Tabla de Contenidos
I matematik är primtal ett av de vanligaste ämnena när man studerar heltal. Eftersom primtal är oändliga är en intressant övning att öva med dem att ta reda på hur stor sannolikheten är att ett slumpmässigt valt tal från 1 till X är ett primtal.
Vad är primtal
Primtal är de som bara är delbara med 1 och med sig själva, det vill säga med talet i fråga. Det betyder att när de divideras med något annat tal ger resultatet inte ett heltal. Det anses också att det finns ett oändligt antal primtal.
Till skillnad från primtal är sammansatta tal de som kan delas med 1, med sig själva och med andra tal.
Talet 1 betraktas inte som ett primtal, och det är inte heller ett sammansatt tal.
Primtal och Eratosthenessikten
För att snabbt hitta alla primtal skapade den grekiske matematikern Eratosthenes (3:e århundradet f.Kr.) ett snabbt sätt att få upp alla primtal till ett visst tal. Denna metod är känd som ”Eratosthenes sikt”.
Eratosthenes Sieve är en algoritm som gör det möjligt att känna till alla primtal som är mindre än ett givet naturligt tal. För att göra detta skapas en tabell med alla naturliga tal mellan 2 och det valda talet (n). I det här exemplet är n 100.
Sedan stryks de tal som inte är primtal över. Börja först med 2 och stryk över alla dess multipler. När ett okrossat tal hittas, stryks alla dess multipler över, och så vidare. Denna procedur slutar när kvadraten på nästa tal som bekräftas som primtal erhålls som är större än ”n”.
Med Eratosthenes-sikten får vi 25 primtal mellan 0 och 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 , 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Andra exempel på primtal
Andra exempel på primtal mellan 100 och 1000 är: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 171, 173, 173, 173, 173, 191, 173 , 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293. 349 , 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449. 499 , 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613. 659 , 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773. 829 , 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9 och 9.
primtalsproblem
Som nästan alltid är fallet i matematik är det bästa sättet att förstå hur primtal beräknas att lösa problem. Låt oss nu se ett enkelt problem för att veta med vilken sannolikhet vi kan välja ett primtal.
Först kommer vi att välja ett positivt heltal, som kan vara 1, 2, 3, etc., upp till ett visst antal X. Sedan måste vi slumpmässigt välja ett av dessa tal. Det betyder att alla X-tal har sannolikheter att bli valda.
Lösningen på detta problem är enkel för nummer X som är låga. Problemet löses genom att följa dessa steg:
- Första steget:
- Räkna antalet primtal som är mindre än eller lika med X.
- Andra steg:
- Dividera antalet primtal mindre än eller lika med X med själva talet X. Det vill säga om vi vill veta sannolikheten för att välja ett visst primtal från 1 till 10 måste vi dividera antalet primtal med 10.
Till exempel, för att hitta sannolikheten att ett primtal från 1 till 10 väljs måste vi dividera antalet primtal med 10. Eftersom det finns 4 primtal från 1 till 10: 2, 3, 5, 7, är sannolikheten att välja en primtal är: 4/10 = 0,4, det vill säga 40 %.
På samma sätt, om vi vill veta vad sannolikheterna är för att ett primtal från 1 till 50 väljs, kan de föregående stegen utföras. Vi räknar primtalen mindre än 50, som är 15: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 och 47. Och vi dividerar detta belopp med 50:15/50 = 0,3, det vill säga 30%. Därför finns det en 30 % chans att välja ett primtal från 1 till 50.
Vad är primtalssatsen
Ett annat sätt att känna till primtalen upp till ett visst tal och beräkna sannolikheten för att välja ett av dem är att använda primtalssatsen . Denna sats uttalades av den tyske matematikern Gauss under 1700-talet och demonstrerades nästan ett sekel senare av andra matematiker, som fransmannen Jacques Hadamard och belgaren Charles-Jean de la Vallée Poussin.
Primtalssatsen säger att det finns ungefär X / ln(X) av primtal som är mindre än eller lika med X. I detta påstående:
- ln(X): är den naturliga logaritmen av X.
- X: är talet upp till vilket vi vill veta primtalen.
När värdet på X ökar, minskar det relativa felet mellan antalet primtal mindre än X och påståendet X / In(X).
Hur man tillämpar primtalssatsen
Med primtalssatsen kan vi lösa problem som liknar det föregående, speciellt om vi vill veta primtalen bland större mängder tal.
Genom primtalssatsen vet vi att det finns ungefär X/ln(X) primtal som är mindre än eller lika med X. Dessutom finns det totalt X positiva heltal mindre än eller lika med X. Därför är sannolikheten att ett slumpmässigt valt tal i detta intervall är primtal är: ( X / ln(X) ) / X = X / ( ln(X) . X ) = 1 / ln(X).
Till exempel kan vi använda det resultatet för att beräkna, ungefär, sannolikheten för att slumpmässigt välja ett primtal bland de första miljoner heltalen.
För att göra detta måste vi beräkna den naturliga logaritmen för en miljon. Därför har vi:
P(1 000 000) = (X/ln(X) / X = 1 / ln(X)
P(1 000 000) = 1 / ln(1 000 000)
Så vi får ln(1 000 000) = 13,8155 och 1 / ln(1 000 000) är ungefär 0,07238. Därför har vi ungefär 7,238 % chans att slumpmässigt välja ett primtal från de första miljoner heltal.
Bibliografi
- López Mateos, M. Grundläggande matematik. (2017). Spanien. Skapa utrymme.
- dk. Matematikboken. (2020). Spanien. dk.
- Gracian, E. Primtal: en lång väg till oändligheten. (2010). Spanien. RBA-böcker.
