ระดับความอิสระทางสถิติและคณิตศาสตร์

แนวคิดขององศาอิสระเกิดขึ้นบ่อยครั้งทั้งในวิชาคณิตศาสตร์และสถิติ ขึ้นอยู่กับพื้นที่ที่มีปัญหา แนวคิดจะแตกต่างกันไปมาก

แนวคิดเชิงสัญชาตญาณขององศาอิสระ

โดยสังหรณ์ใจแล้วจำนวนระดับอิสระหมายถึงจำนวนตัวเลือกอิสระที่เราสามารถเลือกได้ในสถานการณ์ที่กำหนด ตัวอย่างเช่น สมมติว่ากลุ่มคน 5 คนต้องเลือกระหว่างผลไม้ 5 ชนิด คนแรกมีอิสระที่จะเลือกผลไม้ใด ๆ ถัดไป คุณสามารถเลือกผลไม้ที่เหลืออีกสี่อย่างได้อย่างอิสระ และอื่น ๆ เมื่อมาถึงคนสุดท้าย เนื่องจากตอนแรกมีเพียง 5 ผลไม้ คนๆ นี้ถูกบังคับให้เลือกผลไม้ชิ้นสุดท้าย ซึ่งหมายความว่าในความเป็นจริง คนสุดท้ายไม่มีอิสระในการเลือก ในขณะที่คนอื่นๆ ใช่

ในกรณีนี้ เรากล่าวว่ามีสี่ระดับของอิสระ เนื่องจากหลังจากเลือกผลไม้สี่อย่างแรกแล้ว ผลไม้ของคนที่ห้าจะถูกกำหนดโดยอัตโนมัติ

ควรสังเกตว่าสาเหตุที่คนทั้งห้าไม่มีตัวเลือกในการเลือกผลไม้อย่างอิสระนั้นเป็นเพราะมีเพียงห้าผลไม้เท่านั้นที่จะเริ่มต้น หากเราบอกให้ทั้งห้าคนเลือกผลไม้ที่พวกเขาชอบมากที่สุดโดยไม่ระบุตัวเลือกใดเลย ทั้งห้าคนก็จะมีอิสระในการเลือก สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าผลไม้เพียงห้าชนิดแสดงถึงข้อจำกัดที่ลดระดับเสรีภาพในการเลือก

ระดับความเป็นอิสระในวิชาคณิตศาสตร์

ในทางคณิตศาสตร์ระดับความอิสระถูกกำหนดให้เป็นจำนวน ขนาดโดเมนของเวกเตอร์สุ่ม ซึ่งหมายความว่าเป็นจำนวนส่วนประกอบของเวกเตอร์สุ่มซึ่งเราต้องระบุค่าเพื่อให้ทราบเวกเตอร์ทั้งหมด

เพื่อให้เข้าใจแนวคิดนี้ดีขึ้น ลองวิเคราะห์จากมุมมองทางเรขาคณิต เราสามารถกำหนด เวกเตอร์สุ่มเป็นเวกเตอร์ที่เกิดจากชุดของตัวแปรสุ่มสเกลาร์ ตัวแปรสุ่มแต่ละตัวเหล่านี้แทนหนึ่งในส่วนประกอบของเวกเตอร์ในหนึ่งมิติ นั่นคือ จำนวนของตัวแปรหรือส่วนประกอบดังกล่าว ( n ) กำหนดสเปซ n มิติที่เวกเตอร์สุ่มสามารถเคลื่อนที่ได้อย่างอิสระ เราจึงบอกว่าเวกเตอร์มีองศาอิสระ n ระดับ

ตัวอย่างเช่น ถ้าเวกเตอร์ประกอบด้วยตัวแปรสุ่มตัวเดียว เวกเตอร์นี้สามารถแปรผันได้อย่างอิสระตามมิติเดียว ด้วยเหตุนี้ ในการกำหนดเวกเตอร์เฉพาะ จำเป็นต้องเลือกค่าของตัวแปรสุ่มตัวเดียวเท่านั้น ดังนั้นเราจึงบอกว่ามีอิสระเพียงระดับเดียวเท่านั้น

ในทางกลับกัน ถ้าเวกเตอร์ถูกสร้างขึ้นจากส่วนประกอบสองส่วน มันสามารถแสดงในพื้นที่สองมิติ นั่นคือในระนาบ เราบอกว่าเวกเตอร์นี้สามารถเคลื่อนที่ได้อย่างอิสระในสองมิติโดยขึ้นอยู่กับค่าเฉพาะที่ตัวแปรสุ่มสองตัวนี้สมมติขึ้น ดังนั้นเราจึงบอกว่ามันมีระดับความอิสระสองระดับ

เหตุผลเดียวกันนี้ใช้ได้กับเวกเตอร์สุ่มที่มีส่วนประกอบ 3, 4 หรือมากกว่า

ตัวอย่างทั่วไปของเวกเตอร์สุ่มที่ใช้บ่อยในสถิติคือตัวอย่างขนาด n ในกรณีนี้ องค์ประกอบ n แต่ละรายการของตัวอย่างเป็นตัวแปรสุ่ม และค่า n ทั้งหมดประกอบกันเป็นเวกเตอร์สุ่มที่สอดคล้องกับตัวอย่าง ทุกครั้งที่เราเลือกตัวอย่างใหม่ เราจะได้เวกเตอร์ใหม่ และไม่มีสิ่งใดห้ามเราเลือกข้อมูลแต่ละรายการที่ประกอบขึ้นเป็นตัวอย่างได้อย่างอิสระและเป็นอิสระต่อกัน

ข้อ จำกัด ขององศาอิสระ

จากที่ได้อธิบายไปแล้วในย่อหน้าก่อนหน้านี้ สามารถอนุมานได้ว่าเวกเตอร์สุ่มใดๆ ที่มี n มิติ (นั่นคือ เกิดจากส่วนประกอบอิสระ n ชิ้น) จะมีดีกรีอิสระ n ระดับ เนื่องจากส่วนประกอบใดๆ ใน n ชิ้นสามารถมีค่าใดๆ ก็ได้ นั่นคือ ไม่มีอะไรที่จำกัดการเลือกของตัวแปรสุ่ม n แต่ละตัว

อย่างไรก็ตามหากตัวแปรไม่เป็นอิสระจากกันแต่เกี่ยวข้องกันด้วยสมการทางคณิตศาสตร์ จำนวนองศาอิสระจะลดลงเนื่องจากจะมีตัวแปรที่กำหนดค่าครบถ้วนเมื่อเลือกหรือระบุค่าของ ตัวแปรอื่นๆ

ความสัมพันธ์เหล่านี้ระหว่างตัวแปรสุ่มที่ประกอบกันเป็นเวกเตอร์คือสิ่งที่เรารู้ว่าเป็นข้อจำกัดหรือเงื่อนไข และเทียบเท่าทางคณิตศาสตร์กับเงื่อนไข “มีผลไม้เพียงห้าอย่าง” ของคำอธิบายโดยสัญชาตญาณของระดับความอิสระของเรา

ตัวอย่าง:

สมมติว่าเรามีเวกเตอร์สุ่มที่ประกอบด้วยตัวแปรสุ่มสามตัวx , yและz ในขั้นต้นระบบนี้มีอิสระสามระดับเนื่องจากเราต้องเลือกค่าของตัวแปรทั้งสามเพื่อระบุเวกเตอร์เฉพาะอย่างเต็มที่

อย่างไรก็ตาม ตอนนี้สมมติว่าด้วยเหตุผลบางประการ ตัวแปรเหล่านี้ต้องตรงตามเงื่อนไขที่ผลรวมของพวกมันเท่ากับ 5 เงื่อนไขนี้จำกัดการเลือกค่าเฉพาะของแต่ละตัวแปร เนื่องจากหลังจากเลือกสองตัวแรกอย่างอิสระ ( xและy , x y zหรือy y z ) ค่าที่สามถูกกำหนดโดยสมการx + y + z = 5

ตัวอย่างเช่น หากเราเลือก x = 10 และy = 5ตัวแปร z จะไม่สามารถรับค่าใดๆ ได้ แต่ต้องมีค่าเป็น –10 เพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไขดังกล่าว

หากเราเพิ่มข้อจำกัดหรือความสัมพันธ์ที่เป็นอิสระมากขึ้นระหว่างตัวแปรเราจะสามารถลดจำนวนระดับความเป็นอิสระลงได้อีก กระทั่งเหลือศูนย์

ระดับความเป็นอิสระในสถิติ

ด้วยวิธีการที่ชัดเจนขึ้นในการดูองศาอิสระในวิชาคณิตศาสตร์ การทำความเข้าใจองศาอิสระในด้านสถิติจะง่ายขึ้นมาก ซึ่งพวกเขาพบว่ามีประโยชน์มากที่สุด

องศาอิสระใช้ในการคำนวณสถิติ เช่นเดียวกับกำหนดการแจกแจงความน่าจะเป็น เช่น การแจกแจงแบบ t-studentหรือการแจกแจงแบบไคสแควร์

ในบริบทเหล่านี้ องศาอิสระประกอบด้วยจำนวนตัวแปรที่เราต้องระบุเพื่อกำหนดค่าของตัวแปรทางสถิติบางตัว เช่น ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง ความแปรปรวน ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง เป็นต้น

ตัวอย่างเช่น ในการคำนวณค่าเฉลี่ยตัวอย่างสำหรับตัวอย่างขนาด n เราจำเป็นต้องทราบค่าทั้งหมดของรายการ n ในตัวอย่าง ค่าเฉลี่ยคำนวณโดยใช้นิพจน์ต่อไปนี้:

อย่างไรก็ตาม เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยตัวอย่างซึ่งคำนวณค่าเฉลี่ยประชากรแล้ว ก็จะสามารถใช้คำนวณตัวแปรทางสถิติอื่นๆ ได้ เช่น ความแปรปรวนของตัวอย่างและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ในกรณีเหล่านี้ เนื่องจากค่าเฉลี่ยและค่าแต่ละค่าขององค์ประกอบตัวอย่างมีความสัมพันธ์กันโดยใช้สมการก่อนหน้าซึ่งแสดงถึงข้อจำกัด จึงเป็นความจริงที่ว่าปริมาณใดๆ ที่คำนวณจากค่าเฉลี่ยจะมีองศาอิสระ n-1 :

อ้างอิง

เดอ ลา ครูซ-โอเร, JL (2013). องศาของเสรีภาพหมายถึงอะไร? วารสารระบาดวิทยาเปรู , 17 (2), 1–6. https://www.redalyc.org/pdf/2031/203129458002.pdf

เดวอร์ เจ. (2545). ความน่าจะเป็นและสถิติสำหรับวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์ (ฉบับที่ 5) ทอมสัน อินเตอร์เนชั่นแนล.

องศาของเสรีภาพ (2555, 18 พฤศจิกายน). สารานุกรมการเงิน. http://www.enciclopediafinanciera.com/definicion-grados-de-libertad.html

โปรแกรมแก้ไขบล็อก Minitab (2562, 18 เมษายน). องศาของเสรีภาพในสถิติคืออะไร? บล็อก Minitab https://blog.minitab.com/th/what-are-degrees-of-freedom-in-statistics

Pacheco, J. (2019, 15 ตุลาคม). ▷ องศาอิสระในสถิติ( คืออะไรและนำไปใช้อย่างไร) | 2021 . เว็บและบริษัท https://www.webyempresas.com/grados-de-libertad-en-estadistica/