Tabla de Contenidos
Definiția evenimentelor care se exclud reciproc poate fi dată în moduri diferite. Pentru început, se spune că două evenimente se exclud reciproc sau sunt disjunctive dacă apariția unuia exclude posibilitatea ca celălalt să se producă . Aceasta înseamnă că sunt evenimente care nu pot avea loc simultan . De exemplu, când aruncați un zar o singură dată, rezultatul aterizării pe oricare dintre cele șase fețe îl exclude de la aterizarea pe oricare dintre celelalte cinci. Astfel, evenimentul care aterizează 4 și evenimentul care aterizează, să zicem, 3, se exclud reciproc, deoarece zarul nu poate ajunge atât pe 4, cât și pe 3 în același timp.
Pe de altă parte, în domeniul probabilității se spune că două evenimente se exclud reciproc atâta timp cât nu împart rezultatele unul cu celălalt . Aceasta provine din faptul că, probabil, un eveniment este considerat ca un set de rezultate posibile ale unui experiment. Pot fi definite diferite evenimente care împărtășesc sau nu rezultate, iar cele care nu împărtășesc rezultate sunt considerate care se exclud reciproc.
În termeni matematici mai formali și folosind notația teoriei mulțimilor, evenimentele A și B se vor exclude reciproc dacă intersecția lor este mulțimea goală , adică nu se intersectează. Cu alte cuvinte, A și B se vor exclude reciproc atâta timp cât A ∩ B = Ø.
Când două evenimente se exclud reciproc?
În cazurile în care logica nu ne spune în avans dacă două evenimente se exclud reciproc, teoria mulțimilor și probabilitatea oferă soluția. Iată trei moduri ușoare de a determina, fără îndoială, când două evenimente se exclud reciproc sau disjunc.
Observarea elementelor din fiecare set
Atunci când două evenimente conțin un set finit și mic de elemente, este foarte ușor să determinați dacă sunt sau nu disjunctive, pur și simplu verificând dacă conțin sau nu elemente în comun.
Exemplu
Luați în considerare, de exemplu, experimentul de a arunca două zaruri simultan. Acum să definim următoarele două evenimente:
- Fie A evenimentul în care suma celor două zaruri este mai mare sau egală cu 10.
- Fie B evenimentul în care suma celor două zaruri este exact egală cu 8.
Este ușor să determinați ce rezultate sunt incluse în fiecare eveniment. În primul, doar rezultatele (5,5); (5,6) și (6,6) au ca rezultat o sumă mai mare sau egală cu 10. Pe de altă parte, numai rezultatele (4,4); (5,3) și (6,2) dau 8. Deci acum putem scrie, folosind simbolul teoretic multimilor:
Deoarece nu există elemente comune, intersecția este mulțimea goală și, prin urmare, evenimentele se exclud reciproc.
Folosind diagramele Venn
O altă modalitate foarte simplă de a determina dacă două evenimente se exclud reciproc este reprezentarea lor într-o diagramă Venn. În aceste diagrame, spațiul eșantion este reprezentat printr-un dreptunghi (sau altă formă), în timp ce toate evenimentele sunt reprezentate ca zone interne ale spațiului eșantion.
Într-o diagramă Venn, evenimentele care se exclud reciproc sunt ușor de recunoscut ca acele zone din dreptunghi care nu se ating sau nu se suprapun.
După probabilitatea unirii
În unele cazuri, cele două metode de mai sus nu pot fi aplicate. O modalitate alternativă de a verifica dacă două evenimente se exclud sau nu reciproc este prin probabilitate. Dacă sunt cunoscute probabilitățile individuale ale fiecărui eveniment, adică P(A) și P(B), precum și probabilitatea ca unul sau celălalt eveniment să se producă, adică P(AUB), atunci știm că două evenimente sunt disjunctive.daca se indeplineste ca:
O modalitate alternativă este prin probabilitatea de intersecție. Două evenimente se vor exclude reciproc atâta timp cât P(A ∩ B) = 0 .
Exemple de evenimente care se exclud reciproc
Evenimentele simple se exclud întotdeauna reciproc
Evenimentele simple sunt cele care conțin un singur rezultat. Când se aruncă un zar cu șase fețe, evenimentul în care apare 6 este un eveniment simplu, deoarece este format doar din rezultatul 6. Pe de altă parte, evenimentul în care apare chiar nu este simplu, deoarece este format din trei rezultate, care sunt 2, 4 și 6.
Toate evenimentele simple dintr-un experiment se vor exclude întotdeauna reciproc.
Exemplu
Să presupunem că un studiu determină numărul de bărbați născuți pe săptămână într-un spital. Spațiul eșantion, S , pentru acest experiment este
Câteva evenimente simple ar fi:
După cum se vede, întrucât nu au mai mult de un rezultat și toate sunt diferite, niciunul dintre aceste evenimente nu poate împărtăși elemente cu altul și, prin urmare, se vor exclude întotdeauna reciproc.
Arunca trei zaruri simultan
Aruncarea a trei zaruri în același timp este un experiment care poate avea 36 de rezultate diferite, deoarece ordinea zarurilor nu contează: rezultatele (1,2,3); (1,3,2); (2,1,3); (2,3,1); (3,1,2) și (3,2,1) reprezintă toate același rezultat.
Imaginează-ți că au loc următoarele trei evenimente:
- A = eveniment în care toate zarurile dau același rezultat.
- B = eveniment în care doar două zaruri dau același rezultat.
- C = eveniment în care toate zarurile dau rezultate diferite.
Numai prin bunul simț, se poate concluziona că A, B și C sunt toate evenimente care se exclud reciproc, deoarece dacă toate zarurile dau același rezultat (se produce evenimentul A), este imposibil ca doar două să fie la fel și unul diferit, sau ca toate sa fie diferite.
Joc de cărți
Imaginează-ți un experiment în care două cărți sunt extrase la întâmplare dintr-un pachet de 52 de cărți de poker. Acum să definim următoarele evenimente:
- A = sunt desenate doar puncte roșii.
- B = sunt desenate doar puncte negre.
Aceste evenimente se exclud reciproc, deoarece dacă ambele cărți sunt roșii, ambele nu pot fi negre și invers.
Exemple de evenimente care nu se exclud reciproc
Arunca trei zaruri simultan
Să luăm același experiment cu trei zaruri descris mai sus, dar acum definiți următoarele evenimente:
- A = eveniment în care toate zarurile sunt egale = {(1,1,1); (2,2,2); (3,3,3);…}
- B = eveniment în care toate zarurile sunt pare = { (2,2,2); (2,2,4); (2,2,6)…}
Comparând elementele din interiorul A și B, este ușor de observat că vor exista potriviri și că intersecția dintre A și B va fi:
Deoarece intersecția nu este mulțimea goală, atunci aceste evenimente nu sunt disjunctive.
Joc de cărți
Repetând același experiment de a trage două cărți dintr-un pachet, să luăm în considerare următoarele evenimente noi:
- A = cel puțin o carte este inimioare.
- B = cel puțin o carte este un rege.
În acest caz, ori de câte ori este extras un Rege al Inimilor, A și B apar în același timp. De fapt, acesta nu este singurul rezultat care se întâmplă, deoarece dacă sunt extrași un King of Spades și un As of Hearts, A și B vor avea loc și ei simultan. Prin urmare, A și B nu sunt evenimente care se exclud reciproc.
Importanța și aplicarea evenimentelor care se exclud reciproc
În matematică, calculul probabilității evenimentelor multiple depinde într-o mare măsură de dacă acestea se exclud sau nu reciproc. De exemplu, una dintre axiomele probabilității afirmă că probabilitatea de unire a mai multor evenimente este egală cu suma probabilității individuale a fiecărui eveniment dacă și numai dacă toate evenimentele se exclud reciproc . Cu alte cuvinte,
Doar dacă A și B sunt evenimente disjunse sau care se exclud reciproc.
Dacă nu se exclud reciproc, atunci suma probabilităților contează de două ori probabilitatea rezultatelor comune ambelor evenimente, adică probabilitatea intersecției. Din acest motiv, în aceste cazuri, probabilitatea de unire este calculată într-un mod diferit:
Pentru trei evenimente, A, B și C care nu se exclud reciproc și care se intersectează, lucrurile devin și mai complicate:
În acest caz, probabilitatea de intersecție a celor trei evenimente, P( A ∩ B ∩ C) , trebuie adăugată ultima, deoarece a fost scăzută de trei ori prin scăderea intersecțiilor diferitelor perechi de evenimente.
