Tabla de Contenidos
Att kasta mynt och tärningar eller blint ta bort kulor från en låda är några av de enklaste experimenten vi kan göra för att testa vår förståelse för de olika begreppen relaterade till statistik. De är enkla experiment att utföra, som alla kan göra hemma, de ger tydliga och entydiga resultat, och dessa kan enkelt omvandlas till numeriska data.
När det gäller tärningskastning finns det också ett tydligt samband mellan dem och hasardspel, vilket gör tillämpningen av statistik mer påtaglig i något som är en del av många människors vardag eller åtminstone något med vad nästan alla av oss har stött på minst en gång i deras liv.
Att kasta tre tärningar samtidigt kan ge olika typer av resultat som vi kan tolka på olika sätt. Vi kan vara intresserade av de enskilda resultaten i sig, eller så kan vi vara intresserade av summans värde eller av antalet jämna eller udda resultat som kommer upp mellan tärningarna osv. Av de tre är det vanligaste att vara intresserad av resultatet av summan av värdena på de tre tärningarna. I de följande avsnitten kommer vi att utforska hur man beräknar sannolikheten för att var och en av summorna ska inträffa när man kastar tre tärningar samtidigt.
Provutrymmet för att kasta tre tärningar
Att kasta en enskild kubtärning är ett enkelt experiment som bara har sex möjliga utfall. Det vill säga, det är ett experiment vars provutrymme bildas av resultaten S 1 givet = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.
När du kastar två tärningar samtidigt kan det antas att resultatet av varje tärning är oberoende av den andra, så att var och en kan resultera i något av de sex föregående resultaten. Detta medför som en konsekvens att 6 2 = 36 möjliga resultat kan ges motsvarande alla möjliga kombinationer mellan de 6 värdena på en tärning och de 6 värdena på den andra.
I det här fallet kommer vi att ha ett sampelutrymme på S 2 givet = {11; 12; 13; 14; femton; 16; tjugoett; 22; 23; 24; 25; 26; …; 61; 62; 63; 64; 65; 66}. Av dessa 36 resultat kan antalet unika kombinationer (utan att ta hänsyn till ordningen) beräknas med hjälp av en kombinatorik med upprepning där grupper om n = 2 tas (de två tärningarna som kastas) med m = 6 möjliga resultat. :
Dessa 21 resultat motsvarar {11; 12; 13; 14; femton; 16; 22; 23; 24; 25; 26; 33; 3. 4; 35; 36; 44; Fyra fem; 46; 55; 56; 66}. Sannolikheten för vart och ett av dessa resultat motsvarar 1/36 multiplicerat med antalet olika permutationer som kan skapas med siffrorna i varje nummer (1 om talet upprepas, som i 11, 22, etc., och 2 om nummer upprepas inte eftersom vi kan ha 12 eller 21, 13 eller 31 osv.)
I fallet med att kasta 3 tärningar ges det totala antalet möjliga utfall i provrummet med 6 3 = 216. Dessa utfall är S 3 tärningar = {111; 112; 113; 114; 115; 116; 121; …; 126; 131; …; 136; …; 166; 211; 212; …; 656; 666}. I detta fall måste sannolikheten för ett individuellt utfall vara 1/216.
Sannolikhet för individuella resultat när du kastar tre tärningar
Nu när vi väl har definierat provutrymmet för alla möjliga resultat av kast med 3 tärningar, låt oss se hur man beräknar sannolikheten för vart och ett av de olika resultaten som kan erhållas.
När det gäller att kasta tre tärningar, med tanke på att ordningen i vilken resultaten kommer upp är irrelevant, kommer många av de 216 resultaten faktiskt att upprepas. Det totala antalet unika resultat kan beräknas igen som en kombination av grupper om 3 med 6 alternativ var och med möjlighet till upprepningar, det vill säga:
Bland dessa 56 resultat förekommer de som består av tre lika många (låt oss kalla dem AAA) bara en gång. Å andra sidan upprepas de med två identiska figurer och en annan (AAB) 3 gånger vardera (motsvarande permutationerna AAB, ABA och BAA). Äntligen kommer de som har tre olika figurer (ABC) att dyka upp 3! = 6 gånger (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB och CBA).
Från denna information och det totala antalet möjliga utfall (216) kan vi beräkna sannolikheten för varje utfall som
Beroende på resultatet har den 1, 2 eller 3 olika figurer. De 56 möjliga utfallen och deras sannolikheter visas i följande tabell:
Resultat | Sannolikhet | Resultat | Sannolikhet | Resultat | Sannolikhet | Resultat | Sannolikhet |
111 | 1/216 | 136 | 1/36 | 235 | 1/36 | 346 | 1/36 |
112 | 1/72 | 144 | 1/72 | 236 | 1/36 | 355 | 1/72 |
113 | 1/72 | 145 | 1/36 | 244 | 1/72 | 356 | 1/36 |
114 | 1/72 | 146 | 1/36 | 245 | 1/36 | 366 | 1/72 |
115 | 1/72 | 155 | 1/72 | 246 | 1/36 | 444 | 1/216 |
116 | 1/72 | 156 | 1/36 | 255 | 1/72 | 445 | 1/72 |
122 | 1/72 | 166 | 1/72 | 256 | 1/36 | 446 | 1/72 |
123 | 1/36 | 222 | 1/216 | 266 | 1/72 | 455 | 1/72 |
124 | 1/36 | 223 | 1/72 | 333 | 1/216 | 456 | 1/36 |
125 | 1/36 | 224 | 1/72 | 334 | 1/72 | 466 | 1/72 |
126 | 1/36 | 225 | 1/72 | 335 | 1/72 | 555 | 1/216 |
133 | 1/72 | 226 | 1/72 | 336 | 1/72 | 556 | 1/72 |
134 | 1/36 | 233 | 1/72 | 344 | 1/72 | 566 | 1/72 |
135 | 1/36 | 2. 3. 4 | 1/36 | 3. 4. 5 | 1/36 | 666 | 1/216 |
Sannolikheten för summan när du kastar tre tärningar
Som nämnts tidigare, när man kastar tärningarna, är ett viktigare resultat än det särskilda nummer varje huvud landar på summan av tärningarna. I experimentet där tre tärningar kastas och summan erhålls, är provutrymmet uppbyggt av alla möjliga summor mellan tre tal från 1 till 6.
Det minsta värdet som kan bli resultatet av denna summa är det som erhålls när de tre tärningarna landar på 1 och erhåller summan 1+1+1 = 3, medan maxvärdet motsvarar 6+6+6 = 18, med möjligheten att erhålla någon av de mellanliggande summorna. Därför motsvarar provutrymmet för detta experiment:
S = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; elva; 12; 13; 14; femton; 16; 17; 18}
summan av tre tärningar | Antal unika resultat | Särskilt unika resultat | Totalt antal möjliga utfall |
3 | 1 | 111 | 1 |
4 | 1 | 112 | 3 |
5 | 2 | 113; 122 | 6 |
6 | 3 | 114; 123; 222 | 10 |
7 | 4 | 115; 124; 133; 223 | femton |
8 | 5 | 116; 125; 134; 224; 233 | tjugoett |
9 | 6 | 126; 135; 144; 225; 2. 3. 4; 333 | 25 |
10 | 6 | 136; 145; 226; 235; 244; 334 | 27 |
elva | 6 | 146; 155; 236; 245; 335; 344 | 27 |
12 | 6 | 156; 246; 255; 336; 3. 4. 5; 444 | 25 |
13 | 5 | 166; 256; 346; 355; 445 | tjugoett |
14 | 4 | 266; 356; 446; 455 | femton |
femton | 3 | 366; 456; 555 | 10 |
16 | 2 | 466; 556 | 6 |
17 | 1 | 566 | 3 |
18 | 1 | 666 | 1 |
Den sista kolumnen i tabellen visar det totala antalet resultat som varje summa ger, inklusive motsvarande resultat (från alla permutationer av varje unik kombination). Till exempel, för summan av 15 måste tärningskastet vara 366, 356 eller 555. Men det finns 3 permutationer på 366 (366, 636 och 663) och 6 permutationer på 356 (356, 365, 536, 563, 635 och 653) och en av 555, så det totala antalet möjliga utfall som motsvarar 15 är 10.
Med föregående tabell kan vi träna på att beräkna sannolikheten för varje summa för att kasta tre tärningar på två olika sätt. Dessa beskrivs i detalj nedan.
Strategi 1: Använda sannolikheten för varje unikt utfall
Den första strategin är att lägga till sannolikheten för alla unika utfall som varje summa kan ge. Detta innebär att man använder de unika utfallen från den tredje kolumnen och respektive sannolikhet för varje utfall som presenteras ovan.
Exempel
Anta att vi vill beräkna sannolikheten för att summan av de tre tärningarna är 11 (det vill säga P(11)). I det här fallet finns det 6 unika kombinationer (oavsett ordning) som ger summan 11. Dessa resultat är (enligt den tredje kolumnen i tabellen ovan): {146; 155; 236; 245; 335; 344}.
Sannolikheten för varje resultat bestäms baserat på det totala antalet möjliga permutationer i varje fall, som förklarats i föregående avsnitt. I detta fall:
Därför kommer sannolikheten att resultatet av summan är 11 vara:
På liknande sätt, om vi ville ha sannolikheten att summan är 16, skulle resultatet bli summan av sannolikheterna för 466 och 556, som båda är lika med 1/72, så sannolikheten skulle vara:
Strategi 2: Använd det totala antalet resultat som motsvarar varje summa
I detta fall tas en enklare väg, så länge det finns en lista över alla möjliga resultat för varje summering, inklusive permutationerna. Då är sannolikheten för varje summa helt enkelt det totala antalet utfall för summan dividerat med det totala antalet möjliga utfall (216).
Exempel
I fallet med summan = 11 är det totala antalet möjliga resultat som ger nämnda summa 27 (se den tredje kolumnen i föregående tabell), så sannolikheten att summan av 11 blir:
Som du kan se är resultatet detsamma som tidigare och det är väldigt enkelt om vi har ett bord som det tidigare redan byggt. Men för mer komplexa fall där det finns fler möjliga utfall (som att kasta 4, 5 eller 4 tärningar), kan denna strategi vara mindre bekväm och den förra mer praktisk.
Referenser
Graffe, S. (2021, 21 september). Vad är sannolikheten att när du slår tre tärningar får du summan 7? Quora. https://en.quora.com/What%C3%A9-probabilidad-hay-que-al-lanzar-tres-dados-salga-una-sumatoria-de-7
Montagud Rubio, N. (2022, 17 mars). Räkneteknik: typer, hur man använder dem och exempel . Psykologi och sinne. https://psicologiaymente.com/miscelanea/tecnicas-de-conteo
Tupplurar. (2017, 16 november). Räknetekniker i sannolikhet och statistik . Naps Teknik och utbildning. https://naps.com.mx/blog/tecnicas-de-conteo-en-probabilidad-y-estadistica/
Valdés Gómez, J. (2016, 23 november). Kombinationer med upprepning . Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=WqHZx64RW-Q