เอกสิทธิ์ร่วมกัน – ความหมาย แอปพลิเคชัน และตัวอย่าง

คำจำกัดความของเหตุการณ์พิเศษที่เกิดขึ้นร่วมกันสามารถกำหนดได้หลายวิธี ในการเริ่มต้น มีการกล่าวว่าเหตุการณ์สองเหตุการณ์เกิดขึ้นร่วมกันหรือไม่ปะติดปะต่อหากการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งไม่รวมถึงความเป็นไปได้ของอีกเหตุการณ์หนึ่ง ซึ่งหมายความว่าเป็นเหตุการณ์ที่ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ ตัวอย่างเช่น เมื่อทอยลูกเต๋าเพียงครั้งเดียว ผลลัพธ์ของการตกลงบนหน้าใดหน้าหนึ่งในหกหน้า ไม่รวมการลงหน้าใดหน้าหนึ่งในห้าหน้าที่เหลือ ดังนั้นเหตุการณ์ที่ลงพื้น 4 และเหตุการณ์ลงพื้น เช่น 3 นั้นไม่เกิดร่วมกัน เนื่องจากลูกเต๋าไม่สามารถลงทั้ง 4 และ 3 พร้อมกันได้

ในทางกลับกัน ในด้านความน่าจะ เป็น มีการกล่าวว่าเหตุการณ์สองเหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้นร่วม กันตราบใดที่พวกเขาไม่แบ่งปันผลลัพธ์ซึ่งกันและกัน สิ่งนี้มาจากข้อเท็จจริงที่ว่า ในความน่าจะเป็น เหตุการณ์ถือเป็นชุดของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการทดสอบ เหตุการณ์ต่างๆ สามารถกำหนดได้ว่าแชร์หรือไม่แชร์ผลลัพธ์ และเหตุการณ์ที่ไม่แชร์ผลลัพธ์จะถือว่าแยกกันไม่ออก

ในศัพท์ทางคณิตศาสตร์ที่เป็นทางการมากขึ้น และใช้สัญกรณ์ทฤษฎีเซตเหตุการณ์ A และ B จะไม่เกิดร่วมกันหากจุดตัดของพวกมันคือเซตว่างนั่นคือ พวกมันไม่ตัดกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง A และ B จะไม่เกิดร่วมกันตราบเท่าที่ A ∩ B = Ø

เมื่อสองเหตุการณ์พิเศษร่วมกัน?

ในกรณีที่ตรรกะไม่ได้บอกเราล่วงหน้าว่าเหตุการณ์สองเหตุการณ์นั้นเกิดขึ้นร่วมกันหรือไม่ ทฤษฎีเซตและความน่าจะเป็นจะเป็นคำตอบ ต่อไปนี้เป็นสามวิธีง่ายๆ ในการพิจารณาโดยปราศจากข้อสงสัย เมื่อเหตุการณ์สองเหตุการณ์เกิดขึ้นร่วมกันหรือไม่เกิดขึ้นร่วมกัน

การสังเกตองค์ประกอบในแต่ละชุด

เมื่อเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์มีชุดขององค์ประกอบที่จำกัดและมีขนาดเล็ก เป็นเรื่องง่ายมากที่จะตัดสินว่าไม่ต่อเนื่องกันหรือไม่ เพียงแค่ตรวจสอบว่ามีองค์ประกอบที่เหมือนกันหรือไม่

ตัวอย่าง

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาการทดลองทอยลูกเต๋าสองลูกพร้อมกัน ทีนี้มากำหนดสองเหตุการณ์ต่อไปนี้:

• ให้ A เป็นเหตุการณ์ที่ผลรวมของลูกเต๋าสองลูกมากกว่าหรือเท่ากับ 10
• ให้ B เป็นเหตุการณ์ที่ผลรวมของลูกเต๋าสองลูกเท่ากับ 8

ง่ายต่อการพิจารณาว่าผลลัพธ์ใดรวมอยู่ในแต่ละเหตุการณ์ ในครั้งแรกเท่านั้น ผลลัพธ์ (5,5); (5,6) และ (6,6) ส่งผลให้ผลรวมมากกว่าหรือเท่ากับ 10 ในทางกลับกัน เฉพาะผลลัพธ์ (4,4) (5,3) และ (6,2) ให้ผลลัพธ์ 8 ตอนนี้เราสามารถเขียนโดยใช้สัญลักษณ์เชิงทฤษฎีเซต:

เนื่องจากไม่มีองค์ประกอบร่วมกัน จุดตัดจึงเป็นเซตว่าง ดังนั้นเหตุการณ์จึงไม่เกิดร่วมกัน

การใช้แผนภาพเวนน์

อีกวิธีง่ายๆ ในการพิจารณาว่าเหตุการณ์สองเหตุการณ์ไม่เกิดร่วมกันหรือไม่คือการแสดงเหตุการณ์เหล่านั้นในไดอะแกรมเวนน์ ในไดอะแกรมเหล่านี้ พื้นที่ตัวอย่างจะแสดงด้วยสี่เหลี่ยมผืนผ้า (หรือรูปร่างอื่นๆ) ในขณะที่เหตุการณ์ทั้งหมดจะแสดงเป็นพื้นที่ภายในของพื้นที่ตัวอย่าง

ในไดอะแกรมเวนน์ เหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกันจะรับรู้ได้ง่ายว่าเป็นพื้นที่เหล่านั้นภายในสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ไม่สัมผัสหรือทับซ้อนกัน

โดยความน่าจะเป็นของสหภาพ

ในบางกรณีไม่สามารถใช้สองวิธีข้างต้นได้ อีกทางเลือกหนึ่งในการตรวจสอบว่าเหตุการณ์ทั้งสองเกิดขึ้นพร้อมกันหรือไม่คือผ่านความน่าจะเป็น หากทราบความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ นั่นคือ P(A) และ P(B) ตลอดจนความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้น นั่นคือ P(AUB) เราจะรู้ว่าสองเหตุการณ์ ไม่ปะติดปะต่อ ถ้าสำเร็จว่า

อีกวิธีหนึ่งคือผ่านความน่าจะเป็นของทางแยก สองเหตุการณ์จะไม่เกิดร่วมกันตราบใดที่ P(A ∩ B) = 0

ตัวอย่างของเหตุการณ์พิเศษร่วมกัน

เหตุการณ์ที่เรียบง่ายมักจะไม่เกิดร่วมกัน

เหตุการณ์ธรรมดาคือเหตุการณ์ที่มีผลลัพธ์เดียว เมื่อทอยลูกเต๋า 6 ด้าน เหตุการณ์ที่ได้ 6 นั้นเป็นเหตุการณ์ที่ง่าย เพราะมันประกอบขึ้นจากผล 6 เท่านั้น ในทางกลับกัน เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแม้จะไม่ง่าย เนื่องจากเป็น ประกอบด้วยผลลัพธ์ 3 รายการ ได้แก่ 2, 4 และ 6

เหตุการณ์ง่ายๆ ทั้งหมดในการทดสอบจะไม่เกิดร่วมกันเสมอ

ตัวอย่าง

สมมติว่าการศึกษาระบุจำนวนผู้ชายที่เกิดต่อสัปดาห์ในโรงพยาบาล พื้นที่ตัวอย่างSสำหรับการทดลองนี้คือ

เหตุการณ์ง่ายๆ บางอย่างจะเป็น:

ดังที่เห็นได้ เนื่องจากไม่มีผลลัพธ์มากกว่าหนึ่งรายการและล้วนแตกต่างกัน จึงไม่มีเหตุการณ์ใดที่สามารถแบ่งปันองค์ประกอบกับเหตุการณ์อื่นได้ ดังนั้น เหตุการณ์เหล่านี้จะไม่เกิดขึ้นร่วมกันเสมอ

ทอยลูกเต๋าสามลูกพร้อมกัน

การโยนลูกเต๋าสามลูกพร้อมกันเป็นการทดลองที่สามารถให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันได้ 36 แบบ เนื่องจากลำดับของลูกเต๋าไม่สำคัญ: ผลลัพธ์ (1,2,3); (1,3,2); (2,1,3); (2,3,1); (3,1,2) และ (3,2,1) ทั้งหมดแสดงถึงผลลัพธ์เดียวกัน

ลองจินตนาการว่าเหตุการณ์สามเหตุการณ์ต่อไปนี้เกิดขึ้น:

• A = เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าทุกลูกให้ผลลัพธ์เหมือนกัน
• B = เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าสองลูกให้ผลลัพธ์เหมือนกัน
• C = เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าทุกลูกให้ผลลัพธ์ต่างกัน

ด้วยสามัญสำนึกเพียงอย่างเดียว สามารถสรุปได้ว่า A, B และ C เป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นร่วมกันทั้งหมด เนื่องจากหากลูกเต๋าทั้งหมดให้ผลลัพธ์เหมือนกัน (เหตุการณ์ A เกิดขึ้น) เป็นไปไม่ได้ที่มีเพียงสองลูกเท่านั้นที่จะเหมือนกันและแตกต่างกันอย่างใดอย่างหนึ่ง หรือ ซึ่งทั้งหมดจะแตกต่างกัน

เกมการ์ด

ลองนึกภาพการทดลองที่ไพ่สองใบสุ่มจากสำรับไพ่โป๊กเกอร์ 52 ใบ ตอนนี้มากำหนดเหตุการณ์ต่อไปนี้:

• A = วาดเฉพาะจุดสีแดง
• B = วาดเฉพาะจุดสีดำ

เหตุการณ์เหล่านี้ไม่เกิดร่วมกัน เนื่องจากหากไพ่เป็นสีแดงทั้งคู่ ไพ่ทั้งสองใบจะเป็นสีดำไม่ได้ และในทางกลับกัน

ตัวอย่างเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน

ทอยลูกเต๋าสามลูกพร้อมกัน

มาทำการทดลองลูกเต๋าสามลูกแบบเดียวกับที่อธิบายไว้ข้างต้น แต่ตอนนี้ให้กำหนดเหตุการณ์ต่อไปนี้:

• A = เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าทั้งหมดเท่ากัน = {(1,1,1); (2,2,2); (3,3,3);…}
• B = เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าทั้งหมดเป็นเลขคู่ = { (2,2,2); (2,2,4); (2,2,6)…}

เมื่อเปรียบเทียบองค์ประกอบภายใน A และ B จะเห็นได้ง่ายว่าจะมีการจับคู่ และจุดตัดของ A และ B จะเป็น:

เนื่องจากจุดตัดไม่ใช่เซตว่าง เหตุการณ์เหล่านี้จึงไม่ต่อเนื่องกัน

เกมการ์ด

ทำซ้ำการทดลองจั่วไพ่สองใบจากสำรับเดียวกัน ให้เราพิจารณาเหตุการณ์ใหม่ต่อไปนี้:

• A = ไพ่อย่างน้อยหนึ่งใบเป็นโพแดง
• B = ไพ่อย่างน้อยหนึ่งใบเป็นราชา

ในกรณีนี้ เมื่อใดก็ตามที่มีการจั่วไพ่ King of Hearts A และ B จะเกิดขึ้นพร้อมกัน อันที่จริง นี่ไม่ใช่ผลลัพธ์เดียวที่เกิดขึ้น เนื่องจากหากมีการจั่วไพ่ King of Spades และ Ace of Hearts A และ B ก็จะเกิดขึ้นพร้อมกันด้วย ดังนั้น A และ B จึงไม่ใช่เหตุการณ์ที่เกิดร่วมกัน

ความสำคัญและการประยุกต์ใช้เหตุการณ์พิเศษร่วมกัน

ในวิชาคณิตศาสตร์ การคำนวณความน่าจะเป็นของหลายเหตุการณ์ขึ้นอยู่กับระดับที่ดีว่าเหตุการณ์เหล่านั้นจะไม่เกิดร่วมกันหรือไม่ ตัวอย่างเช่น สัจพจน์ของความน่าจะเป็นข้อหนึ่งระบุว่าความน่าจะเป็นแบบรวมของหลายเหตุการณ์จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ ก็ต่อเมื่อเหตุการณ์ทั้งหมดไม่เกิดร่วมกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง

เฉพาะเมื่อ A และ B เป็นเหตุการณ์ที่ไม่ปะติดปะต่อกันหรือเกิดขึ้นร่วมกันเท่านั้น

หากไม่เกิดร่วมกัน ผลรวมของความน่าจะเป็นจะนับเป็นสองเท่าของความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ทั่วไปของทั้งสองเหตุการณ์ กล่าวคือ ความน่าจะเป็นของการตัดกัน ด้วยเหตุผลนี้ ในกรณีเหล่านี้ ความน่าจะเป็นแบบรวมจึงคำนวณด้วยวิธีอื่น:

สำหรับสามเหตุการณ์ A, B และ C ที่ไม่ได้เกิดขึ้นร่วมกันและยังตัดกันอีกด้วย สิ่งต่างๆ จะยิ่งซับซ้อนมากขึ้นไปอีก:

ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นของการตัดกันของเหตุการณ์ทั้งสาม, P( A ∩ B ∩ C)จะต้องเพิ่มไว้หลังสุด เนื่องจากมันถูกลบออกสามครั้งโดยการลบจุดตัดของคู่เหตุการณ์ต่างๆ