ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับผลต่างของสองสัดส่วนประชากร

ช่วงความเชื่อมั่น (CI) ใช้ในสถิติเชิงอนุมานเป็นเครื่องมือในการประมาณค่าของพารามิเตอร์ประชากร สิ่งเหล่านี้ให้ข้อมูลจำนวนมากเกี่ยวกับค่าที่แท้จริงของพารามิเตอร์มากกว่าตัวประมาณค่าแบบจุด เนื่องจากพวกมันแสดงถึงช่วงเวลาของค่าความกว้างที่จำกัดซึ่งเรามีความมั่นใจในระดับหนึ่งว่าค่าที่แท้จริงของพารามิเตอร์จะโกหก สิ่งหลังเป็นสิ่งที่ตัวประมาณค่าแบบจุดไม่มีให้

ช่วงความเชื่อมั่นของสองประชากร

เมื่อเราสนใจที่จะเปรียบเทียบประชากรสองกลุ่มที่ต่างกัน เรามักสนใจที่จะทราบว่าค่าพารามิเตอร์ของค่าใดค่าหนึ่งมีค่ามากกว่า น้อยกว่า หรือเท่ากับค่าพารามิเตอร์ที่สัมพันธ์กันของอีกค่าหนึ่งหรือไม่ ตัวอย่างเช่น เมื่อเปรียบเทียบประสิทธิภาพของมอเตอร์ไฟฟ้าสองตัว เราอาจสนใจที่จะพิจารณาว่าแรงบิดของมอเตอร์ A มากกว่าของมอเตอร์ B หรือไม่ ในกรณีนี้ เรากำลังเปรียบเทียบค่าเฉลี่ยประชากรสองค่า

อย่างไรก็ตาม หลายครั้งที่เราสนใจที่จะเปรียบเทียบ ไม่ใช่ค่าเฉลี่ยของพารามิเตอร์ แต่เป็นสัดส่วนของประชากรที่ตรงหรือไม่ตรงตามเงื่อนไขที่กำหนด ในกรณีนี้ สิ่งที่ต้องการคือการสร้างช่วงความเชื่อมั่นเพื่อประมาณค่าของความแตกต่างระหว่างสัดส่วนประชากรสองส่วน

การอนุมานเกี่ยวกับความแตกต่างของสองสัดส่วนประชากร P ₁ -P ₂

มีสถานการณ์ต่างๆ มากมายที่เราอาจสนใจในความแตกต่างระหว่างสัดส่วนประชากรสองส่วน ดังที่เราได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ ความแตกต่างนี้ช่วยให้เราสามารถเปรียบเทียบสัดส่วนที่เท่ากันในสองกลุ่มประชากรที่แตกต่างกัน ตัวอย่างของปัญหาการวิจัยที่ต้องกำหนดช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความแตกต่างระหว่างสองสัดส่วนของประชากรมีดังต่อไปนี้:

• ในการทดลองทางคลินิกเกี่ยวกับการรักษาทางการแพทย์แบบใหม่ มีความสำคัญเป็นพิเศษในการเปรียบเทียบสัดส่วนของบุคคลที่แสดงอาการทางการแพทย์ที่ดีขึ้นในกลุ่มประชากรที่ได้รับการรักษาด้วยสัดส่วนที่เท่ากันในกลุ่มบุคคลที่ได้รับยาหลอกเท่านั้น
• เมื่อเราต้องการเปรียบเทียบสัดส่วนของผู้หญิงและผู้ชายที่เห็นด้วยหรือไม่เห็นด้วยกับมาตรการของรัฐบาล
• ในทางธุรกิจ เรามักสนใจที่จะเปรียบเทียบคุณภาพของกระบวนการผลิตในสายการผลิตที่แตกต่างกันสองสาย ในกรณีนี้ สัดส่วนของรายการที่มีข้อบกพร่องหรือไม่เป็นไปตามข้อกำหนดที่ผลิตโดยสายการผลิตทั้งสองในช่วงเวลาที่กำหนดสามารถเปรียบเทียบได้
• ในสาขาจุลชีววิทยา เราอาจสนใจเปรียบเทียบสัดส่วนของโคโลนีของแบคทีเรียที่อยู่รอดได้หลังจากผ่านการบำบัดด้วยสารเคมีฆ่าเชื้อต่างๆ
• นักการตลาดมักจะทำการทดสอบ A/B เพื่อพิจารณาว่าเนื้อหาใดบนหน้าเว็บมีประสิทธิภาพมากที่สุดในการแปลงผู้มีแนวโน้มจะเป็นผู้ซื้อ ในการทำเช่นนี้ ครึ่งหนึ่งของผู้ที่เข้าถึงเว็บไซต์จะได้รับเนื้อหาที่แสดง (A) และอีกครึ่งหนึ่งจะแสดงเนื้อหาทางเลือก (B) เพื่อเปรียบเทียบสัดส่วนของผู้เยี่ยมชมที่ซื้อผลิตภัณฑ์หรือบริการที่แนะนำจริง ๆ

จากการเปรียบเทียบ P ₁และ P ₂ถึงผลต่าง P ₁ – P ₂

มีตัวอย่างสถานการณ์อีกมากมายที่เราอาจสนใจเปรียบเทียบสัดส่วนของประชากรสองกลุ่มที่แตกต่างกัน การเปรียบเทียบนี้สามารถทำได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น เราอาจต้องการทราบว่า:

• สัดส่วนทั้งสองเท่ากัน (P ₁ = P ₂ )
• สัดส่วน 1 มากกว่าสัดส่วน 2 (P ₁ > P ₂ )
• สัดส่วน 1 น้อยกว่าสัดส่วน 2 (P ₁ < P ₂ )

ในกรณีเหล่านี้ ข้อความเหล่านี้สามารถเขียนใหม่ในแง่ของความแตกต่างระหว่างสัดส่วน:

• หากเราสนใจที่จะค้นหาว่า P ₁ = P ₂นี่ก็เท่ากับการพิจารณาว่า P ₁ – P ₂ = 0
• หากเราสนใจที่จะค้นหาว่า P ₁ > P ₂นั้นเทียบเท่ากับการพิจารณาว่า P ₁ – P ₂ > 0
• หากเราสนใจที่จะค้นหาว่า P ₁ < P ₂หรือไม่ นี่ก็เท่ากับการพิจารณาว่า P ₁ – P ₂ < 0

ดังนั้น การเปรียบเทียบใดๆ ระหว่างสัดส่วนประชากรสามารถแก้ไขได้โดยการหาช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความแตกต่างระหว่างสัดส่วนประชากร จากนั้นทำการวิเคราะห์ผลลัพธ์ที่เหมาะสม

แต่ช่วงความเชื่อมั่นเหล่านี้เกิดขึ้นได้อย่างไร?

ซึ่งทำได้โดยการวิเคราะห์ตัวอย่างจากแต่ละประชากรและใช้เครื่องมือของสถิติเชิงอนุมาน ขั้นตอนนี้ขึ้นอยู่กับว่าเรากำลังทำงานกับตัวอย่างขนาดใหญ่หรือขนาดเล็ก

ช่วงความเชื่อมั่น การประมาณความแตกต่างของสัดส่วนประชากรสองกลุ่มจากกลุ่มตัวอย่างขนาดใหญ่ (n ≥ 30)

ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความแตกต่างของสัดส่วนประชากรสามารถแก้ไขได้โดยการขยายช่วงความเชื่อมั่นสำหรับสัดส่วนทวินามในประชากร ในกรณีของสัดส่วนทวินาม (เช่น ผลของการทดลองหรือการสังเกตนั้นสำเร็จหรือล้มเหลว และ P แทนความน่าจะเป็นของความสำเร็จ) การกระจายของสัดส่วนในกลุ่มตัวอย่างขนาดใหญ่ ( p ) เป็นไปตามการแจกแจงปกติโดยประมาณโดยมีค่าเฉลี่ย P (สัดส่วนประชากร) และความแปรปรวน P(1 – P)/n ตราบใดที่ความน่าจะเป็นของความสำเร็จไม่สูงหรือต่ำเกินไป (เช่น ไม่ใกล้ 1 หรือ 0 ตามลำดับ)

ในกรณีของความแตกต่างระหว่างสองสัดส่วนประชากร P ₁ – P ₂เราสามารถกำหนดขีดจำกัดของช่วงความเชื่อมั่นจากสองตัวอย่างอิสระที่มีสัดส่วน p 1 _และ p ₂ หากตัวอย่างเหล่านี้ตรงตามเงื่อนไขข้างต้น (ตัวอย่าง n ₁และ n ₂มีขนาดใหญ่ และสัดส่วน p ₁และ p ₂ห่างไกลจาก 1 และ 0) ดังนั้น จึงเป็นไปตามการแจกแจงแบบปกติ ความแตกต่างจะเป็นไปตามการแจกแจงแบบปกติด้วยค่าเฉลี่ย P ₁ – P ₂และความแปรปรวน p ₁ (1 – p ₁ )/n ₁ + p ₂(1 – หน้า₂ )/n ₂ .

จากผลลัพธ์เหล่านี้ ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความแตกต่างของสองสัดส่วนประชากรที่ได้จากตัวอย่างขนาดใหญ่ โดยมีระดับความเชื่อมั่น 100(1 – α)% โดยที่ α แสดงถึงระดับนัยสำคัญ กำหนดโดย:

ในสูตรข้างต้น Z _α/2สอดคล้องกับค่าของ Z ในการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานที่ทิ้งพื้นที่ α/2 ไว้ทางขวา

ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความแตกต่างของสองสัดส่วนประชากรจากกลุ่มตัวอย่างขนาดเล็ก (n < 30)

หากขนาดตัวอย่างน้อยกว่า 30 หรือถ้าสัดส่วนใดสัดส่วนหนึ่งใกล้เคียงกับ 0 หรือ 1 มาก การแจกแจงของคุณจะไม่สามารถประมาณการแจกแจงแบบปกติได้อย่างเพียงพอ ในกรณีนี้ ผลต่างของสองสัดส่วนจะไม่เป็นไปตามการแจกแจงแบบปกติ ซึ่งเป็นสาเหตุที่ไม่สามารถใช้สูตรข้างต้นสำหรับช่วงความเชื่อมั่นได้

การอนุมานเกี่ยวกับความแตกต่างของสัดส่วนประชากรตามกลุ่มตัวอย่างขนาดเล็กนั้นค่อนข้างซับซ้อน และอยู่นอกเหนือขอบเขตของบทความนี้

การแปลความหมายของช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความแตกต่างของสองสัดส่วนประชากร

หลังจากคำนวณช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความแตกต่างของสัดส่วนประชากรสองส่วนแล้ว จะต้องตีความผลลัพธ์ที่ได้ สามารถให้ผลลัพธ์สามรายการที่ตีความต่างกัน

ขอให้เราพิจารณากรณีใดก็ตามที่ช่วงความเชื่อมั่นได้รับจากระดับความเชื่อมั่น 100(1 – α)% หรือพูดง่ายๆ คือระดับนัยสำคัญของ α ซึ่งขีดจำกัดล่างและบนคือ LI และ LS ตามลำดับ กล่าวคือ:

ขึ้นอยู่กับสัญญาณของขีดจำกัดที่ได้รับ เราสามารถบรรลุข้อสรุปที่แตกต่างกันเกี่ยวกับความแตกต่างระหว่างสัดส่วนประชากรทั้งสอง:

• หากทั้งขอบเขตล่างและบนเป็นค่าลบ เราสามารถพูดได้ด้วยระดับความเชื่อมั่น 100(1 – α)% ว่าสัดส่วนในประชากร 2 มากกว่าสัดส่วนตามลำดับในประชากร 1 นั่นคือเราสามารถพูดได้ว่า นั่น P ₁ < P ₂หรือว่า P ₂ > P ₁ .
• ถ้าขีดจำกัดล่างเป็นลบและขีดจำกัดบนเป็นบวก ดังนั้น ช่วงความเชื่อมั่นจึงมีศูนย์ ดังนั้น เราสามารถพูดได้ด้วยระดับความเชื่อมั่น 100(1 – α)% ว่าไม่มีความแตกต่างระหว่างสองค่านี้ . นั่นคือสรุปได้ว่า P ₁ = P ₂ .
• ในที่สุด หากทั้งขอบเขตล่างและขอบเขตบนเป็นบวก เราก็สามารถพูดได้ด้วยระดับความเชื่อมั่น 100(1 – α)% ว่าสัดส่วนของประชากร 1 มากกว่าสัดส่วนของประชากร 2 ตามลำดับ นั่นคือเราสรุปได้ว่า ป₁ > ป₂ .

ตัวอย่างการคำนวณช่วงความเชื่อมั่นของสองสัดส่วนประชากร

คำแถลง

สมมติว่ามีการสำรวจโดยสุ่มตัวอย่างนักศึกษาวิศวกรรมชาวเม็กซิกัน 250 คน เพื่อค้นหาว่าสัดส่วนใดของพวกเขาที่เข้าใจแนวคิดเรื่องช่วงความเชื่อมั่น ผลการสำรวจพบว่า 64.8% ของพวกเขาไม่ครอบงำในขณะที่ที่เหลือ ในทางกลับกัน การสำรวจแบบเดียวกันนี้ดำเนินการกับกลุ่มตัวอย่างนักศึกษาวิศวกรรมศาสตร์ชาวสเปน 180 คน ซึ่งนักศึกษา 54 คนตอบว่าพวกเขาเข้าใจแนวคิดเรื่องช่วงความเชื่อมั่นแล้ว

มีความแตกต่างระหว่างสัดส่วนของนักเรียนชาวสเปนและชาวเม็กซิกันที่เชี่ยวชาญแนวคิดเรื่องช่วงความเชื่อมั่นที่ระดับนัยสำคัญ 0.05 หรือไม่

สารละลาย

ดังที่เราเห็นจากคำถาม สิ่งที่เราต้องการคือการพิจารณาว่ามีความแตกต่างระหว่างสัดส่วนของประชากรสองกลุ่มหรือไม่ สัดส่วนความสนใจประกอบด้วยสัดส่วนของนักเรียนที่เชี่ยวชาญแนวคิดเรื่องช่วงความเชื่อมั่น ดังนั้น ในกรณีนี้ การตอบแบบสำรวจยืนยันความสำเร็จจากมุมมองของการทดลองทวินาม

สำหรับประชากรที่เป็นนักเรียนชาวเม็กซิกัน กลุ่มตัวอย่างคือนักเรียน 250 คน และพวกเขาระบุว่าสัดส่วนของนักเรียนที่ไม่เชี่ยวชาญในวิชาดังกล่าวคือ 64.8% แต่นี่ไม่ใช่สัดส่วนที่เราต้องการเนื่องจากการไม่เชี่ยวชาญในเรื่องนั้นถือเป็นความล้มเหลว ดังนั้นสัดส่วนนี้จึงสอดคล้องกับส่วนเติมเต็มq จากมุมมองนี้ สัดส่วนของความสำเร็จ p สำหรับตัวอย่างนักเรียนชาวเม็กซิกันคือ:

ในทางกลับกัน ในกรณีของกลุ่มตัวอย่างนักเรียนชาวสเปน เรามีจำนวนความสำเร็จและขนาดของกลุ่มตัวอย่างทั้งหมด ดังนั้นสัดส่วนของความสำเร็จจะเป็น:

ผลลัพธ์เหล่านี้สรุปไว้ในตารางต่อไปนี้

อย่างที่เราเห็น ขนาดตัวอย่างทั้งสองมีขนาดใหญ่กว่า 30 อย่างมาก ดังนั้นจึงถือว่าเป็นตัวอย่างขนาดใหญ่ นอกจากนี้ สัดส่วนของนักเรียนชาวเม็กซิกันและนักเรียนชาวสเปนไม่ได้ใกล้เคียงกับ 0 หรือ 1 มากนัก ในที่สุด แม้ว่าข้อความจะไม่ได้ระบุ เราก็สามารถสรุปได้ว่าทั้งสองกลุ่มตัวอย่างเป็นอิสระจากกัน

ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ เราสามารถพูดได้ว่าทั้งสัดส่วนตัวอย่างของประชากรทั้งสองและความแตกต่างของสัดส่วนตัวอย่างจะเป็นไปตามการแจกแจงแบบปกติ ดังนั้น เราสามารถใช้สมการก่อนหน้าเพื่อกำหนดช่วงความเชื่อมั่น ซึ่งจะเป็น:

โปรดทราบว่าในการสร้างช่วงความเชื่อมั่น เราต้องการค่า Z สำหรับครึ่งหนึ่งของระดับนัยสำคัญที่กำหนด ซึ่งในกรณีนี้คือ α = 0.05 นั่นคือเราต้องหา Z _α/2 = Z _0.05/2 = Z _0.025 . ค่านี้สามารถพบได้ในตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน โดยใช้แอปพลิเคชันสถิติมือถือหรือใช้สเปรดชีต เช่น Excel สำหรับ Windows หรือ Numbers สำหรับ MacOS

ในกรณีนี้ Z _0.025 = 1.959964 ดังนั้น ช่วงความเชื่อมั่นจะเป็น:

ดังที่เราเห็น ช่วงความเชื่อมั่นที่คำนวณด้วยวิธีนี้มีศูนย์ ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงสรุปได้ด้วยระดับความเชื่อมั่น 95% ว่าไม่มีความแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญระหว่างสัดส่วนของนักเรียนชาวเม็กซิกันและชาวสเปนที่เชี่ยวชาญแนวคิดเรื่องช่วงเวลา . เชื่อถือได้.

อ้างอิง

Cetinkaya-Rundel, M. (2012, 13 มีนาคม) บทที่ 14: การอนุมานตัวอย่างขนาดใหญ่และขนาดเล็กสำหรับสัดส่วน ภาควิชาสถิติศาสตร์แห่ง Duke University https://www2.stat.duke.edu/courses/Spring12/sta101.1/lec/lec14S.pdf

del Rio, AQ (2019, 1 กันยายน) 7.8 ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับผลต่างของสัดส่วน | สถิติพื้นฐานที่ทำให้หวานขึ้น จองลง https://bookdown.org/aquintela/EBE/confidence-interval-for-the-difference-of-proportions-.html

Holmes, A., Ilowsky, B. และ Dean, S. (2017, 29 พฤศจิกายน) 10.4 การเปรียบเทียบสัดส่วนประชากรอิสระสองกลุ่ม – สถิติธุรกิจเบื้องต้น OpenStax https://openstax.org/books/introductory-business-statistics/pages/10-4-comparing-two-independent-population-proportions

Icedo Félix, M. (2020, 7 พฤษภาคม). RPubs – ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความ แตกต่างของสัดส่วนประชากรสองส่วน ผับ https://rpubs.com/Melanie_Icedo/Asignacion-6_Intervalo-confianza-proportion-poblacional

นักสถิติ (น). ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับผลต่างของสัดส่วน https://statologos.com/diferencia-de-intervalo-de-fianza-en-proportiones/