Tabla de Contenidos
ชุดของตัวเลขนับไม่ได้เมื่อไม่สามารถกำหนดจำนวนธรรมชาติที่ไม่ซ้ำกัน ให้กับองค์ประกอบทั้งหมดได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เซตนับไม่ได้คือเซตที่ไม่มีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับจำนวนธรรมชาติ
โดยปกติเราใช้จำนวนธรรมชาติในการนับโดยสัญชาตญาณ และเราทำเช่นนี้โดยการกำหนดจำนวนธรรมชาติให้กับแต่ละองค์ประกอบของกลุ่มที่เราต้องการนับตามลำดับ ตัวอย่างเช่น เมื่อนับจำนวนนิ้วที่เรามีในมือ เราจะกำหนดนิ้วแต่ละนิ้วเป็นจำนวนธรรมชาติที่ไม่ซ้ำกันโดยเริ่มจาก 1 และลงท้ายด้วย 5 จากนั้นเราจะรู้ว่ามี 5 นิ้วในมือเพราะนั่นคือค่าสูงสุด เรากำหนดให้นิ้ว กล่าวอีกนัยหนึ่งเรานับนิ้ว
แนวคิดนี้ใช้กับตัวเลขบางชุดไม่ได้ ในบางกรณี เซตมีขนาดใหญ่มากจนแม้แต่การใช้จำนวนธรรมชาติที่ไม่จำกัดก็ไม่เพียงพอที่จะนับองค์ประกอบทั้งหมดของเซตได้ เนื่องจากเซตของจำนวนธรรมชาติมีค่าเป็นอนันต์ แนวคิดที่ว่ามีเซตนับไม่ได้จึงเสนอแนวคิดที่ว่ามีอินฟินิตี้บางตัวที่ใหญ่กว่าเซตอื่นๆ และเฉพาะเซตที่มี “ขนาด” เท่ากันกับเซตของจำนวนธรรมชาติ นับได้ จำนวนธรรมชาติ จำนวนองค์ประกอบในเซตเรียกว่า คาร์ดินัล เซตนับไม่ได้คือเซตที่มีคาร์ดินัลมากกว่าจำนวนธรรมชาติ
คุณสมบัติบางประการของเซตนับได้และนับไม่ได้
เพื่อให้เข้าใจว่าทำไมบางเซตนับได้และบางเซตนับไม่ได้ การรู้คุณสมบัติบางอย่างของเซตจะช่วยให้ทราบ:
- ถ้า A เป็นสับเซตของ B และ A นับไม่ได้ ดังนั้น B ก็นับไม่ได้เช่นกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง เซตใดๆ ที่มีเซตนับไม่ได้จะต้องนับไม่ได้ด้วยตัวมันเอง
- ถ้า A นับไม่ได้และ B เป็นเซตใดๆ (นับได้หรือไม่ก็ได้) ดังนั้น ununion AUB ก็จะนับไม่ได้เช่นกัน
- ถ้า A นับไม่ได้และ B เป็นเซตใดๆ ผลคูณคาร์ทีเซียน A x B ก็จะนับไม่ได้เช่นกัน
- ถ้า A เป็นอนันต์ (แม้จะนับอนันต์ได้ก็ตาม) เซตยกกำลังของ A ก็จะนับไม่ได้
ตัวอย่างของเซตนับไม่ได้ที่พบบ่อยที่สุด
ชุดของจำนวนจริง (R)
เซตของจำนวนจริงเป็นตัวอย่างแรกของเซตนับไม่ได้ แต่เราจะรู้ได้อย่างไรว่าพวกมันนับไม่ได้หากพวกมันมีองค์ประกอบมากมายนับไม่ถ้วน และเรายังมีจำนวนธรรมชาติมากมายให้กำหนดอีกด้วย เราทำสิ่งนี้ด้วยการโต้แย้งในแนวทแยงของคันทอร์
เส้นทแยงมุมของคันทอร์
อาร์กิวเมนต์แนวทแยงของคันทอร์ทำให้เราสามารถแสดงว่าเซตย่อยของจำนวนจริงที่อยู่ระหว่างลิมิตที่กำหนดไว้อย่างดีสองตัว เช่น ระหว่าง 0 ถึง 1 เป็นเซตที่นับไม่ได้ ดังนั้น จากคุณสมบัติที่กล่าวมาแล้วของเซตนับไม่ได้ เซตของจำนวนจริงทั้งหมดจะต้องนับไม่ได้ด้วย
สมมติว่าเราสร้างรายการจำนวนจริงที่ไม่สิ้นสุดระหว่าง 0 ถึง 1 มันไม่เกี่ยวข้องกันโดยสิ้นเชิงว่ารายการนี้ถูกสร้างขึ้นมาอย่างไร สิ่งเดียวที่สำคัญคือตัวเลขทั้งหมดไม่ซ้ำกัน ตอนนี้ เราจะกำหนดให้แต่ละหมายเลขเหล่านี้เป็นจำนวนธรรมชาติที่ไม่ซ้ำกัน โดยเริ่มจาก 1 และทำงานตามลำดับ ตัวอย่างของรายการนี้แสดงในตารางต่อไปนี้:
| เลขที่ | ร. | ||||||||
| 1 | 0, | 2 | 2 | 4 | 5 | 8 | 7 | 9 | 6… |
| 2 | 0, | 5 | 2 | 1 | 3 | 2 | 4 | 0 | 2… |
| 3 | 0, | 6 | 4 | 0 | 5 | 7 | 8 | 3 | 0… |
| 4 | 0, | 1 | 7 | 9 | 8 | 2 | 2 | 4 | 3… |
| 5 | 0, | 8 | 5 | 5 | 4 | 7 | 3 | 2 | 2… |
| 6 | 0, | 0 | 4 | 8 | 3 | 8 | 1 | 5 | 3… |
| 7 | 0, | 7 | 8 | 4 | 2 | 0 | 9 | 1 | 0… |
| 8 | 0, | 3 | 4 | 6 | 7 | 9 | 1 | 3 | 5… |
| … | … |
ณ จุดนี้ เรากำลังกำหนดหมายเลขธรรมชาติเฉพาะให้กับหมายเลขทั้งหมดในรายการของเรา เนื่องจากรายการนี้ไม่มีที่สิ้นสุด และแต่ละจำนวนจริงสอดคล้องกับจำนวนธรรมชาติ เราจึง “ใช้” จำนวนธรรมชาติทั้งหมดในตารางนี้ สิ่งที่คันโตทำคือแสดงว่ามีอย่างน้อยหนึ่งจำนวนจริงเพิ่มเติมที่ไม่ได้อยู่ในรายการนี้ ดังนั้นจึงไม่สามารถนับได้ ตัวเลขนี้สร้างขึ้นโดยนำองค์ประกอบทั้งหมดของเส้นทแยงมุมที่ตัดผ่านตาราง แล้วบวกด้วย 1 นั่นคือ ตัวเลขใหม่จะเริ่มต้นด้วยหลักแรกของตัวเลขแรกเพิ่มขึ้น 1 หน่วย จากนั้นจะมีหลักที่สองของ จำนวนที่สองเพิ่มขึ้นหนึ่ง หน่วย จากนั้นหลักที่สามของจำนวนที่สามและต่อไปเรื่อยๆ
ในตารางต่อไปนี้ องค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมจะถูกเน้นด้วยตัวหนาและตัวเลขที่เกิดจากการดำเนินการจะถูกเพิ่มลงในแถวสุดท้าย:
| เลขที่ | ร. | ||||||||
| 1 | 0, | 2 | 2 | 4 | 5 | 8 | 7 | 9 | 6… |
| 2 | 0, | 5 | 2 | 1 | 3 | 2 | 4 | 0 | 2… |
| 3 | 0, | 6 | 4 | 0 | 5 | 7 | 8 | 3 | 0… |
| 4 | 0, | 1 | 7 | 9 | 8 | 2 | 2 | 4 | 3… |
| 5 | 0, | 8 | 5 | 5 | 4 | 7 | 3 | 2 | 2… |
| 6 | 0, | 0 | 4 | 8 | 3 | 8 | 1 | 5 | 3… |
| 7 | 0, | 7 | 8 | 4 | 2 | 0 | 9 | 1 | 0… |
| 8 | 0, | 3 | 4 | 6 | 7 | 9 | 1 | 3 | 5 … |
| … | … | 2+1 | 2+1 | 0+1 | 8+1 | 7+1 | 1+1 | 1+1 | 5+1 |
| 0, | 3 | 3 | 1 | 9 | 8 | 2 | 2 | 6… |
ผลลัพธ์ที่ได้คือ 0.33198226…
ดังที่เราเห็น เนื่องจากหลักแรกของหมายเลขใหม่ (ซึ่งก็คือ 3) นั้นแตกต่างจากหลักแรกของหมายเลขแรกในรายการ (ซึ่งก็คือ 2) ดังนั้น มันจะเป็นหมายเลขที่แตกต่างจากหมายเลขแรก แม้ว่า ตัวเลขอื่น ๆ ทั้งหมดเหมือนกันทุกประการ เนื่องจากตัวเลขหลักที่สอง (3) แตกต่างจากหลักที่สองของตัวเลขที่สอง (2) ดังนั้นก็จะแตกต่างจากตัวเลขที่สองเช่นกัน
อาร์กิวเมนต์เดียวกันนี้สามารถดำเนินการต่อไปเรื่อย ๆ โดยเลื่อนไปตามเส้นทแยงมุม ตรวจสอบให้แน่ใจว่าจำนวนผลลัพธ์จะแตกต่างกันอย่างน้อยหนึ่งหลักจากจำนวนอนันต์ทั้งหมดในตาราง
อย่างไรก็ตาม เนื่องจากเราได้ “ใช้จ่าย” หรือกำหนดจำนวนธรรมชาติทั้งหมดไปแล้วก่อนที่จะสร้างจำนวนใหม่นี้ เราจึงไม่มีจำนวนธรรมชาติที่ไม่ซ้ำกันเหลือให้กำหนด ดังนั้นเราสรุปได้ว่าชุดของจำนวนจริงระหว่าง 0 ถึง 1 ดังนั้น การขยายจำนวนจริงทั้งหมดจึงเป็นเซตที่นับไม่ได้
ชุดของตัวเลขเหนือธรรมชาติ
จำนวนอดิศัยคือจำนวนที่อยู่ในเซตของจำนวนจริง แต่ไม่ใช่จำนวนเชิงพีชคณิต ซึ่งหมายความว่าไม่ใช่รากของสมการพหุนามของรูปแบบ:
โดยค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นจำนวนเต็ม ให้เราเรียกAว่าเซตของจำนวนจริงเชิงพีชคณิตทั้งหมด และเรียกTว่าจำนวนจริงที่เหลือ ซึ่งก็คืออดิเรก มันง่ายที่จะเห็นว่าชุดรวมของจำนวนจริงRคือยูเนี่ยนของชุดAและTนั่นคือ:
แสดงว่าเซตของจำนวนเชิงพีชคณิตสามารถนับได้ นอกจากนี้ เราได้พิสูจน์แล้วว่าจำนวนจริงนั้นนับไม่ได้ เนื่องจากRนับไม่ได้ จึงไม่สามารถเกิดจากการรวมกันของเซตนับได้สองเซต เมื่อรู้ว่าAนับได้ เราจึงสรุปได้ว่าTนับไม่ได้
ชุดของลำดับเลขฐานสอง
ลำดับของเลขฐานสองเป็นเพียงสตริงของ 0 และ 1 ที่มีความยาวเท่าใดก็ได้ ถ้าเรารวมลำดับที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเลขฐานสอง เราจะได้ชุดของลำดับของเลขฐานสอง นี่ไม่ใช่แค่เซตย่อยของจำนวนจริงที่มีเลขหลักเดียวคือ 0 และ 1
มันง่ายมากที่จะแสดงว่าตัวเลขชุดนี้นับไม่ได้โดยใช้อาร์กิวเมนต์ Cantor เดียวกันกับที่เราแสดงว่า R นับไม่ได้ ข้อแม้เพียงอย่างเดียวคือแทนที่จะเพิ่ม 1 ให้กับตัวเลขบนเส้นทแยงมุม เราเพียงแค่กลับค่าของมัน โดยแทนที่ 0 ด้วย 1 และกลับกัน
เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ ลำดับไบนารีที่เป็นผลลัพธ์จะไม่เหมือนกับชุดของลำดับที่ไม่มีที่สิ้นสุดใดๆ ที่เราอาจรวมไว้ในรายการดั้งเดิม ดังนั้นจึงเป็นชุดที่นับไม่ได้
ลำดับอื่นๆ ของตัวเลขที่มีฐานต่างกัน
อาร์กิวเมนต์จากลำดับของเลขฐานสองและจากจำนวนจริงสามารถขยายไปยังลำดับของเลขฐานใดก็ได้ ในแง่นี้ ชุดของลำดับทั้งหมดของเลขฐานสิบหกจะนับไม่ได้ ดังนั้นจะเป็นชุดของลำดับของ ternary, quaternary number เป็นต้น
อ้างอิง
ตัวอย่างทั่วไปของเซตนับไม่ได้ (2563, 16 มีนาคม). คนต่อโครงการ https://th.peopleperproject.com/posts/9312-common-examples-of-uncountable-sets
Ivorra Castillo, C. (sf). ทฤษฎีเซต . UV.es. https://www.uv.es/ivorra/Libros/TC.pdf
ลิเบรอเท็กซ์ (2021, 7 กรกฎาคม). 1.4: เซตที่นับได้และนับไม่ได้ ข้อความ Libre คณิตศาสตร์ https://math.libretexts.org/Bookshelves/Combinatorics_and_Discrete_Mathematics/An_Introduction_to_Number_Theory_(Veerman)/01%3A_A_Quick_Tour_of_Number_Theory/1.04%3A_Countable_and_Uncountable_Sets
Schwartz, R. (2007, 12 พฤศจิกายน) เซตที่นับได้และนับไม่ได้ คณิตศาสตร์สีน้ำตาล https://www.math.brown.edu/reschwar/MFS/handout8.pdf
ชุดนับไม่ได้ | ตัวอย่างของเซตนับไม่ได้ (2563, 21 กันยายน). คูเมธ. https://www.cuemath.com/learn/Mathematics/uncountable-sets/
