Tabla de Contenidos
Momentul de inerție de rotație sau, pur și simplu, inerția de rotație, este o mărime fizică scalară tipică oricărui obiect care are masă și care măsoară cât de dificil este să-l faci să se rotească în jurul unei anumite axe de rotație. Este echivalentul rotațional al inerției liniare și, ca atare, este o mărime care exprimă dificultatea de a modifica viteza unui obiect, indiferent dacă acesta este în repaus sau în mișcare, cu diferența că, în acest caz, este vorba despre unghiular. viteză.
Această mărime are o mare importanță în descrierea mișcării de rotație, deoarece ne permite să înțelegem diferența de comportament a corpurilor care, în ciuda faptului că au aceeași formă și masă exterioară, se comportă diferit atunci când sunt supuse unor forțe de cuplu care tind să le facă. a învârti. Această diferență apare din diferența de distribuție a masei corpului în jurul axei de rotație. Cele de mai sus implică faptul că același corp poate avea momente diferite de inerție de rotație în funcție de poziția sa față de axa de rotație, dând astfel naștere la formule diferite pentru calcularea momentului de inerție.
Acestea fiind spuse mai sus, este clar că există cât mai multe formule pentru a găsi momentul de inerție cât mai multe forme posibile ale obiectelor existente și axelor de rotație. Cu toate acestea, există unele cazuri particulare de forme geometrice regulate care se rotesc în jurul axelor care apar în mod natural în practică. În secțiunile următoare, vom vedea cele mai importante formule pentru determinarea momentului de inerție de rotație al acestor corpuri.
Formula pentru momentul de inerție al unei particule punctiforme
Momentul de inerție al unei particule punctiforme corespunde definiției inițiale a acestei mărimi fizice. Această expresie provine din expresia pentru energia cinetică de rotație când este scrisă în termeni de viteză unghiulară, w.
Să presupunem că avem o particulă de masă m care se rotește în jurul unei axe centrale ca următoarea:
Energia cinetică a acestei particule, ca și cea a oricărei alte particule în mișcare, este determinată de jumătate din produsul dintre masa sa și viteza sa (mărimea vitezei sale) ridicată la pătrat, adică 1/2 mv 2 . Totuși, dacă singura mișcare pe care o descrie această particulă este rotația în jurul axei (nu există translație), putem exprima viteza liniară a particulei în funcție de viteza sa unghiulară, scriind v = rω. Procedând astfel, energia cinetică, care în acest caz este exclusiv energie cinetică de rotație, este exprimată astfel:
Unde momentul de inerție, I , al particulei este definit ca:
În această expresie, m este masa particulei punctiforme și r este raza de rotație sau, ceea ce este același, distanța de la axa de rotație la particule.
Formula pentru momentul de inerție al unei colecții de particule punctiforme
Să presupunem acum că nu avem o singură particulă care se rotește în jurul unei axe, ci că avem un sistem format din n particule, fiecare cu o anumită masă, m i , și fiecare rotindu-se la o distanță r i de axa de rotație . , cum ar fi sistemul cu trei particule prezentat mai jos.
Dacă am dori să calculăm energia cinetică totală a acestui sistem, ar trebui doar să adunăm energiile cinetice ale fiecăreia dintre cele trei particule. Dacă extindem această idee la cazul general al n particule și presupunem că toate se mișcă cu aceeași viteză unghiulară (pentru că se rotesc împreună), atunci energia cinetică de rotație totală a sistemului va fi dată de:
De unde rezultă că momentul total de inerție al unui sistem de n particule care se învârt împreună în jurul aceleiași axe, fiecare având propria sa masă și propria sa rază de rotație, este dat de:
Această formulă funcționează atât pentru particulele punctiforme, cât și pentru particulele sferice de orice dimensiune, atâta timp cât axa de rotație este în afara sferei. Dacă această condiție este îndeplinită, atunci raza corespunde distanței dintre axa și centrul sferei, iar masa corespunde masei totale a sferei.
Formula integrală a momentului de inerție al corpurilor rigide
Formula de mai sus pentru momentul de inerție se aplică sistemelor formate din particule punctiforme și discrete. Cu toate acestea, ea poate fi extinsă la corpurile rigide care au o distribuție continuă a masei, așa cum se întâmplă aproximativ cu corpurile macroscopice.
În aceste cazuri, calcularea momentului de inerție constă în împărțirea corpului în elemente de masă mică (Δm i ), fiecare dintre ele situat la o distanță r i de axa de rotație, iar apoi aplicarea ecuației anterioare. Cu toate acestea, dacă împingem dimensiunea elementului de masă până la limita în care devine un element infinitezimal sau o diferenţială de masă (dm), atunci suma devine integrală, după cum se arată mai jos:
Aceasta este expresia generală pentru a găsi momentul de inerție al oricărui corp rigid, indiferent de forma acestuia sau de distribuția sa de masă. În cele mai multe cazuri, pentru a realiza integrarea, elementul de masă, dm , este înlocuit cu produsul densității corpului înmulțit cu diferența de volum, dV . Aceasta permite realizarea integrării pe întregul volum al corpului rigid, chiar dacă distribuția masei nu este uniformă (atâta timp cât se știe cum variază în funcție de poziție).
În acest caz, expresia integrală a momentului de inerție devine:
În continuare, vom prezenta rezultatul integrării expresiei anterioare pentru diferite corpuri rigide cu forme regulate, cum ar fi inele, cilindri și sfere, printre altele. În toate cazurile descrise mai jos, dimensiunile și masele corpurilor considerate sunt reprezentate cu majuscule, pentru a le distinge de variabilele de integrare.
Formula pentru momentul de inerție al unui inel subțire uniform de rază R în jurul axei sale centrale
Unul dintre cele mai simple cazuri de integrare a ecuației anterioare este cel al unui inel uniform care se rotește în jurul centrului său de simetrie. Figura următoare arată acest caz.
În cazul particular în care grosimea inelului este neglijabilă în comparație cu raza lui, îl putem considera ca o masă distribuită de-a lungul unei circumferințe fără grosime, astfel încât toate elementele de masă se află în esență pe aceeași rază, în acest caz, R. În aceste condiții, raza părăsește integrala, rămânând doar integrala masei diferențiale, dm, care este pur și simplu masa inelului, M. Rezultatul este:
În această expresie, CM indică faptul că este momentul de inerție față de centrul său de masă.
Formula pentru momentul de inerție al unei sfere solide cu raza R care se rotește în jurul centrului său
În cazul unei sfere solide de rază R și densitate uniformă, care se rotește în jurul oricăruia dintre diametrele sale (o axă care trece prin centrul său) precum cea prezentată mai jos, integrala anterioară poate fi rezolvată în diferite moduri, printre care se numără folosind un sistem de coordonate sferice.
Rezultatul integrării în acest caz este:
Formula pentru momentul de inerție al unei învelișuri sferice cu raza internă R 1 și raza externă R 2 în jurul centrului său
Dacă în loc de sferă solidă este o sferă goală sau înveliș sferic cu pereți groși, trebuie să luăm în considerare două raze, cea externă și cea internă. Acestea sunt prezentate în figura următoare.
În acest caz, soluția este de a considera învelișul sferic ca o sferă cu raza R2 din care a fost îndepărtată din centrul său o sferă din același material a cărei rază este R1. După determinarea masei pe care ar fi avut-o sfera mare și cea a sferei mici care a fost retrasă prin densitatea învelișului original, inerțiile ambelor sfere se scad pentru a obține:
Formula pentru momentul de inerție al unei învelișuri sferice subțiri cu raza R în jurul centrului său
În cazul în care grosimea învelișului sferic este neglijabilă în comparație cu raza sa sau, ceea ce este la fel, că R 1 este practic egal cu R 2 , putem calcula momentul de inerție ca și cum ar fi o distribuție de suprafață a masei, toate acestea situate la o distanta R de centru.
În acest caz avem două opțiuni. Primul este de a rezolva integrala de la zero. Al doilea este de a lua rezultatul anterior, cel al învelișului sferic gros, și de a obține limita atunci când R1 tinde spre R2. Rezultatul este următorul:
Formula pentru momentul de inerție al unei tije subțiri de lungime L în jurul unei axe perpendiculare prin centrul său de masă
Când avem o bară subțire, în esență, ne putem gândi la ea ca la o distribuție liniară a masei, indiferent de forma profilului acesteia (adică indiferent dacă este o bară cilindrică, pătrată sau orice altă formă). In aceste cazuri, singurul lucru care conteaza este ca aluatul sa fie distribuit uniform pe lungimea batonului.
În acest caz, momentul de inerție este exprimat astfel:
Formula pentru momentul de inerție al unei tije subțiri de lungime L în jurul unei axe perpendiculare printr-un capăt
Acesta este același caz ca mai sus, dar cu întreaga bară rotindu-se în jurul unei axe perpendiculare de la un capăt:
Deoarece masa barei se află, în medie, la o distanță mai mare de axa de rotație, momentul de inerție va fi mai mare. De fapt, este de patru ori mai mare decât cazul precedent, după cum arată următoarea expresie:
Rețineți că în acest caz axa nu trece prin centrul de masă, astfel încât indicele CM al simbolului momentului de inerție a fost omis.
Formula pentru momentul de inerție al unei bare cilindrice solide cu raza R în jurul axei sale centrale
Acest caz este rezolvat într-un mod foarte simplu folosind un sistem de coordonate cilindric și considerând cilindrul ca și cum ar fi format din cochilii cilindrice concentrice de lungime egală, dar cu raze diferite. Atunci raza este integrată de la r = 0 la r = R.
Rezultatul acestui proces este formula pentru inerția unei bare cilindrice, care este:
Trebuie remarcat faptul că, întrucât acest rezultat nu depinde de lungimea cilindrului, aceeași expresie poate fi folosită și pentru cazul unui disc circular.
Formula pentru momentul de inerție al unui cilindru tubular cu raza internă R 1 și raza externă R 2 în jurul axei sale centrale
Acest caz este similar cu cel al carcasei sferice groase. Se aplică atunci când grosimea învelișului sau diferența dintre razele sale externe și interne este de același ordin de mărime cu razele în sine și, prin urmare, nu putem considera că masa este concentrată pe o suprafață. Dimpotrivă, trebuie să considerăm că este o distribuție tridimensională a masei de-a lungul grosimii cochiliei.
Ca și în cazul carcasei sferice groase, momentul de inerție al unui cilindru gol cu o rază interioară de R 1 și o rază exterioară de R 2 poate fi găsit prin integrare directă sau prin scăderea momentului de inerție din cilindru care a fost retras la deschiderea orificiului central, al momentului de inerție al unui cilindru plin care are aceeași densitate ca și carcasa, folosind formula din secțiunea precedentă pentru fiecare dintre aceste două inerții.
Rezultatul oricăreia dintre aceste două strategii este același și este prezentat mai jos:
Ca și în cazul precedent, deoarece acest rezultat nu depinde de lungimea cilindrului, îl putem folosi pentru a calcula momentul de inerție al unui disc circular cu o gaură în centru, cum ar fi, de exemplu, o șaibă sau un disc Blu-ray.
Formula pentru momentul de inerție al unei învelișuri cilindrice subțiri cu raza R în jurul axei sale centrale
În cazul în care avem un cilindru gol ca cel prezentat în figura următoare, în care grosimea carcasei cilindrice este foarte mică în comparație cu raza cilindrului, putem presupune că masa este distribuită doar pe suprafața cu raza R. .
Ca și în celelalte cazuri, putem realiza integrarea directă folosind densitatea masei suprafețe, sau putem evalua rezultatul învelișului cilindric gros în limita în care R1 tinde spre R2. Rezultatul este:
Din nou observăm că acest rezultat este independent de lungime. Aceasta înseamnă că se aplică în mod egal unui cerc subțire. De fapt, putem verifica că este același rezultat obținut în secțiunea corespunzătoare unui inel subțire.
Formula pentru momentul de inerție al unei plăci dreptunghiulare regulate în jurul unei axe perpendiculare prin centrul acesteia
În cele din urmă, luați în considerare cazul unei plăci dreptunghiulare care se rotește în jurul unei axe perpendiculare pe oricare dintre suprafețele sale, trecând prin centrul său de masă, ca cel prezentat mai jos.
Rezultatul integrării directe este:
Ca și în cazurile anterioare, acest rezultat este independent de înălțimea sau grosimea plăcii, deci se aplică în mod egal la o foaie de hârtie ca și la un bloc de ciment solid.
Referințe
Academia Khan. (nd). Inerția de rotație (articol) . https://en.khanacademy.org/science/physics/torque-angular-momentum/torque-tutorial/a/rotational-inertia
O clasă. (2020, 6 octombrie). OneClass: Începând cu formula pentru momentul de inerție al unei tije . https://oneclass.com/homework-help/physics/6942744-moment-of-inertia-bar.en.html
Serway, RA, Beichner, RJ și Jewett, JW (1999). Fizica pentru oameni de știință și ingineri cu fizică modernă: 2: Vol. Vol. I (ediția a cincea). McGraw Hill.
Snapsolve. (nd). Momentul de inerție al unei învelișuri sferice groase goale . https://www.snapsolve.com/solutions/Themoment-of-inertia-of-a-hollow-thick-spherical-shell-of-mass-M-and-its-inner-r-1681132593667073
