Tabla de Contenidos
Inom statistik och sannolikhet fastställer komplementregeln att sannolikheten för att någon händelse A inträffar alltid är lika med enhet minus sannolikheten att den motsatta eller komplementära händelsen till A inträffar . Med andra ord är det en regel som indikerar att sannolikheterna för en händelse och dess komplement är relaterade med hjälp av följande uttryck:
Denna regel är en av sannolikhetens grundläggande egenskaper och talar om för oss att vi alltid kan beräkna sannolikheten för en händelse om vi vet sannolikheten för dess komplement och vice versa. Detta är särskilt viktigt, eftersom det i många verkliga situationer där vi behöver beräkna sannolikheten för en händelse är mycket lättare att beräkna sannolikheten för dess komplement direkt istället. Sedan, när detta har beräknats, använder vi komplementregeln för att bestämma sannolikheten som vi ville ha initialt.
Några enkla exempel på tillämpningen av denna regel är:
- Om sannolikheten för att Real Madrid vinner en Champions League-fotbollsmatch är 34/57 eller 0,5965, är sannolikheten att de inte vinner en Champions League-match 1-34/57 = 23/57 eller 0,4035.
- Sannolikheten att en vanlig 6-sidig tärning landar på ett jämnt tal mindre än 6 är 1/3, så sannolikheten att tärningen inte landar på ett jämnt tal mindre än 6 är 2/3.
Bevis på komplementregeln
Komplementregeln kan demonstreras på flera olika sätt, vilket gör det lättare för läsaren att komma ihåg. För att göra denna demonstration måste vi börja med att definiera några grundläggande termer som vad som är en händelse och vad som är dess komplement. Dessutom måste vi ange några av de huvudsakliga axiom som sannolikheten bygger på.
Experiment, resultat, provutrymme och händelser
I statistik och sannolikhet talar vi om att utföra experiment , som att vända mynt, kasta en tärning, välja ett kort eller en kortlek från en slumpmässigt blandad kortlek, och så vidare. Varje gång vi utför ett experiment får vi ett resultat , som att välja de två klubborna från leken med spanska spelkort.
Den totala mängden av alla möjliga olika resultat som ett experiment kan ge kallas provutrymmet och representeras vanligtvis av bokstaven S.
Å andra sidan kallas ett visst resultat eller en uppsättning resultat av experimentet en händelse . Händelser kan vara individuella resultat, i vilket fall de kallas enkla händelser, eller så kan de vara sammansatta händelser som består av mer än ett element eller resultat.
Vad är plugin för en händelse?
Komplementet av en händelse är inget annat än uppsättningen av alla andra möjliga utfall i urvalsutrymmet som inte inkluderar resultaten av själva händelsen . I fallet med exemplet med att kasta en tärning, är komplementet till händelsen där tärningen landar på 5, till exempel, en annan händelse där tärningen landar på 1, 2, 3, 4 eller 6, eller vad som helst. Det är samma sak, det faller inte i 5.
Plugins representeras ofta på olika sätt. De två vanligaste formerna är:
- Att placera ett snedstreck ovanför händelsenamnet (till exempel A̅ representerar komplementet till händelse A).
- Placera ett C som upphöjd (AC C ).
I båda fallen står det ”A-komplement”, ”komplement till A” eller ”Inte A.”
Ett enkelt sätt att förstå både pluginkonceptet och själva pluginregeln är att använda Venn-diagram . Följande figur visar ett enkelt diagram över ett experiment och en enskild händelse som vi kommer att kalla A.
I Venn-diagram som det här representerar hela rektangeln provutrymmet för experimentet, medan hela rektangelns yta (i detta fall både de grå och blå områdena) representerar sannolikheten för provutrymmet, som av definition , är lika med 1. Detta beror på att om vi utför ett experiment är det helt säkert att ett resultat som finns i provutrymmet kommer att erhållas, eftersom det innehåller alla möjliga resultat.
Den blå cirkeln omsluter området av utställningsutrymmet där alla möjliga utfall av händelse A ska ligga. Till exempel, om händelse A rullar ett jämnt tal, måste detta blå område innehålla resultaten 2, 4 och 6 Å andra sidan är allt område som ligger utanför händelse A (det vill säga gråzonen), komplementet till A eftersom det innehåller de andra resultaten (1, 3 och 5).
Komplementregeln och Venn-diagram
En nyckel för att förstå komplementregeln med hjälp av Venn-diagram är att arean för varje händelse inom dessa diagram är proportionell mot dess sannolikhet; rektangelns totala yta motsvarar sannolikheten 1. Som vi tydligt kan se bildar händelsen A (blå cirkel) och dess komplement, A̅ (grå area) tillsammans hela rektangeln.
Av denna anledning måste summan av deras arealer, som representerar deras respektive sannolikheter, vara lika med 1, vilket är arean av provutrymmet, S. Om vi ordnar om detta får vi:
Detta är komplementregeln.
Komplementregeln från sannolikhetsaxiomen
Varje händelse och dess komplement bildar ett par osammanhängande eller ömsesidigt uteslutande händelser, eftersom om den ena inträffar är det per definition omöjligt för den andra att inträffa. Under dessa förhållanden ges unionssannolikheten för dessa två händelser helt enkelt av summan av de individuella sannolikheterna. Det vill säga:
Dessutom, som vi sa tidigare, resulterar föreningen av händelser A och dess komplement, A C , i provutrymmet:
Genom att ersätta P(AUC C ) i ovanstående ekvation och sedan ersätta sannolikheten för S som per definition är 1, får vi:
Om vi ordnar om de två sista medlemmarna får vi komplementregeln.
Exempel på problem med ett plugin-regelprogram
Följande är ett exempel på ett typiskt problem där användningen av pluginregeln är särskilt användbar.
påstående
Anta att vi har en krets som består av 5 identiska chips kopplade i serie, det vill säga en efter en. Sannolikheten att ett chip kommer att gå sönder inom det första året efter dess tillverkning är 0,0002. Om någon av de 5 markerna misslyckas, misslyckas hela systemet. Du vill hitta sannolikheten att systemet misslyckas det första året.
Lösning
Låt oss kalla F (för misslyckande) resultatet där en komponent eller systemchip misslyckas och E (framgång) för resultatet där komponenten inte misslyckas eller, vad som är detsamma, den fungerar. Då är uppgifterna som tillhandahålls av uttalandet:
Experimentet där det avgörs om hela systemet misslyckas motsvarar faktiskt att man genomför 5 samtidiga experiment där det avgörs om någon av komponenterna misslyckas. Så, provutrymmet för detta experiment består av alla kombinationer av framgång eller misslyckande för var och en av de 5 komponenterna. Eftersom vi är seriekopplade vet vi att ordningen spelar roll. Därför bildas provutrymmet av:
Detta provutrymme innehåller 2 5 =32 möjliga utfall motsvarande alla möjliga kombinationer av Es och Fs. Eftersom vi vill beräkna sannolikheten för att systemet misslyckas, ges den händelse vi är intresserade av, som vi kommer att kalla händelse A, av alla utfall där minst en av komponenterna misslyckas. Med andra ord ges det av följande resultatuppsättning:
Faktum är att det finns 2 5 -1=31 möjliga utfall där åtminstone en av de fem komponenterna misslyckas. Om vi ville beräkna sannolikheten för A (det vill säga P(A)), skulle vi behöva beräkna sannolikheten för vart och ett av dessa utfall; det skulle vara ett stort arbete.
Men låt oss nu betrakta den komplementära händelsen av A, det vill säga den händelse i vilken systemet fungerar (som vi kommer att kalla A C ). Som vi kan se är det enda sättet för hela systemet att fungera att alla fem komponenterna i kretsen fungerar, det vill säga:
Att beräkna denna sannolikhet är mycket lättare än att beräkna den föregående. Sedan, givet denna sannolikhet, använder vi komplementregeln för att beräkna sannolikheten för A. Eftersom utfallen för varje chip är oberoende händelser av varandra, är sannolikheten för A C helt enkelt produkten av sannolikheten för att varje chip fungerar, t.ex. :
Men vad är sannolikheten för E? Kom ihåg att varje chip antingen fungerar eller inte fungerar, så E är komplementet till F. Därför, om vi har sannolikheten för F (som ges i övningen), kan vi beräkna sannolikheten för E med hjälp av komplementregeln:
Nu kan vi beräkna sannolikheten för att hela systemet fungerar:
Och genom att återigen tillämpa komplementregeln, beräknar vi sannolikheten för att systemet misslyckas:
Svar
Sannolikheten att systemet kommer att misslyckas det första året är 0,010 eller 1,0 %.
Referenser
Devore, JL (1998). SANNOLIKHET OCH STATISTIK FÖR INGENJÖR OCH VETENSKAP . International Thomson Publishers, SA
Kompletteringsregel . (nd). Fhybea. https://www.fhybea.com/complement-rule.html
Regel för komplementet i sannolikheter . (2021, 1 januari). MateMobile. https://matemovil.com/regla-del-complemento-en-probabilidades/
