Tabla de Contenidos
ตรรกศาสตร์เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ และส่วนหนึ่งของมันคือทฤษฎีเซต กฎของเดอมอร์แกนเป็นสองสมมติฐานเกี่ยวกับปฏิสัมพันธ์ระหว่างเซต กฎหมายเหล่านี้บันทึกมาก่อนในอริสโตเติลและวิลเลียมแห่งออคแฮม ออกุสตุส เดอ มอร์แกนมีชีวิตอยู่ระหว่างปี 1806 ถึง 1871 และเป็นคนแรกที่รวมกฎที่เขาตั้งสมมุติฐานไว้ในโครงสร้างที่เป็นทางการของตรรกะทางคณิตศาสตร์
ตัวดำเนินการในทฤษฎีเซต
ก่อนที่จะไปยังสมมติฐานของ De Morgan เรามาดูคำจำกัดความของทฤษฎีเซตกันก่อน
ถ้ามีชุดขององค์ประกอบสองชุด ซึ่งเราจะเรียกว่า A และ B จุดตัด ของสองชุดนี้คือชุดขององค์ประกอบร่วมของทั้งสองชุด จุดตัดของสองเซตแสดงด้วยสัญลักษณ์ ∩ และเป็นอีกเซตที่เราเรียกว่า C ได้ C = A∩B และ C คือชุดขององค์ประกอบที่ปรากฏทั้งในกลุ่ม A และกลุ่ม B ในทำนองเดียวกัน การรวมกันระหว่างสอง ชุด A และ B คือชุดใหม่ที่มีองค์ประกอบทั้งหมดของ A และ B และมันถูกบันทึกด้วย สัญลักษณ์ U เซต C ซึ่งเป็นยูเนียนของ A และ B, C = AUB เป็นเซตที่รวมเข้ากับสมาชิกทั้งหมดของ A และ B นิยามที่สามที่เราต้องจำไว้คือส่วนเติมเต็มของเซต: ถ้าเรามีจักรวาลขององค์ประกอบบางอย่างและเซต A ของจักรวาลนี้ คอมพลีเมนต์ของ A คือเซตขององค์ประกอบของจักรวาลนั้นที่ไม่อยู่ในเซต A เซตเสริมของ A จะแสดงเป็นAC
ตัวดำเนินการทั้งสามระหว่างชุดสามารถสรุปเป็นการดำเนินการระหว่างหลายชุดได้ นั่นคือ การตัดกัน การรวมกัน และการประกอบของหลายชุด ลองดูตัวอย่างง่ายๆ รูปต่อไปนี้แสดงไดอะแกรมเวนน์ของสามชุด: นก แทนด้วยนกแก้ว นกกระจอกเทศ เป็ด และเพนกวิน; สิ่งมีชีวิตที่บินได้ ซึ่งแสดงโดยนกแก้ว เป็ด ผีเสื้อ และปลาที่บินได้ และสิ่งมีชีวิตที่ว่ายน้ำ ซึ่งแสดงโดยเป็ด นกเพนกวิน ปลาบิน และปลาวาฬ เป็ดเป็นชุดที่ตัดกันของชุดสามชุด ชุดนกและสิ่งมีชีวิตที่บินได้ประกอบด้วยนกกระจอกเทศ นกแก้ว ผีเสื้อ เป็ด นกเพนกวิน และปลาบิน และส่วนประกอบของสิ่งมีชีวิตที่บินได้และที่ว่ายน้ำคือชุดที่มีนกกระจอกเทศ
กฎของเดอ มอร์แกน
ตอนนี้เราสามารถเห็นสัจพจน์ของกฎของ De Morgan สมมุติฐานแรกกล่าวว่าส่วนเติมเต็มของจุดตัดของเซต A และ B เท่ากับเซตยูเนี่ยนของส่วนเติมเต็มของ A และส่วนเติมเต็มของ B การใช้ตัวดำเนินการที่กำหนดไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า สามารถเขียนกฎข้อที่หนึ่งของเดอมอร์แกนได้ ด้วยวิธีดังต่อไปนี้:
(A∩B) C = AC UB C
กฎข้อที่สองของเดอ มอร์แกนตั้งสมมุติฐานว่าส่วนเติมเต็มของเซตร่วมของ A และ B เท่ากับจุดตัดของเซตเสริมของ A กับเซตเสริมของ B และมีข้อสังเกตดังต่อไปนี้:
(AUB) C = AC ∩ BC
มาดูตัวอย่างกัน พิจารณาชุดของจำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง 5 ซึ่งแสดงเป็น [0,1,2,3,4,5] ในจักรวาลนี้ เรานิยามชุด A และ B สองชุด A คือชุดของตัวเลข 1, 2 และ 3; ก = [1,2,3]. YB คือชุดของตัวเลข 2, 3 และ 4; B = [2,3,4]. กฎข้อแรกของ De Morgan จะใช้ดังนี้
ก = [1,2,3]; ข = [2,3,4]
กฎข้อที่หนึ่งของเดอ มอร์แกน: (A∩B) C = AC UB C
(A∩B) ค
A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]
(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]
เอซี ยูบีซี
AC = [1,2,3] C = [0,4,5]
บีค = [2,3,4] ค = [0,1,5]
AC UB C = [0,4,5 ] U[0,1,5] = [0,1,4,5]
ผลของการใช้ตัวดำเนินการทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันแสดงให้เห็นว่ากฎข้อแรกของ De Morgan ได้รับการตรวจสอบแล้ว ให้เราดูการประยุกต์ใช้ตัวอย่างกับสมมุติฐานที่สอง
กฎข้อที่สองของ De Morgan: (AUB) C = AC ∩ BC
(อ.บ.) ค
AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]
(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]
A C ∩ B C
AC = [1,2,3] C = [0,4,5]
บีค = [2,3,4] ค = [0,1,5]
AC ∩ BC = [0,4,5]∩[0,1,5] = [ 0,5]
เช่นเดียวกับสัจพจน์แรก กฎข้อที่สองของเดอ มอร์แกนก็นำไปใช้ในตัวอย่างที่ให้มาเช่นกัน
แหล่งที่มา
เอจี แฮมิลตัน ตรรกะสำหรับนักคณิตศาสตร์ บทบรรณาธิการ Paraninfo, Madrid, 1981
คาร์ลอส อิวอร์รา กาสติโย ตรรกศาสตร์และทฤษฎีเซต . เข้าถึงพฤศจิกายน 2021
