Hur variansen för en Poisson-fördelning beräknas

Variansen för en slumpvariabel är ett mått på dess spridning runt medelvärdet . Detta betyder att det är en kvantitet som indikerar den genomsnittliga spridningen av värdena för nämnda variabel på båda sidor om medelvärdet eller amplituden av dess sannolikhetsfördelning. Denna parameter är en viktig storhet för varje slumpvariabel, oavsett sannolikhetsfördelning.

Å andra sidan är Poisson -fördelningen en diskret sannolikhetsfördelning som tjänar till att modellera frekvensen med vilken diskreta händelser inträffar inom ett tidsintervall, även om det också kan hänvisas till i relation till andra kontinuerliga variabler, såsom längden på en tråd , en yta osv.

Poisson-fördelningen är av stor betydelse, eftersom den tillåter modelleringsprocesser lika dagligen som antalet personer som anländer i en linje till biljettkontoret på en bankomat, såväl som processer så komplexa som antalet radioaktiva sönderfall under ett givet tidsintervall. från ett prov av kärnavfall.

Matematisk definition av Poissonfördelningen

En slumpvariabel X följer en Poisson-fördelning om dess sannolikhetsmassfunktion eller PMF har följande form:

I formeln är λ en alltid positiv parameter för fördelningen och x representerar de olika värden som den slumpmässiga variabeln kan ta. I Poisson-processer representerar parametern λ generellt hastighet eller frekvens per tidsenhet, per ytenhet och så vidare.

Som vi kommer att visa senare är λ i sin tur medelvärdet av Poissonfördelningen, såväl som dess varians.

Nu när vi vet vad denna fördelningsfunktion är och vad den är till för, låt oss titta på en mer formell definition av varians, det allmänna sättet att beräkna den och slutligen hur variansen beräknas för det speciella fallet med Poisson-fördelningen.

Vad är variansen?

Matematiskt motsvarar variansen för en slumpvariabel X, betecknad i statistiken med Var(X) , det förväntade värdet på kvadraten på avvikelsen för nämnda variabel från dess medelvärde, vilket uttrycks med följande formel:

Även om den tidigare definitionen kan användas för att beräkna variansen för alla slumpmässiga variabler, kan den också beräknas enklare med det första och andra ordinarie momentet, eller moment runt ursprunget (m 1 , m 2 ₎ enligt _följande :

Det här sättet att beräkna variansen är bekvämare än det första, så det kommer att vara det vi kommer att använda i den här artikeln för att beräkna variansen för Poisson-fördelningen.

Beräkning av variansen av Poisson-fördelningen

Beräkning av medelvärde eller första ordinarie moment

Låt oss komma ihåg att för varje diskret fördelning kan medelvärdet eller förväntan på X bestämmas med hjälp av följande uttryck, som definierar det första ögonblicket:

Vi kan ta denna summa från x=1 och framåt, eftersom den första termen är noll. Dessutom, om vi nu multiplicerar och dividerar allt med λ och även ersätter x!/x med (x-1)! , vi får:

Detta uttryck kan förenklas genom att ändra variabeln y = x – 1 och lämna:

Funktionen inuti summeringen är återigen Poisson-sannolikhetsfunktionen, som per definition är summan av alla sannolikheter från noll till oändlighet av alla sannolikhetsfunktioner som måste vara lika med 1.

Vi har redan det första ögonblicket eller medelvärdet för Poisson-funktionen. Vi kommer nu att använda detta resultat och förväntan på kvadraten av X för att hitta variansen.

Beräkning av det andra ordinarie momentet

Det andra ögonblicket ges av:

Vi kan använda ett litet knep för att lösa denna summa som består av att ersätta x ² med x(x-1)+x:

Där vi använder föregående resultat i summeringens andra term multiplicerar vi och dividerar med λ ² för att få exponenten λ ^x-2 och vi tillämpar förändringen av variabeln y = x – 2 .

Nu återstår bara att ersätta dessa två moment i formeln för variansen, och vi kommer att få det förväntade resultatet:

Referenser

Devore, J. (2021). Sannolikhet och statistik för teknik och naturvetenskap . CENGAGE LÄRANDE.

Rodó, P. (2020, 4 november). Poissonfördelning . Ekonomipedia. https://economipedia.com/definiciones/distribucion-de-poisson.html

UNAM [Luis Rincon]. (2013, 16 december). 0625 Poisson Distribution [Video]. Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=y_dOx8FhHpQ