Care este probabilitatea de a alege aleatoriu un număr prim?

În matematică, numerele prime sunt unul dintre subiectele comune atunci când se studiază numerele întregi. Deoarece numerele prime sunt infinite, un exercițiu interesant de exersat cu ele este acela de a afla care este probabilitatea ca un număr de la 1 la X ales la întâmplare să fie un număr prim.

Ce sunt numerele prime

Numerele prime sunt cele care sunt divizibile doar cu 1 și prin ele însele, adică cu numărul în cauză. Aceasta înseamnă că atunci când este împărțit la orice alt număr, rezultatul nu dă un număr întreg. De asemenea, se consideră că există un număr infinit de numere prime.

Spre deosebire de numerele prime, numerele compuse sunt acelea care pot fi împărțite la 1, la ele însele și la alte numere.

Numărul 1 nu este considerat un număr prim și nici nu este un număr compus.

Numerele prime și Sita Eratostene

Pentru a găsi rapid toate numerele prime, matematicianul grec Eratosthenes (secolul al III-lea î.Hr.) a creat o modalitate rapidă de a obține toate numerele prime până la un anumit număr. Această metodă este cunoscută sub numele de „Sita Eratosthenes”.

Sita Eratosthenes este un algoritm care permite cunoașterea tuturor numerelor prime mai mici decât un număr natural dat. Pentru a face acest lucru, se creează un tabel cu toate numerele naturale cuprinse între 2 și numărul ales (n). În acest exemplu, n este 100.

Apoi, numerele care nu sunt prime sunt tăiate. Mai întâi, începeți cu 2 și tăiați toți multiplii. Când se găsește un număr neîncrucișat, toți multiplii acestuia sunt tăiați și așa mai departe. Această procedură se încheie când se obține pătratul următorului număr confirmat ca prim care este mai mare decât „n”.

Folosind Sita Eratosthenes vom obține 25 de numere prime între 0 și 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 , 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Alte exemple de numere prime

Alte exemple de numere prime între 100 și 1000 sunt: ​​101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 91, 91, 173, 173, 91, 91 , 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 313, 307, 313, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 1, 3 349 , 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 449, 457, 469, 461, 461, 461, 461, 461, 431, 433, 439, 443, 449 499 , 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 613, 617, 619, 619, 619, 619, 619, 619, 619, 619 659 , 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 798, 8, 8, 2, 8, 8, 8, 8, 8 829 , 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 973, 971, 97, 91, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9.

problema numerelor prime

Așa cum este aproape întotdeauna cazul în matematică, cel mai bun mod de a înțelege cum sunt calculate numerele prime este rezolvarea problemelor. Acum să vedem o problemă simplă pentru a ști cu ce probabilitate putem selecta un număr prim.

În primul rând, vom alege un număr întreg pozitiv, care poate fi 1, 2, 3 etc., până la un anumit număr X. Apoi, trebuie să alegem aleatoriu unul dintre aceste numere. Aceasta înseamnă că toate numerele X au probabilități de a fi alese.

Soluția la această problemă este simplă pentru numerele X care sunt mici. Problema este rezolvată urmând acești pași:

• Primul pas:
  • Numărați numărul de numere prime care sunt mai mici sau egale cu X.
• Al doilea pas:
  • Împărțim numărul de numere prime mai mici sau egale cu X la însuși numărul X. Adică dacă dorim să cunoaștem probabilitatea de a alege un anumit număr prim de la 1 la 10, trebuie să împărțim numărul de numere prime la 10.

De exemplu, pentru a găsi probabilitatea ca un prim de la 1 la 10 să fie selectat, trebuie să împărțim numărul de numere prime la 10. Deoarece există 4 numere prime de la 1 la 10: 2, 3, 5, 7, probabilitatea de a selecta un numărul prim este: 4/10 = 0,4, adică 40%.

În același mod, dacă dorim să știm care sunt probabilitățile ca un număr prim de la 1 la 50 să fie selectat, se pot efectua pașii anteriori. Numărăm numerele prime mai mici decât 50, care sunt 15: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 și 47. Și împărțim această sumă la 50: 15 /50 = 0,3, adică 30%. Prin urmare, există o șansă de 30% de a alege un număr prim de la 1 la 50.

Care este teorema numerelor prime

O altă modalitate de a cunoaște numerele prime până la un anumit număr și de a calcula probabilitatea de a alege unul dintre ele este să folosiți Teorema numerelor prime . Această teoremă a fost enunțată de matematicianul german Gauss în secolul al XVIII-lea și demonstrată aproape un secol mai târziu de alți matematicieni, precum francezul Jacques Hadamard și belgianul Charles-Jean de la Vallée Poussin.

Teorema numerelor prime afirmă că există aproximativ X / ln(X) de numere prime care sunt mai mici sau egale cu X. În această afirmație:

• ln(X): este logaritmul natural al lui X.
• X: este numărul până la care dorim să cunoaștem numerele prime.

Pe măsură ce valoarea lui X crește, eroarea relativă dintre numărul de numere prime mai mici decât X și afirmația X / In(X) scade.

Cum se aplică teorema numerelor prime

Cu Teorema numerelor prime putem rezolva probleme similare cu cea anterioară, mai ales dacă dorim să cunoaștem numerele prime din cantități mai mari de numere.

Prin teorema numerelor prime, știm că există aproximativ X/ln(X) numere prime care sunt mai mici sau egale cu X. În plus, există un total de X numere întregi pozitive mai mici sau egale cu X. Prin urmare, probabilitatea că un număr selectat aleatoriu din acest interval este prim este: ( X / ln(X) ) / X = X / ( ln(X) . X ) = 1 / ln(X).

De exemplu, putem folosi acel rezultat pentru a calcula, aproximativ, probabilitatea de a selecta aleatoriu un număr prim dintre primul milion de numere întregi.

Pentru a face acest lucru, trebuie să calculăm logaritmul natural al unui milion. Prin urmare, avem:

P(1.000.000) = (X/ln(X) / X = 1 / ln(X)

P(1.000.000) = 1 / ln(1.000.000)

Deci obținem ln(1.000.000) = 13,8155 și 1 / ln(1.000.000) este aproximativ 0,07238. Prin urmare, avem aproximativ 7,238% șanse de a alege aleatoriu un număr prim din primul milion de numere întregi.

Bibliografie

• López Mateos, M. Matematică de bază. (2017). Spania. CreateSpace.
• dk. Cartea de matematică. (2020). Spania. dk.
• Gracian, E. Numerele prime: un drum lung către infinit. (2010). Spania. Cărți RBA.