Tabla de Contenidos
Exponentialfördelningen är ett specialfall av gammafördelningen. Det är en kontinuerlig fördelning som används för att beskriva sannolikhetsfördelningen av den tid som förflutit mellan händelser i en Poisson-process. Detta avser de processer där händelser inträffar kontinuerligt och oberoende av varandra, men med en konstant medelfrekvens.
Exponentialfördelningen följer följande sannolikhetsfunktion:
där X är en kontinuerlig slumpvariabel och lambda ( λ ) är en karakteristisk parameter för varje särskild fördelning. Följande figur visar grafen för denna fördelningsfunktion för olika värden på λ.
Som kan ses avtar denna funktion exponentiellt från ett initialt värde lika med λ och närmar sig noll asymptotiskt när x ökar.
Medelvärdet för denna fördelningsfunktion ges av μ = 1/ λ och dess varians är σ 2 = (1/ λ) 2 . Följande avsnitt visar hur man beräknar medianen.
Betydelsen av exponentialfördelningen
Som nämnts i början kan exponentialfördelningen tillämpas på vilket system som helst som följer en Poisson-process. Detta innebär att det tjänar till att beskriva tiderna mellan händelser som kunders ankomster till serviceanläggningar, tiderna mellan fel på elektroniska system eller komponenter och levande varelsers överlevnad.
Vad är medianen?
Innan vi fortsätter att beräkna medianen måste vi förstå vad det är. Medianen för en sannolikhetsfördelning motsvarar värdet på den stokastiska variabel som delar fördelningen på mitten. När det gäller diskreta variabler betyder det att man lämnar samma antal värden på båda sidor om medianen. För exponentialfunktionen och de andra kontinuerliga fördelningsfunktionerna är medianen den punkt som lämnar samma område under sannolikhetstäthetskurvan på båda sidor.
Ett annat mer praktiskt sätt att se på medianen, och som är det vi kommer att använda för att hitta den i den här artikeln, är att den motsvarar den punkt där fördelningsfunktionen har ett värde på 0,5. Det vill säga, det motsvarar lösningen av följande ekvation:
Beräkning av medianen för exponentialfördelningen
För att hitta medianen för exponentialfördelningen kommer vi att använda fördelningsfunktionen och hitta värdet på den slumpmässiga variabeln för vilken fördelningsfunktionen har ett värde på 0,5, som förklarats i föregående avsnitt. Med andra ord kommer vi att säga att medianen (Me) är värdet av den slumpmässiga variabeln, x, för vilken det verifieras att:
Allt vi behöver göra nu är att koppla in pdf-filen ( f(x) ) som motsvarar exponentialfördelningen och integrera:
Där vi har använt den bitvisa definitionen av sannolikhetsfördelningsfunktionen, som har ett värde på noll för alla värden på den slumpmässiga variabeln mindre än eller lika med noll. Detta är en enkel integral:
Nu sätter vi lika med ½ och vi löser ekvationen för att hitta medianen, Me.
Slutligen omarrangeras den, den naturliga logaritmen tas på båda medlemmarna och Me rensas:
Därför ges medianen för exponentialfördelningen av ln2/λ.
Förspänningen för den exponentiella fördelningen
Om vi jämför värdet av medianen som vi just erhöll, ln2/λ, med värdet av medianen för denna fördelning som vi nämnde i början, 1/λ, inser vi snabbt att medianen är mindre än medelvärdet, eftersom ln2 är ett tal mindre än 1.
Närhelst medelvärdet inte sammanfaller med medianen sägs fördelningen vara skev. Eftersom medelvärdet i detta fall är större än medianen, sägs exponentialfunktionen vara sned åt höger .
Eftersom medianen är ett mått på den centrala tendensen som är mindre känslig för extrema värden än medelvärdet, i fall som detta där man bestämmer sig för att bias finns, är det att föredra att använda medianen för att representera den centrala tendensen.
Referenser
LesKanaris. (nd). Hur man beräknar medianen för exponentialfördelningen – Intressant – 2021. Hämtad från https://us.leskanaris.com/2916-exponential-distribution-medians.html
Lifehackk. (2018). Hur man beräknar medianen för den exponentiella fördelningen – 2021. Hämtad från https://esp.lifehackk.com/14-calculate-the-median-of-exponential-distribution-3126442-7366
Enkel matematik. (2021, 6 september). Median – exponentiell distribution [Videofil]. Återställd från https://www.youtube.com/watch?v=0s3h1Tfysog
Mtz De Lejarza E., J., & Mtz De Lejarza E., I. (1999). Exponentiell fördelning. Hämtad från https://www.uv.es/ceaces/base/modelos%20de%20probabilidad/exponencial.htm
