เมื่อใดและอย่างไรที่จะใช้วงเล็บ วงเล็บ และปีกกาในวิชาคณิตศาสตร์

ในบรรดาสัญลักษณ์ต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณเลขคณิตหรือนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิต เป็นเรื่องปกติที่จะพบสัญลักษณ์สามตัว ซึ่งมักจะสับสนในการใช้งาน วงเล็บ ( ) วงเล็บเหลี่ยม [ ] และวงเล็บปีกกา { } มาดูกันว่าแต่ละแบบประยุกต์เฉพาะอะไรบ้างพร้อมตัวอย่างแก้ความคิด

วงเล็บ ( ) ใช้เพื่อจัดกลุ่มตัวเลขและตัวแปร ในการคำนวณหรือในสมการพีชคณิต เมื่อเราพบวงเล็บตรงกลางของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ต่างๆ เรากำลังได้รับการบอกลำดับที่ควรจะทำ จำไว้ว่า หากไม่มีข้อบ่งชี้อื่นใด การคูณและการหารจะมีผลเหนือกว่าการบวกและการลบ และการยกกำลังมากกว่าการคูณและการหาร เมื่อต้องมีการดำเนินการที่มีลำดับความสำคัญเท่ากัน การคำนวณจะดำเนินการจากซ้ายไปขวาในนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ มาดูบทบาทของวงเล็บที่ระบุลำดับการดำเนินการในตัวอย่างต่อไปนี้

9 – 5 ÷ (8 – 3) × 2 + 6

วงเล็บบอกเราว่าการดำเนินการที่เสนอในช่องว่างนั้นต้องดำเนินการก่อน โดยไม่พิจารณาลำดับความสำคัญตามปกติในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ในตัวอย่างนี้ การคูณและการหารจะต้องดำเนินการก่อนการลบ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากการดำเนินการ 8 – 3 อยู่ในวงเล็บ เราจึงต้องทำการคำนวณนี้ก่อน เมื่อทำการคำนวณทั้งหมดภายในวงเล็บแล้ว ในกรณีนี้ เฉพาะ 8 – 3 เท่านั้น การคำนวณเหล่านั้นจะถูกตัดออก และเราจะดำเนินการอื่นๆ ด้วยลำดับความสำคัญตามปกติ ในกรณีนี้ (8 – 3) จะถูกแทนที่ด้วย 5 และลำดับความละเอียดของการคำนวณจะเป็นดังต่อไปนี้

9 – 5 ÷ (8 – 3) × 2 + 6 = 9 – 5 ÷ 5 × 2 + 6

9 – 5 ÷ 5 × 2 + 6 = 9 – 1 × 2 + 6

9 – 1 × 2 + 6 = 9 – 2 + 6

9 – 2 + 6 = 7 + 6

7 + 6 = 13

วงเล็บยังระบุโดยปริยายว่านี่คือการดำเนินการคูณ ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์ 3(2 + 5) วงเล็บระบุว่าต้องดำเนินการเพิ่มภายในช่องว่างของวงเล็บก่อน 2 + 5 แต่ไม่มีการดำเนินการที่ชัดเจนระหว่างสามและช่องว่างของวงเล็บ ซึ่ง ถือว่าเป็นการคูณ กรณีทั่วไปที่มีวงเล็บสองวงเล็บจะเป็นนิพจน์ (6 –3)(2 + 3) อีกครั้ง ก่อนอื่นเราต้องแก้การคำนวณสองรายการในช่องว่างระหว่างวงเล็บ นั่นคือ 6 – 3 และ 2 + 3 จากนั้นเราถือว่าเราต้องทำผลคูณของผลลัพธ์ทั้งสอง เพื่อความชัดเจนเรามาพัฒนาการคำนวณกัน

(6 – 3)(2 + 3) = (6 – 3) × (2 + 3)

(6 – 3) × (2 + 3) = (3) × (3)

(3) × (3) = 3 × 3

3 × 3 = 9

วงเล็บยังใช้เมื่อจำเป็นต้องจัดกลุ่มตัวเลขและตัวแปรในการคำนวณหรือในสมการพีชคณิต แต่เมื่อมีการใช้วงเล็บแล้ว นั่นคือ หากจำเป็นต้องจัดกลุ่มตัวเลขและตัวแปรในช่องว่างที่จัดกลุ่มไว้แล้ว กลุ่มภายในจะถูกระบุด้วยวงเล็บ และกลุ่มภายนอกจะถูกระบุด้วยวงเล็บเหลี่ยม หากจำเป็นต้องมีการจัดกลุ่มลำดับที่สามในพื้นที่เดียวกัน ก็จะใช้วงเล็บปีกกา ลำดับ ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าวงเล็บซ้อน จะเป็นไปตามลำดับต่อไปนี้: { [ ( ) ] }

ลองดูตัวอย่างนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่รวมวงเล็บและวงเล็บเหลี่ยมเข้าด้วยกัน ในกรณีของวงเล็บ หากไม่มีการดำเนินการที่ชัดเจนถัดจากวงเล็บ จะถือว่าเป็นการคูณ

4 – 3[4 – 2(6 – 3)] ÷ 3

ในนิพจน์นี้ ก่อนอื่นเราต้องแก้ไขการดำเนินการภายในช่องว่างของวงเล็บ

4 – 2(6 – 3)

นิพจน์นี้มีลำดับความสำคัญที่ระบุโดยวงเล็บ ก่อนอื่นคุณต้องแก้ผลต่าง 6 – 3 มาดูการพัฒนาลำดับการคำนวณทั้งหมด

4 – 3[4 – 2(6 – 3)] ÷ 3 = 4 – 3 × [4 – 2 × (6 – 3)] ÷ 3

4 – 3 × [4 – 2 × (6 – 3)] ÷ 3 = 4 – 3 × [4 – 2 × (3)] ÷ 3

4 – 3 × [4 – 2 × (3)] ÷ 3 = 4 – 3 × [4 – 6] ÷ 3

4 – 3 × [4 – 6] ÷ 3 = 4 – 3 × [-2] ÷ 3

4 – 3 × [-2] ÷ 3 = 4 + 6 ÷ 3

4 + 6 ÷ 3 = 4 + 2

4 + 2 = 6

ทีนี้มาดูตัวอย่างที่รวมสัญลักษณ์ทั้งสามเข้าด้วยกัน

2{1 + [4(2 + 1) + 3]}

ดังที่กล่าวไว้แล้ว กฎทั่วไปคือการแก้ไขวงเล็บที่ซ้อนกันจากภายในสู่ภายนอก มาดูลำดับการคำนวณกัน

2{1 + [4(2 + 1) + 3]} = 2 × {1 + [4 × (2 + 1) + 3]}

2 × {1 + [4 × (2 + 1) + 3]} = 2 × {1 + [4 × (3) + 3]}

2 × {1 + [4 × (3) + 3]} = 2 × {1 + [12 + 3]}

2 × {1 + [12 + 3]} = 2 × {1 + [15]}

2 × {1 + [15]} = 2 × {16}

2 × {16} = 32

วงเล็บ วงเล็บปีกกา และวงเล็บปีกกามักจะเรียกว่าวงเล็บเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และวงเล็บปีกกาตามลำดับ ในบางนิพจน์จะใช้วงเล็บเท่านั้นแม้ว่าจะมีช่องว่างการคำนวณซ้อนกันหลายช่องก็ตาม สิ่งนี้จะทำโดยเฉพาะเมื่อการซ้อนมากกว่าสามระดับ ซึ่งในกรณีนี้จะไม่มีสัญลักษณ์ที่แสดงความแตกต่างของระดับการซ้อนอีกต่อไป เมื่อใช้เฉพาะวงเล็บเท่านั้น ต้องใช้ความระมัดระวังเป็นพิเศษในการระบุช่องว่างแรกระหว่างวงเล็บในการซ้อน แก้ปัญหา จากนั้นเลื่อนไปยังระดับถัดไป

น้ำพุ

ซามูเอล เซลเซอร์พีชคณิตและเรขาคณิตวิเคราะห์ พิมพ์ครั้งที่สอง. บัวโนสไอเรส 2513