Sannolikhetsaxiom

Axiomen är en serie påståenden som accepteras som sanna utan att det behövs bevis, och som alla vetenskapsteorier och vetenskapsteorem bygger på. Därför är sannolikhetsaxiomen de grundläggande påståenden som sannolikhetsteorin bygger på . De representerar den ultimata referensramen till vilken alla existerande satser inom sannolikhetsteorin logiskt sett bör referera. De postulerades av den ryske matematikern Andrey Nikolaevich Kolmogorov 1933 och härrör enbart från sunt förnuft.

Syftet med sannolikhetsaxiomen är att formalisera det matematiska sannolikhetsbegreppet för att säkerställa att de numeriska värdena vi tilldelar sannolikheten för att något ska inträffa är förenliga med vår intuitiva sannolikhetsuppfattning.

Preliminära definitioner

Sannolikhetsteori är baserad på endast tre axiom , men innan du går in på detaljer är det nödvändigt att fastställa några grundläggande definitioner, såväl som några konventioner kring symboliken som används i sannolikhet:

• Experimentera. Det är varje handling eller process som genererar ett resultat eller observation. Att kasta ett mynt är till exempel ett experiment (en process eller handling) som kan resultera i huvuden eller svansar.
• Provutrymme ( S ). Hänvisar till uppsättningen av alla möjliga resultat av ett experiment och betecknas med symbolen S. I myntkastningsexemplet ovan består sampelutrymmet av bara två utfall: S ={huvuden, svansar}.
• Händelse ( E ). En händelse är en delmängd av provutrymmet, det vill säga valfritt antal möjliga resultat av experimentet. Händelser identifieras vanligtvis med versaler och tecknade bokstäver (som E ₁ , E ₂ , E ₃ , etc.) eller med olika bokstäver (A, B, C,…). Till exempel är det en händelse att komma upp i huvudet när man kastar ett mynt. Tails kommer upp är en annan händelse.
• Sannolikhet ( P ): Det är ett numeriskt värde som tilldelas en händelse, och som indikerar graden av säkerhet som man har om dess inträffande. Som en allmän regel gäller att ju säkrare du är på att en händelse (till exempel E ₁ ) kommer att inträffa, desto högre sannolikhetsvärde tilldelar du den händelsen.

set

Utöver dessa definitioner är det också användbart att komma ihåg några operationer relaterade till set. Skärningen mellan två mängder resulterar i en ny mängd med de element som är gemensamma för båda, den betecknas med symbolen ∩ och läses ”och”. Å andra sidan är föreningen mellan två uppsättningar en ny uppsättning med alla gemensamma och icke-gemensamma element av båda, den representeras av symbolen ∪ och den läses ”eller”.

Exempel:

• Uttrycket P(E ₁ ∩ E ₂ ) läses ”Sannolikhet att händelse E ₁ och händelse E ₂ inträffar samtidigt”
• Uttrycket P(E ₁ ∪ E ₂ ) läses ”Sannolikhet för att händelse E ₁ eller händelse E ₂ inträffar ” .

Sannolikhetsaxiom 1

Det första sannolikhetsaxiomet säger att, givet ett experiment, måste sannolikheten för att någon händelse inträffar (E) vara ett icke-negativt reellt tal. Detta uttrycks formellt som:

Axiom 1 representerar den intuitiva föreställningen att det är meningslöst att tala om en negativ sannolikhet . Den fastställer också noll sannolikhet som den nedre gränsen, som tilldelas en omöjlig händelse. Det senare definieras formellt som varje resultat (eller uppsättning resultat) som inte finns i experimentets provutrymme.

Exempel:

När du kastar en tärning endast en gång, kommer sampelutrymmet endast att bildas av uppsättningen S={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Det första axiomet säger att sannolikheten att få något av utfallen (4, till exempel) måste vara ett tal större än noll ( P(4)>0 ). Å andra sidan är sannolikheten att resultatet är 7, som inte är en del av sampelutrymmet, noll ( P(7)=0 ).

Observera att det första axiomet inte anger storleken på sannolikheten för möjliga händelser, det vill säga det anger inte vad sannolikheten måste vara för att tärningskastet resulterar i till exempel 4. Det specificerar bara att det måste vara något positivt tal..

Sannolikhetsaxiom 2

Det andra sannolikhetsaxiomet säger att för varje experiment är sannolikheten för sampelutrymmet 1 , eller formellt:

Ett enkelt sätt att förstå Axiom 2 är att sannolikheten för att något resultat, vad det än kan vara, kommer att erhållas i experimentet är 1.

Exempel:

Som nämnts ovan, när man kastar ett mynt finns det bara två möjliga utfall: huvuden eller svansar, så sannolikheten att det kommer upp i huvudet eller svansen, enligt Axiom 2, är 1.

Om det första axiomet sätter den nedre gränsen för sannolikhet till noll, sätter det andra axiomet sin övre gräns till 1. Detta beror på att sampelutrymmet är en viss händelse och dess sannolikhet därför måste vara den högsta möjliga sannolikheten.

Sannolikhetsaxiom 3

Om händelserna E ₁ , E ₂ , …, E _n inte har några gemensamma utfall (deras skärningspunkt är en tom mängd), sägs de vara ömsesidigt uteslutande, eftersom förekomsten av den ena utesluter förekomsten av den andra. Det tredje axiomet säger att unionssannolikheten för ömsesidigt uteslutande händelser är lika med summan av sannolikheterna för varje enskild händelse . Med andra ord:

För det enklaste fallet med endast två ömsesidigt uteslutande händelser (som i fallet med en myntkastning), är Axiom 3 formulerat enligt följande:

Detta axiom formaliserar tanken att ju fler möjliga utfall det finns för en händelse, desto mer sannolikt är det. Detta följer av det faktum att föreningen av två ömsesidigt uteslutande händelser per definition måste innehålla summan av alla utfall i båda händelserna.

Tillämpning av axiomen

Utöver de tidigare nämnda exemplen kan de tre axiomen användas för att konstruera och bevisa användbara satser inom sannolikhetsteorin. Ett enkelt exempel är att bestämma förhållandet mellan sannolikheterna för en händelse och dess komplement.

Om E är någon händelse, så definieras dess komplement (representerat av E ^c ) som händelsen att något annat än E inträffar , eller, vad som kommer till samma sak, att E inte inträffar . Denna definition har två konsekvenser:

• Att E och E ^c utesluter varandra.
• Unionen mellan E och Ec resulterar i sampelutrymmet, S ( E ∪ E ^c = S ⁾ .

Eftersom de utesluter varandra, baserat på det tredje axiomet, har vi det

Men eftersom detta förbund resulterar i S , alltså

Nu, genom att tillämpa det andra axiomet , blir detta

som omarrangeras som

Slutligen, eftersom vi vet från det första axiomet att P(Ec ⁾ måste vara en icke-negativ storhet, drar vi slutsatsen att sannolikheten för att någon händelse inträffar alltid kommer att vara lika med 1 minus sannolikheten att händelsen inte inträffar, och att någon av de två sannolikheterna måste ha ett värde i intervallet [0, 1].

Källor

Devone, JL (1998). Sannolikhet och statistik för teknik och vetenskap (4:e uppl.). International Thomson Publishers.