Tabla de Contenidos
Begreppet frihetsgrader förekommer ofta inom både matematik och statistik. Beroende på vilket område det gäller varierar konceptet avsevärt.
Det intuitiva konceptet om frihetsgrader
Intuitivt hänvisar antalet frihetsgrader till antalet fria val som vi kan göra i en given situation . Anta till exempel att en grupp på fem personer måste välja mellan 5 olika frukter. Den första personen är fri att välja någon av frukterna. Nästa kan du fritt välja bland de återstående fyra frukterna och så vidare. När han når den sista personen, eftersom det bara fanns 5 frukter i början, tvingas den här personen välja den sista frukten, vilket betyder att den sista personen i verkligheten inte hade någon valfrihet, medan de andra Ja.
I det här fallet säger vi att det fanns fyra frihetsgrader, eftersom efter att ha valt de första fyra frukterna bestämdes den femte personens frukt automatiskt.
Det bör noteras att anledningen till att de fem personerna inte hade möjlighet att välja sin frukt fritt är att det bara fanns fem frukter till att börja med. Om vi hade sagt åt de fem personerna att var och en välja den frukt de tyckte bäst om, utan att ange något alternativ, så hade alla fem personerna haft valfriheten. Detta visar att det faktum att det bara fanns fem frukter representerade en begränsning som minskade graderna av valfrihet.
frihetsgrader i matematik
Matematiskt definieras frihetsgraderna som antalet domändimensioner för en slumpmässig vektor . Detta betyder att de är antalet komponenter i en slumpmässig vektor vars värden vi måste ange för att känna till vektorn helt.
För att bättre förstå detta koncept, låt oss analysera det ur geometrisk synvinkel. Vi kan definiera en slumpmässig vektor som en som bildas av en uppsättning skalära slumpvariabler . Var och en av dessa slumpvariabler representerar en av komponenterna i vektorn i en dimension. Det vill säga antalet sådana variabler eller komponenter ( n ) definierar ett n-dimensionellt utrymme inom vilket den slumpmässiga vektorn kan röra sig fritt, så vi säger att vektorn har n frihetsgrader.
Till exempel, om vektorn består av en enda slumpvariabel, kan denna vektor endast variera fritt längs en enda dimension. Som en konsekvens av detta, för att definiera en viss vektor, är det bara nödvändigt att välja värdet på den enda slumpvariabeln, så vi säger att det bara finns en frihetsgrad.
Å andra sidan, om en vektor bildas av två komponenter, kan den representeras i ett tvådimensionellt utrymme, det vill säga i ett plan. Vi säger att denna vektor kan röra sig fritt längs två dimensioner beroende på de särskilda värden som dessa två slumpvariabler antar, så vi säger att den har två frihetsgrader.
Samma resonemang fungerar för en slumpmässig vektor med 3, 4 eller fler komponenter.
Ett typiskt exempel på en slumpmässig vektor som ofta används i statistik är ett urval av storlek n. I det här fallet är vart och ett av de n elementen i provet en slumpmässig variabel, och alla n värden utgör den slumpmässiga vektorn som motsvarar provet. Varje gång vi väljer ett nytt urval kan vi få en ny vektor, och det finns inget som hindrar oss från att fritt och oberoende välja var och en av de data som utgör provet.
Begränsningar av frihetsgrader
Av det som har förklarats i de föregående styckena kan man sluta sig till att varje slumpmässig vektor med n dimensioner (det vill säga bildad av n oberoende komponenter) kommer att ha n frihetsgrader, eftersom vilken som helst av de n komponenterna kan ha vilket värde som helst, dvs. , det finns inget som begränsar valet av var och en av de n slumpvariablerna.
Men om variablerna inte är oberoende av varandra, utan är relaterade av någon matematisk ekvation, minskar antalet frihetsgrader, eftersom det kommer att finnas variabler vars värde är helt bestämt när värdena väl har valts eller specificerats. de andra variablerna.
Dessa samband mellan de slumpmässiga variablerna som utgör vektorn är vad vi känner som begränsningar eller villkor, och är den matematiska motsvarigheten till villkoret ”det finns bara fem frukter” för vår intuitiva förklaring av frihetsgrader.
Exempel:
Antag att vi har en slumpvektor som består av de tre slumpvariablerna x , y och z . Inledningsvis har detta system tre frihetsgrader, eftersom vi måste välja värdena för de tre variablerna för att helt specificera en viss vektor.
Men anta nu att dessa variabler av någon anledning måste uppfylla villkoret att deras summa är lika med 5. Detta villkor begränsar vårt val av de särskilda värdena för varje variabel, eftersom, efter att ha valt de två första ( x och y , x y z eller y y z ) den tredje bestäms av ekvationen x + y + z = 5
Om vi till exempel väljer x = 10 och y = 5 , kan variabeln z inte anta något värde, utan måste nödvändigtvis vara värd –10 för att uppfylla det tidigare nämnda villkoret.
Om vi inkluderar fler begränsningar eller mer oberoende samband mellan variablerna kan vi ytterligare minska antalet frihetsgrader, ända ner till noll.
frihetsgrader inom statistik
Med det tydligare sättet att se på frihetsgrader i matematik blir det mycket lättare att förstå frihetsgrader inom statistikområdet, där de finner det mesta av sin användbarhet.
Frihetsgraderna används för att utföra beräkningen av statistik, samt för att definiera sannolikhetsfördelningar som t- studentfördelningen eller chi-kvadratfördelningen.
I dessa sammanhang består frihetsgraderna av antalet variabler som vi måste specificera för att bestämma värdet av någon statistisk variabel som urvalsmedelvärde, varians, urvalsstandardavvikelse etc.
Till exempel, när vi beräknar urvalets medelvärde för ett urval av storlek n, måste vi känna till alla värden för de n objekten i urvalet. Genomsnittet beräknas med hjälp av följande uttryck:
Men när urvalets medelvärde, som beräknar populationsmedelvärdet, har beräknats, kan det användas för att beräkna andra statistiska variabler såsom urvalsvariansen och standardavvikelsen. I dessa fall, givet att medelvärdet och de individuella värdena för provelementen är relaterade med hjälp av den föregående ekvationen, som representerar en begränsning, är det sant att varje kvantitet som beräknas från medelvärdet kommer att ha n-1 frihetsgrader :
Referenser
De la Cruz-Oré, JL (2013). Vad betyder frihetsgrader? Peruvian Journal of Epidemiology , 17 (2), 1–6. https://www.redalyc.org/pdf/2031/203129458002.pdf
DeVore, J. (2002). Sannolikhet och statistik för teknik och vetenskap (5:e uppl.). Thomson International.
Frihetsgrader . (2012, 18 november). Finansiell encyklopedi. http://www.enciclopediafinanciera.com/definicion-grados-de-libertad.html
Minitab Blog Editor. (2019, 18 april). Vad är frihetsgrader i statistik? Minitab-blogg. https://blog.minitab.com/en/what-are-degrees-of-freedom-in-statistics
Pacheco, J. (2019, 15 oktober). ▷ Frihetsgrader i statistik ( Vad är de och hur tillämpas de) | 2021 . Webb och företag. https://www.webyempresas.com/grados-de-libertad-en-estadistica/
