Tabla de Contenidos
När man utför olika typer av beräkningar, oavsett om det är inom naturvetenskap eller ingenjörsvetenskap, är det mycket vanligt att man tar till experimentella data som vi finner organiserade i olika tabeller. Dessa data relaterar vanligtvis två variabler som vi vet beror på varandra, men vars matematiska beroende vi inte känner till. Detta skulle inte vara ett problem om all information vi behöver fanns i tabellen, men detta händer sällan. Det är vanligare att vi behöver värdet på en av variablerna för ett värde på den andra som inte finns i tabellen.
När detta händer kan vi anpassa experimentella eller tabulerade data till en matematisk polynomfunktion, som vi sedan kan använda för att approximera det okända värdet för variabeln av intresse. Denna process kan involvera interpolering eller extrapolering.
Dessa två processer är nära besläktade och bygger på samma grundläggande inställningsprocedur, men de är inte samma. Därefter kommer vi att diskutera vad som är de viktigaste skillnaderna mellan dessa två metoder för att uppskatta värdet av en beroende variabel för ett givet värde av en oberoende.
interpolationsdefinition
Interpolation är processen att uppskatta värdet av en beroende variabel för ett visst värde av den oberoende variabeln från kunskap om en uppsättning data eller diskreta punkter över och under punkten vi vill uppskatta. Med andra ord är det processen att uppskatta en punkt som ligger mellan två kända punkter. Följande graf visar en serie data som representeras av de blå punkterna och den röda punkten representerar interpolationen mellan punkterna i X 1 och X 2 .
Ordet interpolation kommer från föreningen av två latinska ord som är prefixet inter-, som betyder mellan eller med intervall, och -polire , som betyder att trycka eller driva, med hänvisning till det faktum att interpolation har att göra med att trycka eller flytta två data till en punkt som ligger mellan dem.
Extrapolation Definition
Extrapolering kan förstås som processen att uppskatta värdet av en beroende variabel för ett värde av den oberoende variabeln, från en uppsättning punkter eller data som antingen alla är större än eller alla mindre än den punkt som ska uppskattas.
Med andra ord är det processen att uppskatta värdet av en punkt som ligger över eller under alla kända punkter eller data. Följande figur visar ett exempel på att extrapolera data till en punkt över alla kända data.
Ur etymologisk synvinkel har extrapolera samma latinska rot –polire , men denna gång föregås det av det latinska prefixet extra- som betyder ut ur. Termen hänvisar alltså till uppskattningen av punkter som ligger utanför intervallet för den ursprungliga datamängden, antingen för att den är större eller mindre än alla kända data.
Skillnader i osäkerheten vid interpolation och extrapolation
När man jämför interpolation med extrapolering kan man konstatera att det finns en viktig skillnad vad gäller risken för att ge resultat som avsevärt avviker från det verkliga värdet av de data vi söker. När det gäller interpolation, eftersom det utförs mellan två på varandra följande punkter, kan vi ha en viss grad av säkerhet att värdet vi interpolerar är någonstans mellan dessa två punkter. Det vill säga, vi har en viss garanti för att värdet på den okända funktionen inte skjuter upp eller ner innan vi når nästa punkt, eftersom vi vet var den nästa punkten är.
Istället, när vi gör en extrapolering, projicerar vi beteendet hos datan framåt eller bakåt, och eftersom det inte finns några referenspunkter framåt (eller längre bak, om så var fallet), så har vi inget sätt att veta hur det beter sig verkligen variabeln. Det kan fortsätta med samma beteende som det gjorde tidigare, som att det plötsligt kan skjuta åt båda hållen. Av denna anledning medför extrapolering större osäkerhet än interpolation.
De är vanligtvis anpassade till olika polynomfunktioner
Extrapolations- och interpolationsprocesserna är baserade på justeringen av två eller flera kända punkter till en matematisk funktion som gör att vi kan förutsäga värdet av funktionen vid andra okända punkter. I både fallet med interpolation och extrapolation är den mest använda funktionen för uppskattning den linjära funktionen (y = mx +b). Även om den här funktionen är lämplig för både interpolation och extrapolering när det okända värdet vi vill uppskatta är någorlunda nära de kända punkterna, är detta inte längre fallet när man extrapolerar bort från extremerna.
Faktum är att om data som helhet inte är anmärkningsvärt linjär i beteende, kan extrapolationer mycket snabbt glida bort från det verkliga värdet när vi går bort från båda ytterligheterna. Det är därför extrapolering vanligtvis kräver mer försiktighet och användning av extrapolationsfunktioner som är mer komplexa eller har högre ordningar än de som används för interpolation.
I det senare fallet är linjär interpolation nästan alltid adekvat, förutsatt att de kända data eller punkterna inte är för långt ifrån varandra.
De kan skilja sig åt i antalet dataelement som behövs för uppskattningen
En annan viktig skillnad mellan interpolation och extrapolering är antalet dataposter som krävs för att utföra uppskattningen. Vid interpolation antas det nästan alltid att värdet på den sökta punkten ligger på en rät linje som förenar de två närmaste punkterna. I det här fallet räcker det att känna till dessa två punkter för att utföra interpolationen. Med andra ord är effekten av ett fel i lutningsuppskattningen på interpolationen sällan allvarlig, eftersom den uppskattade punkten nästan alltid kommer att ligga mellan de två kända punkterna.
Å andra sidan, i fallet med extrapolering, eftersom när vi rör oss längre från den högsta (eller lägsta) punkten skillnaderna i linjens lutning har en ökande inverkan på värdet av y, är det mycket riskabelt att ta bara två poäng för att beräkna lutningen. I dessa fall är det som vanligtvis görs att anpassa flera punkter till den bästa linjen eller till en annan polynomfunktion av högre ordning genom processen med minsta kvadrater, och på så sätt säkerställa att linjen som vi extrapolerar framåt (eller bakåt) återspeglar det allmänna beteendet hos data som helhet och inte bara ett par av dem.
Linjärt interpolerat och extrapolerat
I fallet med linjär interpolation och linjär extrapolation används i huvudsak samma matematiska ekvationer. I båda fallen har interpolationsfunktionen formen y = mx + b, där y är värdet vi letar efter för ett givet värde på x, m är lutningen på den räta linje som vi anpassar data till, och b är snittet med y-axeln för interpolationsfunktionen.
Lutningen för en linjär funktion kan beräknas från två valfria punkter med hjälp av formeln:
Vi kan tillämpa denna formel två gånger, en gång mellan två valfria punkter i serien av kända data, och en annan mellan en känd punkt och den punkt vi vill hitta. Eftersom lutningen i båda fallen är densamma kan vi matcha båda uttrycken och på så sätt få formeln som relaterar värdet på y som vi letar efter till det vissa värdet på x som vi har.
Exempel
Antag att vi vill använda två på varandra följande punkter p k-1 =(x k-1 ; y k-1 ) och p k =(x k ; y k ) för att interpolera eller extrapolera vilken punkt som helst (x ; y). Vi kan sedan skriva lutningen två gånger och likställa för att få:
Om vi ordnar om denna ekvation får vi:
Observera att i det här fallet antas ingenting om positionen för punkten (x ; y) i förhållande till de två data som används för uppskattningen, så samma ekvation används för både interpolation och extrapolering.
Om det verifieras att x k-1 < x < x k , eller, med andra ord, att x ligger mellan x k-1 och x k , så är det en interpolation. Å andra sidan, om x>x max eller x<x min , det vill säga om x är större än maxvärdet eller mindre än minimivärdet för dataserien, så är det en extrapolering.
interpolationsexempel
Anta att vi vet att efterfrågan på pizzor i den venezuelanska staden Mérida är 500 000 enheter per år när det genomsnittliga priset per enhet är 20 USD, medan efterfrågan vid ett genomsnittspris på 15 USD ökar till 750 000. Vi är intresserade av att uppskatta vad efterfrågan skulle bli om vi satte priset till 16,5 USD.
Lösning
Observera att detta är ett exempel på interpolation, eftersom punkten vi vill uppskatta, motsvarande ett pris på $16,5, ligger mellan två kända punkter (dvs. den är mellan $15 och $20). För det här exemplet har vi:
Använd nu den linjära interpolationsformeln:
Således, om det genomsnittliga priset på pizzor sätts till 16,5 USD per enhet, kommer den årliga efterfrågan att vara 675 000 pizzor per år.
Exempel på extrapolering
Antag att vi i samma exempel ovan vill bestämma vad efterfrågan skulle vara om priset ökade till 25 USD per enhet. Eftersom det i detta fall är verifierat att x = $25 > $20, så är det en extrapolering. Återigen är uppgifterna:
Ersätter:
Därför förutspår extrapoleringen att om priset ökar till $25, minskas efterfrågan till hälften av vad den var vid $20.
Referenser
Alonso. (2006, 13 februari). 3 Metoder för interpolation från punkter . universitetet i Madrid. https://www.um.es/geograf/sigmur/temariohtml/node43_mn.html
Gonza, D. (2016, september). Enhet: interpolering och extrapolering av data . doloresgonza.files. https://doloresgonza.files.wordpress.com/2016/09/interpolacion-1.pdf
LesKanaris. (nd). Skillnaden mellan extrapolering och interpolation – Intressant – 2022 . https://us.leskanaris.com/3668-the-difference-between-extrapolation-and-interpolation.html
Pinzón, J. (2013, 9 oktober). Interpolation och Extrapolation . julianapinzon. https://julianapinzon.wordpress.com/interpolacion-y-extrapolacion/
UNIGAL. (2021, 14 september). Linjär interpolationsformel, definition, exempel och mer . https://unigal.mx/formula-de-interpolacion-lineal-definicion-ejemplos-y-mas/
