Vad är slumpmässig brownisk rörelse och vad gör det?

Brownsk rörelse är en observerbar slumpmässig rörelse i mycket små partiklar som är suspenderade i ett medium som en vätska eller en gas. Upptäckten av detta fenomen tillskrivs botanikern Robert Brown (därav hans namn) som 1827 rapporterade om den oberäkneliga rörelsen av de små pollenkornen från Clarkia pulchella- växten när de svävade i vatten.

Brownsk rörelse är av stor betydelse i vetenskapens historia eftersom det gav de första övertygande experimentella bevisen för existensen av atomer och molekyler. Dessutom lade han grunden för den experimentella bestämningen av Avogadros konstant, nödvändig för att definitivt fastställa den verkliga massan av atomer. Fram till dess hade massan av atomer varit en relativ skala.

Trots att han upptäckt det i pollenpartiklar bekräftade Robert Brown själv att rörelserna inte hade något att göra med partiklarnas biologiska ursprung, eftersom partiklar av något oorganiskt material också beskrev samma rörelse. Brown drog korrekt slutsatsen att detta måste vara en inneboende egenskap hos materien.

Einsteins modell

Den första som utvecklade en matematisk modell för Brownsk rörelse var Albert Einstein. I en tidning publicerad 1905 konstaterade Einstein att orsaken till pollenpartiklars rörelse var oupphörliga kollisioner av vattenmolekyler i alla riktningar. Enligt Einsteins modell är dessa kollisioner helt slumpmässiga, så vid varje given tidpunkt kan det bli fler kollisioner på ena sidan av pollenpartikeln än på den andra, vilket får partikeln att röra sig.

De viktigaste resultaten av Einsteins teori om Brownsk rörelse var:

• Uttrycket för fördelningen av Brownska partiklar runt en ursprungspunkt som en funktion av tiden.
• Förhållandet mellan rotmedelkvadratförskjutningen av en Brownsk partikel och dess diffusivitet (D), som kan relateras direkt till Avogadros konstant.

Fördelningen av bruna partiklar

Efter den matematiska och statistiska analysen av den Brownska rörelsen och av vattenpartiklarna i termodynamisk jämvikt kunde Einstein demonstrera att medelförskjutningen av partiklarna med avseende på ursprunget följer en normalfördelning (en Gaussisk klocka) som ges av följande ekvation :

Där ρ(x,t) är densiteten som en funktion av position och tid, N är antalet närvarande Brownska partiklar, x är förskjutningen eller avståndet från ursprungspunkten, D är diffusiviteten och t är tiden.

Denna ekvation förutsäger att om du börjar med en uppsättning N av Brownska partiklar vid en given punkt, kommer de att börja diffundera i alla riktningar och densiteten kommer att vara normalfördelad runt startpunkten. Allt eftersom tiden går kommer klockan att bli plattare och bredare, vilket gör partikeldensiteten mer och mer enhetlig.

I denna mening ger Einsteins modell av Brownsk rörelse en molekylär förklaring av diffusion, som förklarar hur och varför partiklar tenderar att diffundera från där de är mest koncentrerade (där deras densitet är störst) till där de är minst koncentrerade (där deras densitet är störst) . är mindre).

Uttrycket för rotmedelkvadratförskjutning

Från densitetsfördelningsekvationen kunde Einstein få flera viktiga resultat angående Brownsk rörelse. Ingen är dock viktigare än uttrycket för medelkvadratförskjutningen av den Brownska partikeln, det vill säga genomsnittet av kvadraten av partikelns förskjutningar vid varje tidpunkt i förhållande till dess utgångspunkt.

Einsteinfördelningen innebär att rotmedelkvadratförskjutningen ges av:

Sedan, genom att kombinera partikeldensitetsfördelningsfunktionen och Ficks diffusionslag, erhöll han ett andra uttryck för diffusivitet (D), som, när det ersätts med ovanstående ekvation, ger:

Vikten av ovanstående ekvation är att den relaterar två universella konstanter, den universella idealgaskonstanten (R) och Avogadros konstant (NA) , _med rotmedelkvadratförskjutningen av en Brownsk partikel. Alternativt kan du relatera denna förskjutning till Boltzmanns konstant, som inte är något annat än förhållandet mellan de två ovan nämnda konstanterna (k=R/N _A ). Detta öppnade för möjligheten att med hjälp av ett sinnrikt men nästan trivialt experiment bestämma värdet av en av de viktigaste konstanterna inom atomteorin.

Jean Baptiste Perrin fick Nobelpriset i fysik 1926 för sina bidrag till atomteorin om materien, och ett av hans viktigaste experiment bestod av den experimentella verifieringen av Einsteins teori om Brownsk rörelse. Hans experiment bestod av att registrera positionen för en kolloidal partikel var 30:e sekund och mäta avståndet mellan varje position. Dessa avstånd motsvarar partikelns förskjutningar efter 30 sekunder, med vilka han kunde konstruera en fördelning som perfekt passade Einsteins förutsägelse. Efter att ha bestämt partiklarnas medelkvadratförskjutning kunde han dessutom uppskatta värdet av konstanten eller Avogadros tal.

Brownska rörelseapplikationer

Teorin bakom den Brownska rörelsen finner flera tillämpningar inom mycket olika områden som är helt orelaterade till fysik men som beskriver slumpmässiga rörelser. Några av de viktigaste tillämpningarna av Brownsk rörelse är:

• Beskrivningen av diffusion av partiklar genom en vätska eller en gas.
• Beskriv och analysera banan för partiklar som joner eller andra lösta ämnen genom kanaler och porösa material.
• Beskriver och tillåter förutsägelser om prisfluktuationer på finansiella marknader.
• Det används vid modellering av vitt brus och andra typer av brus.
• Det tillämpas inom området syntetisk hydrologi och polymervetenskap.

Brownska rörelseexempel

Det finns många fenomen som vi kan observera i vårt dagliga liv som är en konsekvens av Brownsk rörelse. Några exempel är:

• Rörelsen av små dammpartiklar suspenderade på ytan av en vätska.
• Den oberäkneliga rörelsen av de små gasbubblorna som bildas på ytan av vissa kolsyrade drycker.
• De slumpmässiga rörelserna av luftburna dammpartiklar i frånvaro av luftströmmar.

Referenser

• Bodner, G. (2004). Hur bestämdes Avogadros nummer? Hämtad från https://www.scientificamerican.com/article/how-was-avogadros-number/
• Chi, M. (1973).  Praktisk tillämpning av fraktionerad Brownsk rörelse och brus . Hämtad från https://agupubs.onlinelibrary.wiley.com/doi/pdfdirect/10.1029/WR009i006p01523
• Encyclopedia Britannica Publishers (2017). Brownsk rörelse . Hämtad från https://www.britannica.com/science/Brownian-motion
• Tongcang Li, Mark G. Raizen (2013). Brownska rörelser på korta tidsskalor . Hämtad från https://doi.org/10.1002/andp.201200232