Tabla de Contenidos
Tal har olika egenskaper och kan klassificeras i olika grupper. En av dessa grupper, med breda tillämpningar inom olika grenar av matematiken, är de reella talen. För att förstå dem bättre, låt oss först se vad de olika typerna av siffror är.
Siffrorna
Det första vi lär oss om siffror är hur man använder dem för att räkna; vi börjar med att matcha dem med fingrarna för att göra enkla operationer. Således är våra tio fingrar basen i decimalsystemet. Därifrån räknar vi mängder så stora vi kan och noterar att siffrorna är oändliga. Och så, genom att lägga till noll (0) när vi inte har något att räkna, bildas de naturliga talen.
Med de naturliga talen gör vi aritmetiska operationer och när vi subtraherar ett annat tal från ett tal måste vi introducera de negativa talen. Så, om vi lägger till de negativa talen till de naturliga, får vi mängden heltal.
Bland de aritmetiska operationer vi utför med tal är division. Och vi finner att det finns fall där resultatet inte är ett heltal när man dividerar ett tal med ett annat; I många fall kan detta divisionsresultat endast representeras korrekt av själva divisionsuttrycket, det vill säga ett bråk. Så är uppsättningen rationella tal uppbyggd, där alla tal skrivs som bråk och heltalen har talet 1 som nämnare.
Det var de gamla civilisationerna som observerade att det fanns tal som inte kunde representeras som bråk. När man arbetade med geometriska figurer hittade man talet pi, förhållandet mellan radien och längden på en cirkel, ett tal som inte kan uttryckas som kvoten mellan två heltal. Det är också fallet med kvadratroten av talet 2 (det vill säga talet som multiplicerat med sig självt skulle ge talet 2 som ett resultat). Och det finns många tal som dyker upp i olika kunskapsgrenar som inte ingår i mängden rationella tal. Dessa tal, som inte kan representeras exakt som kvoten av två heltal, kallas irrationella tal. Mängden rationella och irrationella tal utgör alltså mängden reella tal.
De reella talen är en del av en ännu större uppsättning tal: de komplexa talen. Denna förlängning av mängden reella tal uppstår när vi vill beräkna kvadratroten ur ett negativt tal; Eftersom produkten av två negativa tal alltid är positiv, finns det inget reellt tal som multiplicerat med sig självt är negativt. Då definieras det imaginära talet i , som representerar kvadratroten ur -1, och mängden komplexa tal uppstår.
decimal representation
Alla tal kan uttryckas i decimalform; Till exempel kan det rationella talet 1/2 uttryckas i decimalform som 0,5. Till skillnad från det rationella talet 1/2, som exakt kan representeras av en enda decimal, har andra rationella tal ett oändligt antal decimaler och inteDe kan uttryckas exakt med decimalrepresentationen. Detta är fallet med siffran 1/3; Dess decimalrepresentation är 0,33333…, med ett oändligt antal decimaler. Dessa rationella tal kallas periodiska decimaltal, eftersom det i alla fall finns en talföljd som upprepas oändligt många gånger. I fallet med talet 1/3 är den sekvensen 3; i fallet med talet 1/7 är dess decimalform 0,1428571428571… och sekvensen som upprepas oändligt är 142857. Irrationella tal är inte periodiska decimaltal; det finns ingen sekvens som upprepas oändligt många gånger i sin decimalrepresentation.
Visuell representation
De reella talen kan visualiseras genom att associera var och en av dem till en av de oändligt många punkterna längs en rät linje, som visas i figuren. I denna grafiska representation finns talet pi, vars värde är ungefär 3,1416, talet e , vilket är ungefär 2,7183, och kvadratroten av talet 2, ungefär 1,4142. Från talet 0 till höger ligger de positiva reella talen i ökande form, och till vänster ökar de negativa sitt absoluta värde i den riktningen.
Några egenskaper hos reella tal
Reella tal beter sig som heltal eller rationella tal, vilket vi är mer bekanta med. Vi kan addera, subtrahera, multiplicera och dividera dem på samma sätt; det enda undantaget är divisionen med siffran 0, en operation som inte är möjlig. Ordningen på additionerna och multiplikationerna är inte viktig, eftersom den kommutativa egenskapen fortfarande gäller, och den fördelande egenskapen gäller på samma sätt. På samma sätt är två reella tal x och y ordnade på ett unikt sätt, och endast en av följande relationer är korrekt:
x = y , x < y eller x > y
De reella talen är oändliga, precis som heltalen och de rationella talen. I princip är detta uppenbart eftersom både heltalen och det rationella är delmängder av de reella talen. Men det finns en skillnad: i fallet med heltal och rationella tal sägs det att de är oräkneligt oändliga tal; istället är de reella talen oändliga otaliga.
En mängd sägs vara räknebar eller räknbar när var och en av dess komponenter kan associeras med ett naturligt tal. Sambandet är uppenbart när det gäller heltal; i fallet med rationella tal kan det ses som associationen med ett par naturliga tal, täljaren och nämnaren. Men denna association är inte möjlig när det gäller reella tal.
Källor
- Arias Cabezas, Jose Maria, Maza Saez, Ildefonso. Aritmetik och algebra . I Carmona Rodríguez, Manuel, Díaz Fernández, Francisco Javier, red. Matematik 1. Bruño Editorial Group, aktiebolag, Madrid, 2008.
- Carlos Ivorra. Logik och mängdteori . 2011.
