Tabla de Contenidos
การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงแกมมา เป็นการแจกแจงแบบต่อเนื่องที่ใช้เพื่ออธิบายการแจกแจงความน่าจะเป็นของเวลาที่ผ่านไประหว่างเหตุการณ์ในกระบวนการปัวซอง นี่หมายถึงกระบวนการที่เหตุการณ์ต่างๆ เกิดขึ้นอย่างต่อเนื่องและเป็นอิสระจากกัน แต่มีความถี่เฉลี่ยคงที่
การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลเป็นไปตามฟังก์ชันความน่าจะเป็นต่อไปนี้:
โดยที่Xเป็นตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องและแลมบ์ดา ( λ ) เป็นพารามิเตอร์ลักษณะเฉพาะของการแจกแจงแต่ละรายการ รูปต่อไปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันการแจกแจงนี้สำหรับค่าต่างๆ ของ λ
ดังที่เห็นได้ ฟังก์ชันนี้จะสลายตัวแบบทวีคูณจากค่าเริ่มต้นเท่ากับ λ และเข้าใกล้ศูนย์โดยไม่กำหนดเส้นกำกับเมื่อ x เพิ่มขึ้น
ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันการแจกแจงนี้กำหนดโดย μ = 1/ λ และความแปรปรวนของมันคือ σ 2 = (1/ λ) 2 ส่วนต่อไปนี้แสดงวิธีการคำนวณค่ามัธยฐาน
ความสำคัญของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล
ดังที่กล่าวไว้ในตอนต้น การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลสามารถนำไปใช้กับระบบใดๆ ที่เป็นไปตามกระบวนการปัวซอง ซึ่งหมายความว่าทำหน้าที่อธิบายช่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์ต่างๆ เช่น ลูกค้ามาถึงสถานบริการ ช่วงเวลาระหว่างความล้มเหลวของระบบหรือส่วนประกอบอิเล็กทรอนิกส์ และความอยู่รอดของสิ่งมีชีวิต
ค่ามัธยฐานคืออะไร?
ก่อนที่เราจะดำเนินการคำนวณค่ามัธยฐาน เราต้องเข้าใจว่ามันคืออะไร ค่ามัธยฐานของการแจกแจงความน่าจะเป็นจะสอดคล้องกับค่าของตัวแปรสุ่มที่แบ่งการกระจายออกเป็นสองส่วน ในกรณีของตัวแปรที่ไม่ต่อเนื่อง หมายถึงการปล่อยให้ค่ามัธยฐานเท่ากันทั้งสองด้าน สำหรับฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันการกระจายแบบต่อเนื่องอื่นๆ ค่ามัธยฐานคือจุดที่ออกจากพื้นที่เดียวกันภายใต้เส้นโค้งความหนาแน่นของความน่าจะเป็นทั้งสองด้าน
วิธีดูค่ามัธยฐานที่ใช้ได้จริงอีกวิธีหนึ่ง ซึ่งเราจะใช้เพื่อค้นหาค่ามัธยฐานในบทความนี้ คือค่ามัธยฐานสอดคล้องกับจุดที่ฟังก์ชันการแจกแจงมีค่าเท่ากับ 0.5 นั่นคือมันสอดคล้องกับคำตอบของสมการต่อไปนี้:
การคำนวณค่ามัธยฐานของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล
ในการหาค่ามัธยฐานของการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล เราจะใช้ฟังก์ชันการแจกแจงและหาค่าของตัวแปรสุ่มซึ่งฟังก์ชันการแจกแจงมีค่าเป็น 0.5 ตามที่อธิบายไว้ในส่วนก่อนหน้า กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราจะบอกว่าค่ามัธยฐาน (Me) คือค่าของตัวแปรสุ่ม x ซึ่งตรวจสอบว่า:
สิ่งที่เราต้องทำตอนนี้คือเสียบไฟล์ pdf ( f(x) ) ที่สอดคล้องกับการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลและรวมเข้าด้วยกัน:
โดยที่เราใช้นิยามแบบแยกส่วนของฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็น ซึ่งมีค่าเป็นศูนย์สำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปรสุ่มที่น้อยกว่าหรือเท่ากับศูนย์ นี่เป็นอินทิกรัลง่ายๆ:
ตอนนี้ เราตั้งค่าเท่ากับ ½ และเราแก้สมการเพื่อหาค่ามัธยฐาน Me
ในที่สุด มันถูกจัดเรียงใหม่ ลอการิทึมธรรมชาติถูกนำมาใช้กับทั้งสมาชิกและฉันจะถูกล้าง:
ดังนั้นค่ามัธยฐานของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลจะได้รับจาก ln2/λ
อคติของการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล
หากเราเปรียบเทียบค่ามัธยฐานที่เราเพิ่งได้รับ ln2/λ กับค่ามัธยฐานของการแจกแจงนี้ที่เรากล่าวถึงในตอนต้น 1/λ เราจะรู้ได้อย่างรวดเร็วว่าค่ามัธยฐานน้อยกว่าค่าเฉลี่ย เนื่องจาก ln2 เป็นจำนวนที่น้อยกว่า 1
เมื่อใดก็ตามที่ค่าเฉลี่ยไม่ตรงกับค่ามัธยฐาน การกระจายจะถูกกล่าวว่าเบ้ เนื่องจากในกรณีนี้ ค่าเฉลี่ยจะมากกว่าค่ามัธยฐานจึงกล่าวได้ว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังเบ้ไปทางขวา
เนื่องจากค่ามัธยฐานเป็นตัวชี้วัดของแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางที่ไวต่อค่ามากน้อยกว่าค่าเฉลี่ย ในกรณีเช่นนี้ที่พิจารณาว่ามีอคติอยู่ จึงแนะนำให้ใช้ค่ามัธยฐานเพื่อแสดงแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางนั้น
อ้างอิง
เลสคานาริส. (น). วิธีคำนวณค่ามัธยฐานของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล – น่าสนใจ – 2021 สืบค้นจากhttps://us.leskanaris.com/2916-exponential-distribution-medians.html
ไลฟ์แฮ็ค (2561). วิธีคำนวณค่ามัธยฐานของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล – ปี 2021 สืบค้นจากhttps://esp.lifehackk.com/14-calculate-the-median-of-exponential-distribution-3126442-7366
คณิตศาสตร์อย่างง่าย (2564, 6 กันยายน). ค่ามัธยฐาน – การกระจายแบบเลขชี้กำลัง [ไฟล์วิดีโอ] กู้คืนจากhttps://www.youtube.com/watch?v=0s3h1Tfysog
Mtz De Lejarza E., J. และ Mtz De Lejarza E., I. (1999) การกระจายแบบเลขชี้กำลัง สืบค้นจากhttps://www.uv.es/ceaces/base/modelos%20de%20probabilidad/exponencial.htm
