Tabla de Contenidos
Additionsreglerna i sannolikhet och statistik hänvisar till de olika sätt på vilka vi kan kombinera kända sannolikheter för två eller flera olika händelser för att bestämma sannolikheten för nya händelser som bildas av föreningen av dessa händelser .
Inom statistik och sannolikhet vet vi ofta sannolikheten att vissa händelser (till exempel händelser A och B) inträffar separat men inte sannolikheten att de inträffar samtidigt eller att det ena eller det andra inträffar. Det är här tilläggsreglerna kommer väl till pass.
Till exempel: vi kan veta sannolikheten för att slå en sexa när vi slår två tärningar, kalla det P(rullar 6), och sannolikheten för att båda tärningarna landar på jämna nummer, kalla det P(jämna nummer).
Detta är relativt enkelt. Men ibland är vi intresserade av att bestämma sannolikheten att, när två tärningar rullas, båda får ett jämnt tal eller att de blir sex. I statistisk notation och i gruppteori representeras detta ”eller” med symbolen U som indikerar föreningen av två händelser och i detta fall skulle denna sannolikhet representeras enligt följande:
Dessa typer av sannolikheter kan beräknas utifrån de individuella sannolikheterna och vissa ytterligare data med hjälp av additionsreglerna.
Det bör noteras att vilken additionsregel vi ska använda i varje enskilt fall beror både på antalet händelser vi överväger och på huruvida dessa händelser utesluter varandra eller inte. Tilläggsreglerna för några enkla fall beskrivs nedan.
Fall 1: Tilläggsregel för osammanhängande eller ömsesidigt uteslutande evenemang
Två händelser kallas ömsesidigt uteslutande när förekomsten av en av dem utesluter möjligheten att den andra inträffar. Det vill säga att de är händelser som inte kan inträffa samtidigt. Till exempel, när du kastar en tärning, utesluter den som resultatet där 4 kommer upp att något av de andra 5 möjliga resultaten har kommit upp.
Om vi betraktar två eller flera händelser (A, B, C…) som utesluter ömsesidigt, består unionssannolikheten helt enkelt av summan av de individuella sannolikheterna för var och en av dessa händelser. Det vill säga, i det här fallet ges sannolikheten för fackföreningen av:
Detta kan enklast förstås med hjälp av ett Venn-diagram. Här representeras provutrymmet av ett rektangulärt område; medan sannolikheten för varje händelse representeras av sektorer inom detta större område. I ett Venn-diagram ses ömsesidigt uteslutande händelser som separata områden som varken berör eller överlappar varandra.
I denna typ av diagram består beräkningen av unionssannolikheten av att erhålla den totala ytan som upptas av alla händelser vars sannolikheter vi överväger. I fallet med den föregående bilden innebär detta att man erhåller den totala ytan av sektorerna A, B och C, det vill säga det blå området i följande figur.
Det är lätt att se att om händelserna är osammanhängande som i fallet med de två bilderna ovan, är sannolikheten för fackförening helt enkelt summan av de tre områdena.
Exempel 1: Beräkning av sannolikheten att få ett jämnt resultat när man kastar en tärning
Anta att vi slår en tärning och vi vill veta sannolikheten att få ett jämnt tal. Eftersom de enda möjliga jämna talen på en 6-sidig tärning är 2, 4 och 6, så är det vi verkligen vill veta sannolikheten att tärningen kommer att landa på 2, 4 eller 6, eftersom i något av dessa fall skulle har fallit till ett jämnt tal.
Sannolikheten att få något av de 6 huvudena är 1/6 (så länge det är en rättvis tärning). Dessutom, som vi såg för ett ögonblick sedan, är de tre resultaten ömsesidigt uteslutande händelser eftersom, om 2 kast, 4 eller 6 inte kunde ha rullat, och så vidare. Under dessa förhållanden ges den fackliga sannolikheten av:
Fall 2: Tilläggsregel för två händelser som inte utesluter varandra
Om A och B är händelser som delar utfall med varandra, det vill säga de kan inträffa samtidigt, sägs händelserna inte utesluta varandra. I det här fallet ser Venn-diagrammet ut så här:
Som kan ses finns det en region av sampelutrymmet där båda händelserna inträffar samtidigt. Om vi vill bestämma sannolikheten för förening, det vill säga P(AUB), måste vi hitta arean som anges i Venn-diagrammet till höger i föregående figur.
Det är lätt att se att i det här fallet, om vi bara lägger till områdena A och B, kommer vi att räkna det gemensamma området två gånger, så vi får en area (läs, sannolikhet) större än vad vi vill ha. För att korrigera detta överskottsfel är det bara nödvändigt att subtrahera området som delas av händelserna A och B, vilket motsvarar sannolikheten för skärningspunkten:
Detta uttryck för sannolikheten för förening gäller även för det tidigare fallet eftersom, eftersom det ömsesidigt utesluter, sannolikheten att de inträffar samtidigt (sannolikheten för skärning) är noll.
Exempel 2: Beräkning av sannolikheten att få ett jämnt resultat eller få ett tal mindre än 4 när man kastar en tärning
I det här fallet delar båda händelserna utfall 2, vilket är både jämnt och mindre än 4, så sannolikheten för fackföreningen blir:
Fall 3: Tilläggsregel för tre händelser som inte utesluter varandra
Ett annat lite mer komplext fall är när 3 händelser inträffar som inte utesluter varandra, till exempel den som visas i följande Venn-diagram:
I det här fallet räknar summan av de tre områdena två gånger skärningszonerna mellan A och B, mellan B och C och mellan C och D, och räknar tre gånger skärningszonen för de tre händelserna A, B och C. Om vi gör det som tidigare och subtrahera skärningsområdena mellan varje par händelser från summan av de tre områdena, kommer vi att subtrahera tre gånger arean av mitten, så det måste läggas till som sannolikheten för skärningspunkten för de tre händelserna. Slutligen ges den allmänna tilläggsregeln för tre icke-exklusiva evenemang av:
Liksom tidigare är detta uttryck generellt för alla tre händelser, oavsett om de är osammanhängande eller inte, eftersom, i det här fallet, skärningspunkterna kommer att vara tomma och resultatet blir samma uttryck som det första fallet.
Exempel 3: Beräkning av sannolikheten att få ett jämnt tal, ett tal mindre än 10 eller ett primtal på en 20-sidig tärning
I det här fallet finns det tre händelser som delar utfall mellan och även innehåller utfall som inte delas, så den fackliga sannolikheten ges av det ovan nämnda uttrycket.
Sannolikheterna för de enskilda händelserna är:
Nu är korsningssannolikheterna:
Använd nu ekvationen för unionssannolikheten:
Referenser
- lysande. (nd). Sannolikhet – Summaregel | Briljant Math & Science Wiki . Hämtad från https://brilliant.org/wiki/probability-rule-of-sum/
- lumen. (nd). Sannolikhetsregler | Gränslös statistik . Hämtad från https://courses.lumenlearning.com/boundless-statistics/chapter/probability-rules/#:%7E:text=The%20addition%20rule%20states%20the,probability%20that%20both%20will%20happen .
- MateMobile. (2021, 1 januari). Regel för summan eller additionen av sannolikheter | matermobil . Hämtad från https://matemovil.com/regla-de-la-suma-o-adicion-de-probabilidades/
- Webster, A. (2001). Statistik tillämpad på företag och ekonomi (spanska upplagan) . Toronto, Kanada: Irwin Professional Publishing.
