ตัวอย่างการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรเป็นหนึ่งในพารามิเตอร์ประชากรที่สำคัญที่สุดสำหรับการวัดความแปรปรวนหรือการกระจายของข้อมูลภายในประชากร เช่นเดียวกับพารามิเตอร์ใดๆ ในสถิติ มันถูกแทนด้วยตัวอักษรกรีก ในกรณีนี้คือตัวอักษร σ (ซิกมา) ซึ่งช่วยให้แยกแยะได้ง่ายจากส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง ซึ่งแม้ว่าจะคล้ายกัน แต่ก็ไม่เหมือนกันและไม่ได้คำนวณด้วยสูตรเดียวกัน

ต่อไป เราจะเห็นวิธีต่างๆ ในการ คำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรโดยใช้ตัวอย่าง ควรสังเกตว่า ในการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของประชากร จำเป็นต้องทราบข้อมูลประชากรทั้งหมด สิ่งนี้ไม่ค่อยเกิดขึ้นในบริบทจริง แต่ก็ยังมีความสำคัญที่จะต้องเข้าใจวิธีการคำนวณ เนื่องจากจะช่วยให้เข้าใจคุณลักษณะทางคณิตศาสตร์บางประการของพารามิเตอร์ที่สำคัญนี้

สูตรค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

ขึ้นอยู่กับข้อมูลที่มีอยู่ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรสามารถกำหนดได้โดยใช้สูตรที่แตกต่างกันสามสูตร

ความหมายทางคณิตศาสตร์ของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานถูกกำหนดให้เป็นรากที่สองของความแปรปรวนσ ² นั่นคือ ถ้าเราทราบความแปรปรวนของประชากร เราจะสามารถคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใช้สมการต่อไปนี้

กรณีนี้ไม่ค่อยเกิดขึ้น แต่ควรระลึกไว้เสมอ

สูตรค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรอื่นๆ

ถ้าแทนที่จะรู้ความแปรปรวนของประชากรเรารู้รายการข้อมูล N ทั้งหมดที่ประกอบกัน จากนั้นเราจะสามารถคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรเป็นรากที่สองของค่าเฉลี่ยของค่าเบี่ยงเบนกำลังสองจากค่าเฉลี่ย กล่าวคือ:

ในสมการนี้ x _iแทนค่าของแต่ละรายการข้อมูลในประชากร N แทนจำนวนรายการข้อมูลในประชากร (หรือขนาดของประชากร ซึ่งเท่ากัน) และ μ คือค่าเฉลี่ยประชากร โปรดทราบว่าค่าเฉลี่ยของประชากรยังแสดงด้วยตัวอักษรกรีกเนื่องจากเป็นพารามิเตอร์ของประชากรอีกตัวหนึ่ง และขนาดของประชากรจะแสดงด้วย N (อักษรตัวใหญ่) เพื่อแยกความแตกต่างจาก n ที่มักจะเกี่ยวข้องกับขนาดของตัวอย่าง

ค่าเฉลี่ยประชากร μ กำหนดโดย:

สมการ 2 สามารถขยาย จัดเรียงใหม่ และทำให้ง่ายขึ้นเพื่อให้ได้:

ในกรณีที่ไม่มีข้อมูลรายบุคคลของประชากร แต่ข้อมูลถูกจัดกลุ่มในตารางความถี่ สูตรก่อนหน้านี้จะแก้ไขเล็กน้อยเพื่อให้:

ในสมการข้างต้น ปริมาณที่อยู่ในรากนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าความแปรปรวนของประชากร สมการที่ 4 มีข้อดีตรงที่ถูกกำหนดขึ้นเฉพาะในแง่ของข้อมูลประชากรเท่านั้น และไม่ใช่พารามิเตอร์ประชากรบางตัวเช่นในกรณีของสมการที่ 2 และ 5

ตัวอย่างการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

สมมติว่าเราต้องการกำหนดความแปรปรวนของน้ำหนักของรถยนต์รุ่นใดรุ่นหนึ่ง ซึ่งมีเพียง 20 ตัวอย่างเท่านั้นที่ทราบทั่วโลก ข้อมูลของน้ำหนักเป็นกิโลกรัมของรถยนต์ทั้ง 20 คันนี้แสดงไว้ในตารางต่อไปนี้:

เนื่องจากเราทราบดีว่ามีรถรุ่นนี้เพียง 20 คัน ซึ่งรถเหล่านี้เป็นตัวแทนของประชากรทั้งหมด ดังนั้นเราจึงมีข้อมูลทั้งหมดที่จำเป็นในการระบุค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร ลองดูสามวิธีที่แตกต่างกันในการหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน นี้

วิธีที่ 1: การคำนวณตามนิยามของความแปรปรวน

วิธีนี้ขึ้นอยู่กับการใช้สมการ 2 ที่นำเสนอข้างต้น อย่างที่เราเห็น สมการนี้ต้องใช้ค่าเฉลี่ยประชากรและชุดการคำนวณอื่นที่มีรายละเอียดด้านล่าง:

ขั้นตอนที่ 1: กำหนดค่าเฉลี่ยของประชากร

ค่าเฉลี่ยประชากรหรือ μ คำนวณโดยใช้สมการ 3 โดยบวกข้อมูลทั้งหมดแล้วหารด้วยจำนวนข้อมูลทั้งหมด ซึ่งในกรณีนี้คือ 20

ขั้นตอนที่ 2: คำนวณส่วนเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ย

ขั้นตอนนี้เกี่ยวข้องกับการคำนวณการลบ (x _i – μ) ตัวอย่างเช่น:

x ₁ – μ = 410 – 400.35กก. = 9.65กก

x ₂ – μ = 408 – 400.35กก. = 7.65กก

x ₃ – μ = 408 – 400.35กก. = 7.65กก

…

X ₂₀ – μ = 400 กก. – 400.35 กก. = – 0.35

ผลลัพธ์แสดงไว้ในตารางต่อไปนี้:

ขั้นตอนที่ 3: ยกกำลังสองส่วนเบี่ยงเบนทั้งหมดจากค่าเฉลี่ย

(x ₁ – μ) ² = (9.65) ² = 93.1225 กก. ²

(x ₂ – μ) ² = (7.65) ² = 58.5225 กก. ²

(x ₃ – μ) ² = (7.65) ² = 58.5225 กก. ²

…

(x ₂₀ – μ) ² = (– 0.35) ² = 0.1225 กก. ²

ผลลัพธ์แสดงไว้ในตารางต่อไปนี้:

ขั้นตอนที่ 4: รวมส่วนเบี่ยงเบนกำลังสองทั้งหมด

ขั้นตอนที่ 5: ใช้สูตรสมการ 2

ตอนนี้เรามีผลรวมนี้แล้ว สิ่งที่เหลืออยู่คือการแทนที่ค่านี้ เช่นเดียวกับจำนวนข้อมูล ซึ่งก็คือ 20 ในสมการ 2:

ดังนั้นเราจึงได้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ำหนักของประชากร 20 คันโดยประมาณ 6.5กก.

วิธีที่ 2: การใช้สมการที่จัดเรียงใหม่

ตอนนี้เราจะทำการคำนวณแบบเดียวกัน แต่ใช้สมการ 4 ซึ่งเทียบเท่ากับสมการที่เราเพิ่งใช้ไป แต่ใช้งานได้จริงมากกว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณทำงานกับข้อมูลจำนวนมากขึ้น ประโยชน์หลักคือไม่จำเป็นต้องคำนวณพารามิเตอร์เพิ่มเติม (ค่าเฉลี่ยของประชากร) เพื่อให้สามารถคำนวณค่าเบี่ยงเบนได้ แต่ทุกอย่างจะคำนวณตามข้อมูลต้นฉบับของแต่ละคน นอกจากนี้ คุณไม่จำเป็นต้องทำงานกับจำนวนลบซึ่งเป็นสาเหตุสำคัญของข้อผิดพลาดในหมู่นักเรียน

ขั้นตอนที่ 1: คำนวณกำลังสองของข้อมูลแต่ละตัว

นั่นคือมีการคำนวณต่อไปนี้:

(x ₁ ) ² = (410) ² = 168,100 กก. ²

(x ₂ ) ² = (408) ² = 166.464 กก. ²

(x ₃ ) ² = (408) ² = 166.464 กก. ²

…

(x ₂₀ ) ² = (400) ² = 160,000 กก. ²

ผลลัพธ์แสดงไว้ในตารางต่อไปนี้:

ขั้นตอนที่ 2: เพิ่มข้อมูลส่วนตัวทั้งหมด

ขั้นตอนที่ 3: เพิ่มสี่เหลี่ยมทั้งหมด

ขั้นตอนที่ 4: ใช้สูตรสมการ 4

ขั้นตอนสุดท้ายคือการแนะนำค่าทั้งสองนี้และจำนวนข้อมูลในสมการ 4 เพื่อให้ได้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร:

วิธีที่ 3: การใช้สเปรดชีต

สเปรดชีต เช่น Microsoft Excel, Apple Numbers หรือ Google ชีต รวมถึงฟังก์ชันพื้นฐานในการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยตรง (ทั้งกลุ่มตัวอย่างและประชากร) ฟังก์ชันเหล่านี้ใช้ชุดข้อมูลเป็นอาร์กิวเมนต์และดำเนินการคำนวณทั้งหมดที่แสดงในวิธีก่อนหน้าเพื่อส่งคืนค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยตรงในเซลล์ที่ป้อนสูตร

ขั้นตอนต่อไป:

ขั้นตอนที่ 1: ป้อนข้อมูลในสเปรดชีต

เราสามารถป้อนข้อมูลในรูปแบบของคอลัมน์ แถว หรือเมทริกซ์ที่ใดก็ได้ในสเปรดชีต ภาพหน้าจอต่อไปนี้แสดงลักษณะของข้อมูลสำหรับปัญหานี้ใน Excel 2016

ขั้นตอนที่ 2: ใช้สูตรเพื่อคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

เมื่อเพิ่มข้อมูลแล้ว เราจะใช้ฟังก์ชันส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน วางเซลล์ที่พบข้อมูลเป็นอาร์กิวเมนต์

ในการเรียกใช้ฟังก์ชันในสเปรดชีต เรามักจะเริ่มต้นด้วยการพิมพ์เครื่องหมายเท่ากับ (=) ตามด้วยชื่อฟังก์ชันที่เราต้องการใช้ ชื่อจะเปลี่ยนไปเล็กน้อยจากแอปพลิเคชันหนึ่งไปยังอีกแอปพลิเคชันหนึ่ง และในบางกรณีก็เปลี่ยนไปตามภาษาที่คุณใช้งานด้วย

ในกรณีของ Excel (เวอร์ชันภาษาสเปน) ฟังก์ชันที่ใช้คำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรเรียกว่า STDEV.P ในขณะที่ Google ชีตจะเป็น STDEVP (ไม่มีจุด) จากนั้นคุณต้องป้อนอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันระหว่างวงเล็บ ในตัวอย่างของเรา เราส่งผ่านช่วงของเซลล์ที่มีข้อมูลอยู่เป็นอาร์กิวเมนต์ (ตั้งแต่เซลล์ A3 ถึง J4)

เมื่อกด ENTER โปรแกรมจะเรียกใช้ฟังก์ชันและคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร โดยแสดงผลในเซลล์ที่เกี่ยวข้อง ดังที่แสดงด้านล่าง:

ดังที่เราเห็น วิธีใดวิธีหนึ่งในสามวิธีที่ปฏิบัติในที่นี้ให้ผลลัพธ์ที่เหมือนกัน ต่างกันแค่วิธีทำสิ่งเดียวกัน

วิธีการอื่นๆ

นอกจากสามวิธีที่กล่าวข้างต้นแล้ว เครื่องคำนวณทางวิทยาศาสตร์และการเงินมักมีฟังก์ชันในการหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของชุดข้อมูล ไม่ว่าจะเป็นกลุ่มตัวอย่างหรือประชากร วิธีการป้อนข้อมูลและผลลัพธ์ที่ได้จะแตกต่างกันไปตามผู้ผลิตแต่ละราย และแม้กระทั่งจากเครื่องคิดเลขรุ่นหนึ่งไปยังอีกรุ่นหนึ่ง ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะแสดงขั้นตอนเฉพาะสำหรับการดำเนินการดังกล่าวที่นี่

แต่เราจะพูดถึงขั้นตอนทั่วไปที่สำคัญที่สุดโดยไม่เจาะลึกลงไป ใครก็ตามที่ต้องการใช้ฟังก์ชันนี้กับเครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์ควรดูคู่มือผู้ใช้ที่มาพร้อมกับเครื่องคิดเลขหรือค้นหาทางออนไลน์เพื่อกำหนดคีย์ผสมเฉพาะในแต่ละกรณี

ขั้นตอนที่ 1: ล้างหน่วยความจำ

ในเครื่องคิดเลขหลายเครื่อง ข้อมูลที่เก็บไว้ก่อนหน้านี้ไม่สามารถมองเห็นได้ หากเราป้อนข้อมูลเกี่ยวกับผู้อื่นที่เก็บไว้โดยไม่รู้ตัว เครื่องคิดเลขจะให้ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้อง เพื่อให้แน่ใจว่าสิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้น ขอแนะนำให้ล้างหน่วยความจำของเครื่องคิดเลขทั้งหมด (หรืออย่างน้อยโหมดการวิเคราะห์ทางสถิติ) ก่อนที่จะเริ่มป้อนข้อมูลใหม่

ขั้นตอนที่ 2: เข้าถึงโหมดสถิติ

ฟังก์ชันในการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นส่วนหนึ่งของโหมด “สถิติ” “สถิติ” หรือเรียกง่ายๆ ว่า “S” ในเครื่องคิดเลขส่วนใหญ่ ดังนั้นเราต้องเริ่มต้นด้วยการเข้าสู่โหมดการทำงานนี้

ขั้นตอนที่ 3: ป้อนข้อมูล

ซึ่งแตกต่างจากเครื่องคิดเลขเครื่องหนึ่งไปยังอีกเครื่องหนึ่ง ในบางกรณี สามารถเพิ่มข้อมูลในรูปแบบตารางได้ ในขณะที่ข้อมูลอื่นๆ จะถูกป้อนทีละรายการหลังจากกดปุ่ม DT (หรือ DAT) สิ่งสำคัญคือต้องตรวจสอบจำนวนข้อมูลที่ป้อนเมื่อสิ้นสุดขั้นตอนนี้เพื่อให้แน่ใจว่าไม่มีข้อมูลใดหายไป

ขั้นตอนที่ 4: คำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

เมื่อป้อนข้อมูลแล้ว สิ่งที่เหลืออยู่คือการถามเครื่องคิดเลขถึงผลลัพธ์ที่เราต้องการ ในเครื่องคิดเลขหลายเครื่อง ทั้งตัวอย่างและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ σ (แม้ว่านี่จะเป็นข้อผิดพลาดในกรณีของการเบี่ยงเบนตัวอย่าง) อย่างไรก็ตาม เราสามารถแยกความแตกต่างของค่าเบี่ยงเบนตัวอย่างออกจากค่าเบี่ยงเบนของประชากรได้ เนื่องจากค่าเบี่ยงเบนของตัวอย่างมาพร้อมกับ n-1 (นั่นคือ จะปรากฏเป็น σ n _-1 ) ในขณะที่ค่าเบี่ยงเบนของประชากรปรากฏเป็น s _n นี่หมายถึงความจริงที่ว่าในการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างนั้นหารด้วย n-1 แทนที่จะเป็น n เช่นเดียวกับในประชากร

อ้างอิง

เดเวอร์, JL (2019). ความน่าจะเป็นและสถิติ ( ^ฉบับ ที่ 1 ) การเรียนรู้ Cengage

เมทโมบายล์. (2021, 1 มกราคม). ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับข้อมูลที่ซ้อนกัน | มือถือ . https://matemovil.com/varianza-y-desviacion-estandar-para-datos-agrupados-por-intervalos/

การสนับสนุนด้านเทคนิคของ Google (น). STDEV (STDEV) – ความช่วยเหลือของ Google Docs Editor Google – ความช่วยเหลือของ Google Docs Editor https://support.google.com/docs/answer/3094054?hl=th-419

ซุปเปอร์โปร (น). ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน . พจนานุกรมคณิตศาสตร์ | ซุปเปอร์โปร https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/estadistica/desviacion-estandar.html

TOMi.ดิจิตอล. (น). ส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐานสำหรับข้อมูลที่จัดกลุ่ม https://tomi.digital/en/52202/standard-deviation-for-grouped-data?utm_source=google&utm_medium=seo