Matematik

Lutningsskärningsformen för den linjära ekvationen

11/08/2021

Tabla de Contenidos

Lutningsskärningsformen för en ekvation av första graden är ett sätt att uttrycka den ekvationen i form av ekvationen för en rät linje . Med andra ord uttrycks det med samma matematiska form som en funktion som, när den ritas i ett kartesiskt koordinatsystem, resulterar i en rät linje. En linjär ekvation uttryckt på detta sätt har följande matematiska form:

Som man kan se kännetecknas detta sätt att representera linjära ekvationer av att ha variabeln som vi vanligtvis betraktar som den beroende variabeln (i de flesta fall och även om detta kan variera) isolerad i en av ekvationens medlemmar (vanligtvis till vänster) med koefficient 1; medan den andra medlemmen är sammansatt av en term som innehåller den oberoende variabeln (vanligtvis x ) och en oberoende term.

Tolkning av den linjära ekvationen i lutningsskärningsform

När den uttrycks på detta sätt representerar koefficienten för den oberoende variabeln, i detta fall m , lutningen på linjen när denna ekvation är ritad i ett kartesiskt koordinatsystem.

Å andra sidan indikerar den oberoende termen, i detta fall b , den punkt där linjen skär eller skär ordinataaxeln eller y-axeln, som visas i följande graf. Det är just därför det kallas slope-intercept form.

Lutningstolkning

Lutningen ( m ) indikerar hur mycket värdet på y för en punkt på linjen ändras genom att öka värdet på x med en enhet , så den representerar linjens lutning. Detta värde kan vara vilket rationellt tal som helst, både positivt och negativt. Det finns tre möjliga värdeintervall som tolkas olika:

En positiv lutning (m>0) indikerar att linjen går uppåt när vi rör oss från vänster till höger på grafen.
När den oberoende variabeltermen inte förekommer (det vill säga när det inte finns något x i ekvationen) betyder det att lutningen är noll (m=0). I detta fall är linjen horisontell eller parallell med abskissaxeln (x-axeln).
När lutningen är negativ (m<o) går linjen nedåt när vi rör oss från vänster till höger på grafen.

Tolkning av korsningen

Den oberoende termen, b , representerar skärningspunkten för linjen med ordinataaxeln, det vill säga med y-axeln i det kartesiska koordinatsystemet. I de fall där det inte finns någon oberoende term, är det underförstått att dess värde är noll (b=0) så att linjen passerar genom koordinatsystemets ursprung.

Specialfall av ekvationen för en linje i form av lutningsavsnitt

Fall 1: y = b

När ekvationen har den tidigare formen, det vill säga när termen för den oberoende variabeln inte visas, förstås det att lutningen är noll och att ekvationen därför representerar en horisontell linje som går genom punkten (0;b) ).

Fall 2: y = mx

När det inte finns någon oberoende term betyder det att dess värde är noll, och därför skär den y-axeln vid 0. Det betyder att linjen går genom origo för koordinatsystemet.

Fall 3: 0 = mx + b

sluttningsskärningsform med odefinierad lutning

I det här fallet består den av en vertikal linje (parallell med y-axeln) som skär abskissaxeln (eller x-axeln) i punkten x = – b/m, som visas i föregående graf.

Detta är en ovanlig form av ekvationen för en linje där koefficienten m och den oberoende termen b förlorar sin normala betydelse. En vertikal linje har en odefinierad lutning, det vill säga dess lutning existerar inte. Det är inte detsamma som att säga att dess lutning är noll.

Å andra sidan, eftersom det är en vertikal linje parallell med y-axeln, skär den aldrig den axeln. Därför indikerar den oberoende termen, b, inte längre korsningen som den gjorde i de tidigare fallen.

Fördelar med lutningsskärningsformen

Jämfört med andra sätt att representera linjära ekvationer har lutningsskärningsformen följande fördelar:

Returnerar omedelbart värdena för lutningen och linjens y-avsnitt.
Ovanstående gör det möjligt att på ett mycket enkelt och snabbt sätt visualisera grafen för en linjär ekvation i ett kartesiskt koordinatsystem.
Genom att ange värdet på lutningen kan du snabbt beräkna vinkeln som linjen gör med x-axeln med hjälp av tangenten.
Det låter dig snabbt veta om två linjer är parallella med varandra eller inte, helt enkelt genom att jämföra deras sluttningar.
Det låter dig snabbt avgöra om två linjer är vinkelräta mot varandra eller inte.
Bara att titta på formen på ekvationen låter oss omedelbart veta om det är en ökande, minskande, horisontell eller vertikal linje.
Låter dig beräkna y-koordinaten för valfri punkt på linjen givet dess x-värde i ett steg.
Det underlättar substitutionsmetoden för att lösa system med linjära ekvationer för två variabler eftersom ekvationen redan är löst för en av dem (y).

Steg för att omvandla standardform till sluttningsskärningsform

Förutom lutningsskärningsformen kan ekvationen för en linje också representeras på andra sätt, varav den viktigaste är standardformen:

I detta fall är koefficienterna A, B och C heltal. När du har en ekvation uttryckt på detta sätt och du vill skriva den i lutningsskärningsform, behöver du bara följa följande steg:

Steg 1: Axe subtraheras från båda sidor av ekvationen.

Steg 2: alla koefficienter och den oberoende termen divideras med koefficienten B (inklusive dess tecken).

Steg 3: Om möjligt, förenkla eventuell bråkdel som uppstod från divisionen.

Exempel på transformation från standardform till lutningsskärningsform

Exempel 1: 3x + 2y = 4

Steg 1:

Steg 2:

Steg 3:

Som du kan se motsvarar denna ekvation en fallande linje som skär y-axeln vid 2.

Exempel 2: x – 4y = 6