Tabla de Contenidos
Med sannolikhet hänvisar det förväntade värdet av en slumpvariabel till medelvärdet av ett stort antal gånger variabeln förekommer . Det beräknas som ett viktat medelvärde av alla möjliga värden av den slumpmässiga variabeln, där viktningsfaktorn inte är något mer än sannolikheten att varje värde kommer att inträffa.
Sannolikhet är ett studieområde av stor betydelse inom hasardspel, bland vilka roulette är en av de mest populära och enklaste att förstå.
Vad är roulette och hur spelas det?
Ett typiskt amerikanskt roulettehjul består av ett hjul med en serie slots märkta 1 till 36, varav 18 är svarta medan de andra 18 är röda. Dessutom finns det två gröna celler eller luckor placerade i motsatta ändar av hjulet identifierade med siffrorna 0 respektive 00, för totalt 38 celler.
Det finns även franska rouletter, som inte har 00-lådan och därför har 37 lådor totalt.
Spelet består av att snurra hjulet medan en liten boll kastas i motsatt riktning. När spinnaren och bollen saktar ner hamnar bollen i en av de 37 eller 38 fickorna eller luckorna. Innan bollen vilar kan deltagarna göra olika typer av vad. Några av de möjliga satsningarna är:
- Satsa på ett specifikt nummer (betalar vanligtvis 35:1)
- Satsa på två intilliggande nummer (betalar vanligtvis 17:1)
- Satsa på rött eller svart (betalar vanligtvis 1:1)
- Udda eller jämna tal (betalar vanligtvis 1:1)
- Låg eller hög insats, det vill säga de första 18 siffrorna (från 1 till 18) eller de sista 18 (från 19 till 36) (betalar vanligtvis 1:1)
- First Dozen (1-12) (betalar vanligtvis 2:1)
- Andra dussinet (från 13 till 24) (betalar vanligtvis 2:1)
- Tredje dussinet (från 25 till 36) (betalar vanligtvis 2:1)
Som du kan se erbjuder var och en av dessa satsningar en specifik utbetalning, som beror på sannolikheten att det händer.
Därefter kommer vi att beräkna det förväntade värdet av vinsterna enligt de olika typerna av insatser som vi kan göra i ett amerikanskt roulettehjul. Resultaten som erhålls här extrapoleras enkelt till fransk roulette, helt enkelt genom att ändra det totala antalet möjliga resultat i nämnare av alla sannolikheter.
I alla fall kommer vi att fastställa det förväntade värdet av vinsten för varje dollar vi satsar, även om det numeriska värdet kan överföras till vilken annan valuta som helst. Dessutom kommer att multiplicera detta förväntade värde med det faktiska värdet av insatsen att producera det förväntade värdet av vadet. Så om vi istället för att satsa $1 satsar $100, behöver vi bara multiplicera det förväntade värdet på $1-insatsen med 100.
Formel för att beräkna det förväntade värdet av en insats i roulette
Den slumpmässiga variabeln vars förväntade värde vi vill bestämma är hur mycket pengar vi kommer att vinna i genomsnitt om vi gör samma roulette-satsning ett stort antal gånger. När vi gör en satsning genomför vi ett experiment som bara har två möjliga utfall: vi vinner eller vi förlorar. Vi vinner om bollen hamnar i en låda som matchar vår insats, och annars kommer vi att förlora.
Om vi kallar X för vinsten som erhålls genom att satsa (vår slumpvariabel), p sannolikheten för framgång, x 1 vinsten vi får om vi vinner, q sannolikheten för misslyckande och x 2 vinsten (eller förlusten) vi får om vi vinner vi förlorar, då kan vi beräkna det förväntade värdet av ett spel som:
Nu ska vi se hur man tillämpar denna formel på de olika satsningarna som vi kan göra.
Förväntat värde av att satsa på ett visst nummer i roulette
Anta att vi satsar $1 på ett visst nummer (0, 00, 1, 2, 3, …).
Utbetalningen för denna satsning, om vi skulle vinna, är 35 till 1, vilket betyder att vi får $35 för varje $1 vi satsar, plus att vi får vår $1 omsatt. Vi kommer då att säga att värdet på vår slumpvariabel i fall av framgång (x 1 ) kommer att vara, i detta fall, +$35, eftersom det är nettovinsten. Sannolikheten för framgång (p) är 1/38, eftersom det finns totalt 38 olika rutor där bollen kan falla medan endast 1 som vi kommer att vinna med.
Å andra sidan, om bollen landar på något annat nummer, förlorar vi insatsen, i vilket fall huset behåller $1 vi satsade. Således kommer vår ”vinst” att vara –$1 eftersom vi faktiskt förlorar pengar. Sannolikheten att förlora (q) är 37/38, eftersom alla andra rutor än numret vi satsar på kommer att få oss att förlora. Med dessa data kan vi tillämpa formeln och bestämma det förväntade värdet av denna satsning:
Med andra ord, det förväntade värdet av att satsa på ett visst nummer i roulette är en förlust på 5,3 cent för varje dollar vi satsar.
Förväntat värde på att satsa på två intilliggande nummer
Anta att vi satsar $1 genom att placera en marker mellan två intilliggande nummer, som 2 och 3 eller 17 och 20 (som ligger vertikalt intill).
Utbetalningen för denna satsning, till skillnad från den tidigare, är 17 till 1, vilket innebär att vi får $17 tillbaka för varje $1 vi satsar, plus att vi får tillbaka våra $1. Vinsten blir, i det här fallet, +$17, medan sannolikheten för framgång (p) kommer att vara 2/38, eftersom det finns två siffror som gör att vi vinner medan det fortfarande finns samma 38 celler totalt.
Å andra sidan, om vi förlorar, förlorar vi igen samma $1 som vi satsade, men sannolikheten att förlora (q) är nu 36/38. Det förväntade värdet av denna satsning är då:
Återigen, det förväntas att genom att satsa på valfritt par av angränsande nummer i roulette flera gånger, i genomsnitt kommer vi att förlora 5,3 cent för varje dollar vi satsar.
Förväntat värde på vadslagning med dussintals
Det finns sex olika satsningar som vi kan göra i roulette som inkluderar ett dussin möjliga gynnsamma resultat; tre av dem består av vadslagning på det första, andra eller tredje dussinet numren (exklusive 0 eller 00), och de andra tre består av vadslagning på en av de tre kolumnerna där numren är ordnade på roulettebordet.
Utbetalningen för någon av dessa satsningar är 2 till 1, vilket innebär att vi vinner $2 för varje $1 vi satsar och får tillbaka våra $1. Sannolikheten för framgång är 12/38 eftersom vi satsar på en korg med 12 olika nummer. Slutligen är sannolikheten för misslyckande 26/38 med samma förlust på $1 (eller vinst på –$1, vilket är samma sak).
Det förväntade värdet på vår slumpvariabel är i det här fallet:
Förväntat värde för att satsa på rött eller svart, jämnt eller udda, eller satsa lågt eller högt
Slutligen finns det sex andra olika satsningar som vi kan göra i roulette som ger både samma sannolikhet för framgång och samma betalning om vi vinner, såväl som samma sannolikhet för misslyckande och samma förlust av pengar om vi förlorar, så vi kommer att beräkna deras förväntade värde på samma sätt för alla. Dessa satsningar är:
- Satsa på rött.
- satsa på svart
- Satsa på jämna nummer
- Satsa på udda nummer
- Satsa på de lägre 18 siffrorna (siffrorna från 1 till 18)
- Satsa på de höga 18 siffrorna (siffrorna från 19 till 36)
Även om de ser ut som väldigt olika satsningar är de faktiskt exakt likadana. De betalar alla $1 för varje $1 som satsas, plus $1 som returneras, så de netto +$1.
Dessutom har de alla samma sannolikhet att lyckas (och, som komplement, att misslyckas). Till exempel, hälften av siffrorna från 1 till 36 identifieras med färgen röd medan den andra hälften identifieras med svart, så det finns en 18/38 sannolikhet att det kommer att bli rött eller svart (kom ihåg att cellerna i 0 och 00 är gröna, vilket slutför de totalt 38 möjliga resultaten).
När det gäller udda och jämna tal, eftersom det finns 36 på varandra följande tal, kommer hälften att vara jämna tal (2, 4, 6, 8, 10, 12, ,…,34 och 36) och den andra hälften kommer att vara udda (1, 3 , 5, 7, 9, 11, …, 33 och 35). Vi måste komma ihåg att noll inte anses vara ett jämnt eller udda tal, så varken 0- eller 00-rutan är en del av något av de två resultaten.
Slutligen finns det 18 låga siffror och 18 höga siffror, så sannolikheten att få det ena eller det andra resultatet är också 18/38.
Å andra sidan inkluderar misslyckande i alla dessa fall den andra hälften av siffrorna som inte räknas med i insatsen plus 0 och 00, så det finns totalt 20 möjliga negativa utfall. Detta innebär en sannolikhet för misslyckande på 20/38.
Det förväntade värdet av någon av dessa satsningar är då:
Hur tolkas dessa resultat?
Detta resultat betyder inte att om vi går in på ett kasino och satsar $1 på 21, till exempel, kommer vi att förlora $0,053. I verkligheten, om vi spelar bara en gång , kommer vi antingen gå hem $1 mindre eller $35 mer.
Vad detta resultat betyder är att om vi satsar roulette många gånger och alltid satsar på ett enda nummer, ibland kommer vi att vinna $35 och andra gånger kommer vi att förlora $1, men i genomsnitt kommer vi att förlora $0,053 för varje satsad dollar.
Detta resultat bekräftar det populära talesättet att ”banken alltid vinner”, med hänvisning till det faktum att även om ett kasino ibland betalar ut en jackpott till någon lycklig spelare, kommer de alltid att vinna allt de förlorat, och mer än så. alla små satsningar där deltagarna förlorar.
Referenser
DeVore, J. (2002). Sannolikhet och statistik för teknik och vetenskap (5:e uppl.). Thomson International.
Elisa, M. (2021, 23 april). Hur man vinner på Roulette: Introduktion till sannolikheter och förväntade värden . Medium. https://www.cantorsparadise.com/how-to-win-at-roulette-intro-to-probabilities-and-expected-values-f23baed1065e
Förväntat värde i statistik: Definition och beräkningar . (2021, 8 juni). Statistik Hur man. https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/expected-value/
Medelvärde (förväntat värde), varians och standardavvikelse för diskret slumpmässig variabel | matermobil . (2021, 1 januari). MateMobile. https://matemovil.com/media-varianza-y-desviacion-estandar-de-una-variable-aleatoria-discreta/
Studiekraft. (2021, 8 juni). Förväntat värde i statistik: Definition och beräkningar [Video]. Statistik Hur man. https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/expected-value/
