จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับศูนย์

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของชุดข้อมูลหรือของกลุ่มตัวอย่างจากประชากรกลุ่มหนึ่งเป็นพารามิเตอร์ทางสถิติเชิงพรรณนาที่วัดการแพร่กระจายของค่าในชุดนั้น หากคำนวณค่าเฉลี่ยของชุดค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะประเมินความแตกต่างของค่าในชุดจากค่าเฉลี่ย

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ เนื่องจากศูนย์เป็นจำนวนจริงที่ไม่ติดลบ จึงควรถามว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะเท่ากับศูนย์เมื่อใด และหมายความว่าอย่างไร สิ่งนี้จะเกิดขึ้นเฉพาะในกรณีที่ค่าทั้งหมดในชุดข้อมูลเหมือนกันทุกประการ

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

เมื่อคุณมีชุดข้อมูล ไม่ว่าจะเป็นกลุ่มตัวอย่างจากประชากรบางกลุ่มหรือชุดของค่าที่เกิดจากระบบใดระบบหนึ่ง คำถามสองข้อจะเกิดขึ้นทันที: เราสามารถเชื่อมโยงชุดข้อมูลที่เรามีกับค่าที่กำหนดได้อย่างไร และการกระจายคืออะไร ของชุดข้อมูลชุดข้อมูลที่เราวิเคราะห์

ในสถิติเชิงพรรณนาที่เรียกว่า มีตัวแปรต่างๆ ที่ต้องการตอบคำถามสองข้อนี้ ในการประเมินค่าที่เราสามารถเชื่อมโยงชุดข้อมูลได้ สามารถคำนวณค่าเฉลี่ยหรือค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก ฐานนิยม ช่วงค่าเฉลี่ย หรือค่ามัธยฐาน ในกรณีนี้ เราจะใช้ค่าเฉลี่ยหรือค่าเฉลี่ยเลขคณิต: ค่าเฉลี่ยของชุดค่าnคือผลรวมของค่าทั้งหมดหารด้วยจำนวนค่าn .

การแพร่กระจายของค่าในชุดสามารถประเมินได้โดยการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน พิสัย หรือพิสัยระหว่างควอไทล์ รูปด้าน ล่างแสดงสูตรทั่วไปที่ใช้ในการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ แสดงเป็นคำพูด: เราลบออกจากแต่ละค่าของชุดที่เราวิเคราะห์ ซึ่งเราจดบันทึกด้วยตัวห้อยiค่าเฉลี่ยของค่าทั้งหมด เรานำความแตกต่างเหล่านี้มายกกำลังสองแล้วบวกเข้าไป เราหารผลลัพธ์ด้วยจำนวนค่าในชุดลบ 1 และคำนวณรากที่สองของค่านี้

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมีคำจำกัดความที่แตกต่างกันสองแบบ ขึ้นอยู่กับประเภทของข้อมูลที่เรากำลังวิเคราะห์ ความแตกต่างนี้แสดงถึงการคำนวณที่แตกต่างกันเล็กน้อย ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสามารถคำนวณได้จากประชากรหรือกลุ่มตัวอย่าง

ถ้าข้อมูลถูกรวบรวมจากสมาชิกทั้งหมดของประชากรหรือชุดหนึ่งๆ จะต้องใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร หากคุณกำลังวิเคราะห์ข้อมูลที่แสดงถึงกลุ่มตัวอย่างจากประชากรจำนวนมาก คุณต้องใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง ความแตกต่างในการคำนวณคือในกรณีของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง ผลต่างระหว่างแต่ละค่ากับค่าเฉลี่ยกำลังสองจะถูกหารด้วยจำนวนค่าลบ 1 ( n – 1) ดังแสดงในรูป สำหรับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร ให้หารด้วยn

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับศูนย์

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานσที่คำนวณด้วยวิธีนี้จะประเมินค่าสเปรดของค่าในชุด: ยิ่งมีค่ามาก ค่าสเปรดก็จะยิ่งมากขึ้น Y เป็นจำนวนบวกเสมอ เนื่องจากเป็นผลรวมของค่ากำลังสองซึ่งทั้งหมดจะเป็นค่าบวก หากค่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นศูนย์ สเปรดควรเป็นศูนย์ และสิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อค่าทั้งหมดของชุดตรงกัน: ไม่มีการกระจาย

ในทางกลับกัน หากค่าทั้งหมดในชุดตรงกัน ค่าเฉลี่ยก็จะตรงกับค่านั้นด้วย ตามคำจำกัดความก่อนหน้าของค่าเฉลี่ย หาก ค่า nของชุดเท่ากัน ผลรวมของ ค่า nจะแปลเป็นการคูณค่านั้นด้วยn ; เมื่อหารด้วยn เพื่อคำนวณค่าเฉลี่ย ค่าทั้งสองของ nจะถูกตัดออกและเราจะได้ค่าเฉลี่ยเท่ากับค่าเฉพาะของชุด การพัฒนาคำอธิบายนี้ในสมการถ้ามี ค่าเท่ากัน nค่า แสดงเป็นxค่าเฉลี่ยจะคำนวณเป็น

( x + x + x + x + x +…+ x )/ n = nx / n = x

มาดูกันว่าเกิดอะไรขึ้นกับการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานด้วยสูตรที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้ ในสูตรนั้น แต่ละค่าx _iเท่ากับxและในทางกลับกันจะเท่ากับค่าเฉลี่ย ดังนั้น เมื่อลบค่าเฉลี่ยออกจาก ค่า x _i แต่ละ ค่า ผลลัพธ์จะเป็นศูนย์ มีผลรวมที่ส่วนเพิ่มทั้งหมดเท่ากับศูนย์ ผลลัพธ์ก็จะเป็นศูนย์เช่นกัน แล้วผลลัพธ์สุดท้ายของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะเป็นศูนย์

เราเห็นแล้วว่าเมื่อค่าทั้งหมดในชุดเท่ากัน ค่าเฉลี่ยจะเท่ากับค่านั้นและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะเป็นศูนย์ พิจารณาสถานการณ์ย้อนกลับ: ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อค่าทั้งหมดในชุดเท่ากันหรือไม่

เพื่อตรวจสอบสิ่งนี้ มาดูกันว่าจะเกิดอะไรขึ้นหากมีค่าต่างกันเพียงค่าเดียว นั่นจะหมายความว่าค่าเฉลี่ยไม่เท่ากับค่าทั้งหมดในชุดอีกต่อไป และอย่างน้อยหนึ่งในส่วนเพิ่มเติมของการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะไม่เป็นศูนย์ เนื่องจากผลรวมนี้ได้รับการพัฒนาเหนือค่าที่ยกกำลังสอง ส่วนเพิ่มทั้งหมดจึงเป็นค่าบวก และไม่สามารถชดเชยค่าเหล่านี้ด้วยการลบได้ วิธีเดียวที่จะทำให้ผลรวมของจำนวนบวกเป็นศูนย์คือให้ผลบวกทั้งหมดเป็นศูนย์ ดังนั้นวิธีเดียวที่ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะเป็นศูนย์คือค่าทั้งหมดในกลุ่มจะเท่ากับค่าเฉลี่ยและเท่ากับค่าอื่น

อาร์กิวเมนต์ทั้งสองเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ: ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของชุดค่าเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อค่าทั้งหมดในชุดเท่ากัน

น้ำพุ

ยาโดลาห์ ดอดจ์. สารานุกรมสถิติฉบับย่อ นิวยอร์ก: สปริงเกอร์ 2010