วิธีคำนวณความแปรปรวนของการแจกแจงปัวซอง

ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มเป็นตัววัดการแพร่กระจายรอบค่าเฉลี่ย ซึ่งหมายความว่าเป็นปริมาณที่ระบุการกระจายเฉลี่ยของค่าของตัวแปรดังกล่าวทั้งสองด้านของค่าเฉลี่ยหรือความกว้างของการแจกแจงความน่าจะเป็น พารามิเตอร์นี้เป็นปริมาณที่สำคัญสำหรับตัวแปรสุ่มใดๆ โดยไม่คำนึงถึงการแจกแจงความน่าจะเป็น

ในทางกลับกันการ แจกแจงแบบปัวซองเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องที่ทำหน้าที่จำลองความถี่ที่เหตุการณ์แบบไม่ต่อเนื่องเกิดขึ้นภายในช่วงเวลาหนึ่งแม้ว่าจะสามารถอ้างถึงโดยสัมพันธ์กับตัวแปรต่อเนื่องอื่นๆ เช่น ความยาวของเส้นลวด พื้นผิว ฯลฯ

การกระจายปัวซองมีความสำคัญอย่างยิ่ง เนื่องจากช่วยให้กระบวนการสร้างแบบจำลองเป็นรายวันตามจำนวนคนที่เข้าแถวที่สำนักงานขายตั๋วของตู้ ATM ตลอดจนกระบวนการที่ซับซ้อนพอๆ กับจำนวนการสลายตัวของสารกัมมันตรังสีในช่วงเวลาที่กำหนด จากตัวอย่างกากนิวเคลียร์

นิยามทางคณิตศาสตร์ของการแจกแจงปัวซอง

ตัวแปรสุ่ม X เป็นไปตามการแจกแจงปัวซอง ถ้าฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นหรือ PMF มีรูปแบบดังต่อไปนี้:

ในสูตรλเป็นพารามิเตอร์ที่เป็นบวกเสมอของการแจกแจง และxแทนค่าต่างๆ ที่ตัวแปรสุ่มสามารถใช้ได้ ในกระบวนการปัวซอง พารามิเตอร์λโดยทั่วไปแสดงถึงความเร็วหรือความถี่ต่อหน่วยเวลา ต่อหน่วยพื้นที่ และอื่นๆ

ดังที่เราจะแสดงในภายหลังλคือค่าเฉลี่ยของการแจกแจงแบบปัวซอง และความแปรปรวนของมัน

ตอนนี้เรารู้แล้วว่าฟังก์ชันการแจกแจงนี้คืออะไรและมีไว้เพื่ออะไร เรามาดูคำจำกัดความที่เป็นทางการมากขึ้นของความแปรปรวน วิธีทั่วไปในการคำนวณ และสุดท้าย วิธีคำนวณความแปรปรวนในกรณีเฉพาะของการแจกแจงปัวซอง

ความแปรปรวนคืออะไร?

ในทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม X ซึ่งแสดงไว้ในสถิติโดยVar(X)สอดคล้องกับค่าที่คาดหวังของกำลังสองของความเบี่ยงเบนของตัวแปรดังกล่าวจากค่าเฉลี่ย ซึ่งแสดงด้วยสูตรต่อไปนี้:

แม้ว่าคำจำกัดความก่อนหน้านี้สามารถใช้ในการคำนวณความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มใดๆ ได้ แต่ก็สามารถคำนวณได้ง่ายขึ้นโดยใช้โมเมนต์ธรรมดาที่หนึ่งและที่สอง หรือโมเมนต์รอบจุดกำเนิด (ม.1 , ม_. 2 ₎ดังนี้

วิธีคำนวณความแปรปรวนนี้สะดวกกว่าวิธีแรก ดังนั้นจะเป็นวิธีที่เราจะใช้ในบทความนี้เพื่อคำนวณความแปรปรวนของการแจกแจงปัวซอง

การคำนวณความแปรปรวนของการแจกแจงปัวซอง

การคำนวณค่าเฉลี่ยหรือโมเมนต์ธรรมดาแรก

ขอให้เราจำไว้ว่า สำหรับการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องใด ๆ ค่าเฉลี่ยหรือความคาดหวังของ X สามารถกำหนดได้โดยใช้นิพจน์ต่อไปนี้ ซึ่งกำหนดช่วงเวลาแรก:

เราสามารถหาผลรวมนี้ได้ตั้งแต่ x=1 เป็นต้นไป เนื่องจากเทอมแรกเป็นศูนย์ นอกจากนี้ ถ้าเราคูณและหารทุกอย่างด้วยλและแทนที่x!/xด้วย(x-1)! เราได้รับ:

นิพจน์นี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้โดยทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรy = x – 1 , ปล่อย:

ฟังก์ชันภายในผลรวมเป็นฟังก์ชันความน่าจะเป็นแบบปัวซอง ซึ่งตามนิยามแล้ว เป็นผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดตั้งแต่ศูนย์ถึงอนันต์ของฟังก์ชันความน่าจะเป็นใดๆ ที่ต้องเท่ากับ 1

เรามีโมเมนต์แรกหรือค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันปัวซองแล้ว ตอนนี้เราจะใช้ผลลัพธ์นี้และความคาดหวังของกำลังสองของXเพื่อหาค่าความแปรปรวน

การคำนวณโมเมนต์ธรรมดาที่สอง

ช่วงเวลาที่สองกำหนดโดย:

เราสามารถใช้เคล็ดลับเล็กๆ น้อยๆ ในการแก้ผลรวมนี้ซึ่งประกอบด้วยการแทนที่x ² ด้วยx(x-1)+x:

เมื่อเราใช้ผลลัพธ์ก่อนหน้าในเทอมที่สองของการบวก เราคูณและหารด้วยλ ²เพื่อให้ได้เลขชี้กำลังλ ^x-2และเราใช้การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรy = x – 2

ตอนนี้ สิ่งที่เหลืออยู่คือการแทนที่ช่วงเวลาทั้งสองนี้ในสูตรสำหรับความแปรปรวน และเราจะได้ผลลัพธ์ตามที่คาดไว้:

อ้างอิง

Devore, J. (2021). ความน่าจะเป็นและสถิติสำหรับวิศวกรรมศาสตร์และวิทยาศาสตร์ การเรียนรู้แบบ CENGAGE

Rodó, P. (2020, 4 พฤศจิกายน). การกระจายปัวซอง อีโคโนมิพีเดีย. https://economipedia.com/definiciones/distribucion-de-poisson.html

UNAM [หลุยส์ รินกอน]. (2556, 16 ธันวาคม). 0625 การกระจายปัวซอง [วิดีโอ]. ยูทูบ. https://www.youtube.com/watch?v=y_dOx8FhHpQ