนี้ เราต้องระบุสัจพจน์หลักบางประการที่อิงตามความน่าจะเป็น

การทดลอง ผลลัพธ์ พื้นที่ตัวอย่าง และกิจกรรม

ในสถิติและความน่าจะเป็น เราพูดถึงการดำเนินการทดลองต่างๆเช่น การโยนเหรียญ การทอยลูกเต๋า การเลือกไพ่หรือสำรับจากสำรับที่สับแบบสุ่ม และอื่นๆ ทุกครั้งที่เราทำการทดลองเราจะได้ผลลัพธ์เช่น การเลือกดอกจิก 2 ดอกจากสำรับไพ่สเปน

ชุดรวมของผลลัพธ์ที่แตกต่างกันที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่การทดลองสามารถให้ได้เรียกว่าแซมเพิลสเปซและมักจะแสดงด้วยตัวอักษร S

ในทางกลับกัน ผลลัพธ์เฉพาะหรือ ชุดของผลลัพธ์ของการทดสอบเรียกว่าเหตุการณ์ เหตุการณ์อาจเป็นผลลัพธ์แต่ละรายการ ซึ่งในกรณีนี้จะเรียกว่าเหตุการณ์แบบง่าย หรืออาจเป็นเหตุการณ์แบบผสมที่ประกอบด้วยองค์ประกอบหรือผลลัพธ์มากกว่าหนึ่งรายการ

ปลั๊กอินของเหตุการณ์คืออะไร?

ส่วนเติมเต็มของเหตุการณ์นั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าชุดของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดในพื้นที่ตัวอย่างที่ไม่รวมผลลัพธ์ของเหตุการณ์นั้น ในกรณีตัวอย่างการทอยลูกเต๋า ส่วนเสริมของเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าลงเลข 5 เป็นอีกเหตุการณ์หนึ่งที่ลูกเต๋าลงเลข 1 2 3 4 หรือ 6 หรืออะไรก็ตาม เหมือนกันครับ ไม่ตก 5 ครับ

ปลั๊กอินมักจะแสดงในรูปแบบต่างๆ สองรูปแบบที่พบบ่อยที่สุดคือ:

• การใส่เครื่องหมายทับเหนือชื่อเหตุการณ์ (เช่น A̅ แทนส่วนเติมเต็มของเหตุการณ์ A)
• วาง C เป็นตัวยก ( ^AC )

ไม่ว่าในกรณีใด จะอ่านว่า “ส่วนเสริม A” “ส่วนเติมเต็มของ A” หรือ “ไม่ใช่ A”

วิธีง่ายๆ ในการทำความเข้าใจทั้งแนวคิด ของปลั๊กอินและกฎของปลั๊กอินคือการใช้แผนภาพเวนน์ รูปต่อไปนี้แสดงไดอะแกรมง่ายๆ ของการทดลองใดๆ และเหตุการณ์เดียวที่เราจะเรียกว่า A

ในแผนภาพเวนน์เช่นนี้ สี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งหมดแสดงถึงพื้นที่ตัวอย่างของการทดลอง ในขณะที่พื้นที่ทั้งหมดของสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ในกรณีนี้ ทั้งพื้นที่สีเทาและสีน้ำเงิน) แสดงถึงความน่าจะเป็นของพื้นที่ตัวอย่าง ซึ่งโดย นิยาม , เท่ากับ 1 เนื่องจากหากเราทำการทดลอง เป็นสิ่งที่แน่นอนอย่างยิ่งว่าจะได้รับผลลัพธ์บางอย่างที่อยู่ในสเปซตัวอย่าง เนื่องจากมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

วงกลมสีน้ำเงินล้อมรอบพื้นที่การแสดงซึ่งผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเหตุการณ์ A ควรจะโกหก ตัวอย่างเช่น หากเหตุการณ์ A หมุนเป็นเลขคู่ พื้นที่สีฟ้านี้จะต้องมีผลลัพธ์เป็น 2, 4 และ 6 ในทางกลับกัน พื้นที่ทั้งหมดที่อยู่นอกเหตุการณ์ A (นั่นคือโซนสีเทา) เป็นส่วนเติมเต็มของ A เนื่องจากมีผลลัพธ์อื่นๆ (1, 3 และ 5)

กฎส่วนเติมเต็มและไดอะแกรมเวนน์

กุญแจสำคัญในการทำความเข้าใจกฎส่วนเติมเต็มโดยใช้ไดอะแกรมเวนน์คือพื้นที่ของเหตุการณ์ใดๆ ภายในไดอะแกรมเหล่านี้เป็นสัดส่วนกับความน่าจะเป็น พื้นที่ทั้งหมดของสี่เหลี่ยมผืนผ้าสอดคล้องกับความน่าจะเป็น 1 ดังที่เราเห็นได้อย่างชัดเจน เหตุการณ์ A (วงกลมสีน้ำเงิน) และส่วนเติมเต็ม, A̅ (พื้นที่สีเทา) รวมกันเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งหมด

ด้วยเหตุผลนี้ ผลรวมของพื้นที่ซึ่งแสดงถึงความน่าจะเป็นตามลำดับจะต้องเท่ากับ 1 ซึ่งก็คือพื้นที่ของพื้นที่ตัวอย่าง S การจัดเรียงใหม่นี้ เราจะได้:

นี่คือกฎส่วนเติมเต็ม

กฎส่วนเติมเต็มจากสัจพจน์ของความน่าจะเป็น

เหตุการณ์และส่วนเติมเต็มของเหตุการณ์ใดๆ ก่อให้เกิดคู่ของเหตุการณ์ที่ไม่ปะติดปะต่อหรือเหตุการณ์พิเศษร่วมกัน เนื่องจากหากเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้น เป็นไปไม่ได้ตามคำนิยามที่อีกเหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้น ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ ความน่าจะเป็นแบบรวมของสองเหตุการณ์นี้จะถูกกำหนดโดยผลรวมของความน่าจะเป็นแต่ละรายการ กล่าวคือ:

นอกจากนี้ อย่างที่เราพูดไปก่อนหน้านี้ การรวมตัวกันของเหตุการณ์ A และส่วนเติมเต็มของเหตุการณ์ A ^Cส่งผลให้เกิดพื้นที่ตัวอย่าง:

แทน P(AUC ^C ) ลงในสมการด้านบน จากนั้นแทนค่าความน่าจะเป็นของ S ซึ่งตามนิยามคือ 1 เราจะได้:

การจัดเรียงสมาชิกสองตัวสุดท้ายใหม่ทำให้เราได้รับกฎส่วนเสริม

ตัวอย่างปัญหาแอปพลิเคชันกฎปลั๊กอิน

ต่อไปนี้คือตัวอย่างปัญหาทั่วไปซึ่งการใช้กฎปลั๊กอินมีประโยชน์อย่างยิ่ง

คำแถลง

สมมติว่าเรามีวงจรที่ประกอบด้วยชิปที่เหมือนกัน 5 ตัวต่อเป็นอนุกรม นั่นคือทีละตัว ความน่าจะเป็นที่ชิปจะล้มเหลวภายในปีแรกของการผลิตคือ 0.0002 หากหนึ่งใน 5 ชิปล้มเหลว ระบบทั้งหมดจะล้มเหลว คุณต้องการค้นหาความน่าจะเป็นที่ระบบจะล้มเหลวในปีแรก

สารละลาย

ให้เราเรียก F (สำหรับความล้มเหลว) ผลลัพธ์ที่ส่วนประกอบหรือชิประบบล้มเหลว และ E (ความสำเร็จ) สำหรับผลลัพธ์ที่ส่วนประกอบไม่ล้มเหลว หรือสิ่งที่เหมือนกันคือมันทำงานได้ จากนั้น ข้อมูลที่จัดทำโดยคำสั่งคือ:

การทดลองที่กำหนดว่าระบบทั้งหมดล้มเหลวจริงหรือไม่นั้นสอดคล้องกับการดำเนินการ 5 การทดลองพร้อมกันซึ่งพิจารณาว่าส่วนประกอบใดล้มเหลวหรือไม่ ดังนั้น พื้นที่ตัวอย่างสำหรับการทดสอบนี้จึงประกอบด้วยผลสำเร็จหรือความล้มเหลวทั้งหมดในแต่ละองค์ประกอบทั้ง 5 ส่วน เมื่อเชื่อมต่อกันเป็นชุด เรารู้ว่าลำดับมีความสำคัญ ดังนั้น แซมเปิลสเปซจึงถูกสร้างขึ้นโดย:

พื้นที่ตัวอย่างนี้มี 2 ⁵ =32 ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ซึ่งสอดคล้องกับชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ Es และ Fs เนื่องจากเราต้องการคำนวณความน่าจะเป็นที่ระบบล้มเหลว เหตุการณ์ที่เราสนใจ ซึ่งเราจะเรียกว่าเหตุการณ์ A จะได้รับจากผลลัพธ์ทั้งหมดที่องค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบล้มเหลว กล่าวอีกนัยหนึ่ง จะได้รับจากชุดผลลัพธ์ต่อไปนี้:

ในความเป็นจริง มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 2 ⁵ -1=31 รายการ ซึ่งองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งในห้าองค์ประกอบล้มเหลว หากเราต้องการคำนวณความน่าจะเป็นของ A (นั่นคือ P(A)) เราจะต้องคำนวณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แต่ละรายการเหล่านี้ มันจะเป็นงานมาก

อย่างไรก็ตาม ให้เราพิจารณาเหตุการณ์เสริมของ A นั่นคือ เหตุการณ์ที่ระบบทำงาน (ซึ่งเราจะเรียกว่า^AC ) อย่างที่เราเห็น วิธีเดียวที่ระบบทั้งหมดจะทำงานได้คือให้ส่วนประกอบทั้งห้าของวงจรทำงาน นั่นคือ:

การคำนวณความน่าจะเป็นนี้ง่ายกว่าการคำนวณก่อนหน้านี้มาก จากนั้น ด้วยความน่าจะเป็นนี้ เราจึงใช้กฎส่วนเติมเต็มเพื่อคำนวณความน่าจะเป็นของ A เนื่องจากผลลัพธ์ของชิปแต่ละตัวเป็นเหตุการณ์ที่เป็นอิสระต่อกัน ความน่าจะเป็นของ AC จึงเป็นผลคูณของความน่าจะเป็นที่ชิปแต่ละตัวทำงาน^{กล่าว}คือ :

แต่ความน่าจะเป็นของ E คืออะไร? โปรดจำไว้ว่าชิปแต่ละตัวทำงานหรือไม่ทำงาน ดังนั้น E จึงเป็นส่วนเติมเต็มของ F ดังนั้น หากเรามีความน่าจะเป็นของ F (ซึ่งกำหนดในแบบฝึกหัด) เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของ E โดยใช้กฎส่วนเติมเต็ม :

ตอนนี้เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่ระบบทั้งหมดจะทำงานได้:

และนำกฎเสริมมาใช้อีกครั้ง เราคำนวณความน่าจะเป็นที่ระบบล้มเหลว:

คำตอบ

ความน่าจะเป็นที่ระบบจะล้มเหลวในปีแรกคือ 0.010 หรือ 1.0%

อ้างอิง

เดวอร์, JL (1998). ความน่า จะเป็นและสถิติสำหรับวิศวกรรมศาสตร์และวิทยาศาสตร์ International Thomson Publishers, SA

กฎการเติมเต็ม (น). ไฟบี https://www.fhybea.com/complement-rule.html

กฎของการเติมเต็มในความน่าจะเป็น (2021, 1 มกราคม). เมทโมบายล์. https://matemovil.com/regla-del-complemento-en-probabilidades/