Tabla de Contenidos
ในทางคณิตศาสตร์ค่าที่คาดหวังหรือที่เรียกว่าความคาดหวังคือค่าเฉลี่ยระยะยาวของค่าของตัวแปรสุ่ม ในทางใดทางหนึ่ง มันสอดคล้องกับค่าของตัวแปรสุ่มที่เราคาดว่าจะได้รับโดยเฉลี่ยหลังจากทำการทดลองสุ่มซ้ำหลายครั้ง (ดังนั้นชื่อ “ค่าคาดหวัง”)
มีสองวิธีที่แตกต่างกันในการคำนวณค่าที่คาดไว้ ขึ้นอยู่กับประเภทของตัวแปรสุ่มที่เป็นปัญหา ตัวแปรนี้มักจะแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ X และสามารถเป็นแบบต่อเนื่องหรือไม่ต่อเนื่องก็ได้ ในแต่ละกรณี วิธีการคำนวณความคาดหวังของ X (แสดงด้วย E[X]) จะเปลี่ยนไปดังที่จะเห็นด้านล่าง
การคำนวณค่าคาดหวังของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
ตัวแปรสุ่มคือฟังก์ชันใดๆ ที่กำหนดตัวเลขหรือค่าตัวเลขให้กับแต่ละผลลัพธ์ของการทดลองสุ่ม ไม่ว่าจะเป็นเชิงปริมาณหรือเชิงคุณภาพ ในกรณีของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ตัวแปรเหล่านี้หมายถึงตัวแปรสุ่มที่มีจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ที่จำกัด หรือสามารถเรียงลำดับผลลัพธ์เป็นลำดับที่หนึ่ง สอง สาม เป็นต้น
ตัวอย่างของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องอาจเป็นจำนวนเลขคู่ที่ทอยเมื่อทอยลูกเต๋า 6 ด้านสองลูก ในกรณีนี้ ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มคือ 0, 1 และ 2 เท่านั้น
ค่าที่คาดหวังของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคำนวณโดยการเพิ่มผลคูณของแต่ละค่าของตัวแปรและความน่าจะเป็นของค่านั้น สามารถเขียนได้ทางคณิตศาสตร์โดยใช้สูตรต่อไปนี้:
ในสมการนี้ E[X] คือความคาดหวังของ X (ค่าที่เราต้องการกำหนด) x iสอดคล้องกับค่า ith ของตัวแปรสุ่ม และ P(x i ) สอดคล้องกับความน่าจะเป็นที่ผลลัพธ์ของการทดลอง คือx ฉัน
ตัวอย่างการคำนวณค่าคาดหวังของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
วิธีปฏิบัติและง่ายๆ ในการทำความเข้าใจแนวคิดของมูลค่าที่คาดหวังคือการเล่นเกมแห่งโอกาส ลองนึกภาพเกมรูเล็ตนำโชค เช่น รายการที่ออกอากาศทางโทรทัศน์ในหลายๆ ประเทศ ด้วยรูปแบบต่างๆ ในท้องถิ่น ในวงล้อรูเล็ตนี้ ในบางกรณีจะมี 4 ชิ้นที่ทำให้สูญเสีย $400 มี 5 ชิ้นที่มี 0, 6 ชิ้นที่มี 1,000 ดอลลาร์ และ 1 ชิ้นที่มีแจ็คพอต 6,000 ดอลลาร์ คำถามคือมูลค่าที่คาดหวังของจำนวนเงินที่ผู้แข่งขันรูเล็ตจะชนะในระยะยาวคือเท่าใด
เมื่อประสบปัญหาเช่นนี้ สิ่งแรกที่เราต้องทำคือกำหนดผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองที่ประกอบด้วยการหมุนวงล้อรูเล็ต นอกจากนี้ยังต้องสามารถกำหนดความน่าจะเป็นที่จะได้รับแต่ละค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม
ในกรณีปัจจุบัน มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เพียง 4 รายการ ได้แก่ –$400, $0, $1,000 และ $6,000 โดยรวมแล้วมี 4 + 5 + 6 + 1 = 16 ชิ้น ดังนั้นความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แต่ละรายการของตัวแปรสุ่มคือ 1/4, 5/16 3/8 และ 1/59.
| x | พี(x) |
| -$400 | 4/16 = 1/4 |
| $0 | 5/16 |
| $1,000 | 6/16 = 3/8 |
| 6,000 ดอลลาร์ | 1/16 |
ตอนนี้เรามีสิ่งที่เราต้องดำเนินการรวมเพื่อกำหนดมูลค่าที่คาดไว้:
ซึ่งหมายความว่า ในระยะยาว รูเล็ตจะจ่ายเงินให้ผู้เข้าร่วม 650 ดอลลาร์
การคำนวณค่าคาดหวังของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
เมื่อตัวแปรสุ่มเป็นแบบต่อเนื่อง หมายความว่าชุดของค่าที่เป็นไปได้ประกอบด้วยช่วงเวลาของจำนวนจริง ไม่ว่าช่วงเวลานี้จะจำกัดหรือไม่มีที่สิ้นสุดก็ตาม สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง ความน่าจะเป็นจะถูกแทนที่ด้วย pdf และการรวมจะถูกแทนที่ด้วยอินทิกรัล:
ในสมการนี้ x คือตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง และf (x) สอดคล้องกับฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นของ x ดังที่เห็นที่นี่ อินทิกรัลต้องทำเหนือค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม X-
ตัวอย่างการคำนวณค่าคาดหวังของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง
พิจารณาตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องที่มีฟังก์ชันการแจกแจงโดย:
ระบบขอให้คุณพิจารณาว่าค่าเฉลี่ยหรือค่าคาดหวังของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องนี้คืออะไร
เมื่อแก้ปัญหานี้ควรพิจารณาว่าฟังก์ชันถูกกำหนดทีละน้อยโดยแบ่งบรรทัดจริงออกเป็น 3 ช่วงซึ่ง ได้แก่ (-∞; -2 ), [-2 ; 2] และ (2 ; + ∞) ด้วยวิธีนี้ เมื่อใช้สูตรสำหรับความคาดหวังของ X อินทิกรัลจะถูกแบ่งออกเป็นผลรวมของอินทิกรัลสามตัว:
แต่เนื่องจากตัวแปรสุ่ม x เป็นศูนย์ในช่วงแรกและช่วงสุดท้าย ดังนั้นอินทิกรัลทั้งสองจึงเป็นศูนย์ ซึ่งให้เฉพาะอินทิกรัลกึ่งกลางที่ประเมินระหว่าง -2 ถึง +2:
อ้างอิง
เครื่องคำนวณมูลค่าที่คาดหวัง (น). สืบค้นจากhttp://www.learningaboutelectronics.com/Articulos/Calculadora-de-valor-esperado.php
del Rio, AQ (2019, 4 กันยายน) 5.4 ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม | สถิติพื้นฐานที่ทำให้หวาน สืบค้นจากhttps://bookdown.org/aquintela/EBE/esperanza-matematica-de-una-variable-aleatoria.html
โลเปซ เจเอฟ (2021, 15 กุมภาพันธ์) ความหวังทางคณิตศาสตร์ สืบค้นจากhttps://economipedia.com/definiciones/esperanza-matematica.html
เมทโมบายล์. (2021, 1 มกราคม). ค่าเฉลี่ยหรือค่าคาดหวัง ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง | เสื่อเคลื่อนที่ สืบค้นจากhttps://matemovil.com/media-o-valor-esperado-varianza-y-desviacion-estandar-de-una-variable-aleatoria-continua/
เว็บสเตอร์, อ. (2544). สถิติประยุกต์กับธุรกิจและเศรษฐกิจ (ฉบับภาษาสเปน) . โตรอนโต แคนาดา: Irwin Professional Publishing
