Regula de multiplicare pentru evenimente independente

Există multe situații în care ne interesează să aflăm probabilitatea ca două evenimente să se producă simultan. Unii dintre ei sunt:

• Găsiți probabilitatea de a arunca un șase dublu atunci când aruncați două zaruri simultan sau unul după altul.
• Găsiți probabilitatea ca o persoană aleasă la întâmplare dintr-un grup să fie atât femeie, cât și cu pielea închisă la culoare.
• Probabilitatea de a alege o pereche de elevi de sex opus dintr-o secțiune a școlii.
• Probabilitatea ca două sisteme de control redundante să eșueze în același timp la lansarea unei rachete spațiale.

Această clasă de probleme poate fi rezolvată prin intermediul regulii generale a înmulțirii probabilităților. Această regulă stabilește că, pentru două evenimente A și B, probabilitatea ca acestea să se producă simultan, adică probabilitatea de intersecție, este dată de:

În această ecuație, P(A|B) este probabilitatea condiționată ca evenimentul A să aibă loc dat de B. Cele de mai sus este regula generală de înmulțire și se aplică oricărei perechi de evenimente. În unele cazuri, probabilitatea condiționată este necunoscută sau dificil de determinat; totuși, în cazul evenimentelor independente, această probabilitate este simplificată pentru a da naștere regulii înmulțirii pentru evenimente independente.

Regula de multiplicare pentru evenimente independente

Ce sunt evenimentele independente?

Două evenimente A și B sunt independente unul de celălalt dacă apariția unuia dintre ele nu afectează probabilitatea ca celălalt să se producă. În termeni matematici, aceasta implică faptul că probabilitatea condiționată de apariție a oricărui eveniment, dat fiind că știm că celălalt a avut loc, este egală cu probabilitatea simplă a producerii primului eveniment. Cu alte cuvinte, două evenimente vor fi independente numai dacă:

Interpretarea celor de mai sus este că probabilitatea ca A să se întâmple, având în vedere că a avut loc B, este egală cu probabilitatea ca A să se întâmple. Aceasta implică faptul că apariția lui B nu a afectat probabilitatea ca A să apară, deci ambele evenimente au loc. cale.

Orice pereche de evenimente care nu satisface condiția de mai sus va fi evenimente dependente.

Cum este afectată regula înmulțirii în acest caz?

După cum vedem, prima expresie a condiției de independență poate fi folosită pentru a simplifica regula generală de înmulțire, întrucât primul factor poate fi înlocuit cu probabilitatea simplă a lui A, obținându-se astfel următoarea expresie:

Expresia de mai sus este cunoscută ca regula înmulțirii probabilităților pentru evenimente independente . Implică faptul că dacă știm că două evenimente sunt independente unul de celălalt și cunoaștem probabilitățile lor de apariție, atunci putem găsi probabilitatea ca ambele să se producă în același timp pur și simplu prin înmulțirea acestor probabilități.

Exemple de evenimente independente

Lipsa de informații poate face dificilă identificarea dacă două evenimente sunt independente. De exemplu, am putea crede că a avea părul brun nu are nimic de-a face cu apariția cancerului de sân, dar fiziologia corpului uman este atât de complexă încât niciun medic nu ar îndrăzni să facă această afirmație.

Cu toate acestea, există multe experimente simple în care putem identifica cu ușurință dacă două evenimente sunt sau nu independente.

• Aruncă două zaruri în același timp. La aruncarea a două zaruri, rezultatul unuia nu afectează în niciun fel rezultatul care poate apărea pe celălalt, deci evenimentul că un zar ajunge pe un anumit număr este independent de evenimentul în care celălalt zar ajunge pe un alt număr. sau la fel, chiar.
• Rezultatele aruncării aceluiași zar de două ori la rând sunt, de asemenea, independente unele de altele din aceleași motive.
• Aruncă o monedă de două ori. Faptul că aterizează cu cap sau cozi prima dată nu va afecta rezultatul următoarei aruncări.
• Într-o fabrică de frigidere care are două linii de producție independente pentru componente care utilizează materii prime și forță de muncă separate, este acceptabil să presupunem că probabilitatea ca unul dintre cele două componente să defecteze este independentă de probabilitatea ca celălalt să eșueze.
• Extragerea aleatorie a unei cărți sau pachete dintr-un pachet, înlocuirea acesteia și apoi extragerea aleatorie a unei alte cărți din pachet sunt evenimente separate, deoarece înlocuirea cărții originale în pachet resetează șansele de a trage oricare dintre cărțile originale.

Exemple de evenimente care nu sunt independente

• Tragerea aleatorie a unei cărți sau pachete dintr-un pachet și apoi tragerea unei alte cărți din același pachet fără a înlocui prima nu sunt evenimente independente, deoarece extragerea primei reduce numărul total de cărți prezente în pachet, ceea ce afectează probabilitatea oricărei cărți. iese alt card. De asemenea, dacă nu înlocuim prima carte, probabilitatea ca acel card să iasă a doua oară devine zero.
• Într-o mașină care funcționează, probabilitatea ca motorul mașinii să se supraîncălzească și probabilitatea ca pompa de apă care răcește motorul să se defecteze nu sunt evenimente independente, deoarece dacă pompa de apă se defectează, devine mult mai probabil.motorul se supraîncălzi.
• Un exemplu și mai ușor de înțeles este că obținerea de note bune la statistică nu este independentă de studiu , deoarece dacă studiem, avem șanse mai mari să obținem note bune.

Exemple de calcule de probabilitate folosind regula înmulțirii pentru evenimente independente

Exemplul 1: Aruncarea unei monede de două ori

Să presupunem că vrem să calculăm probabilitatea ca atunci când aruncăm o monedă de două ori, rezultatul este cap la ambele aruncări.

Dacă numim A evenimentul în care prima aruncare aterizează cap și B eveniment în care a doua aruncare aterizează cap, atunci probabilitatea pe care ni se cere să o calculăm este probabilitatea de intersecție a lui A cu B, deoarece vrem să se întâmple ambele evenimente. . Adică, necunoscuta este P(A∩B).

Deoarece există doar două rezultate posibile pentru fiecare aruncare, probabilitatea ca oricare dintre evenimente să se producă este aceeași:

Acum, deoarece știm că evenimentele sunt independente, putem folosi regula înmulțirii pentru a determina probabilitatea intersecției:

Exemplul 2: Aruncarea a două zaruri

Să calculăm probabilitatea ca, la aruncarea a două zaruri comune cu șase fețe, unul dintre ele să cadă pe una, iar al doilea pe un număr par.

Să numim următoarele evenimente A și B:

       A = unul dintre zaruri aterizează pe 1.

       B = unul dintre zaruri aterizează pe un număr par.

Ceea ce vrem să calculăm este, din nou, P(A∩B).

Deoarece rezultatul fiecărui zar este independent de numărul care rezultă în celălalt, putem calcula P(A∩B) folosind regula înmulțirii pentru evenimente independente. Dar mai întâi, avem nevoie de probabilitățile lui A și B.

zarul are 6 fețe cu numerele de la 1 la 6, care nu se repetă. Prin urmare, există un singur 1 și există trei numere pare, și anume 2, 4 și 6. Prin urmare, probabilitățile ca evenimentele separate să se producă sunt:

Folosind aceste probabilități și regula înmulțirii, obținem probabilitatea dorită:

Exemplul 3: Piese care defectează

O fabrică care construiește echipamente informatice folosește, printre alte componente, două cipuri diferite sau circuite integrate de la doi producători diferiți. Potrivit producătorului primului cip, probabilitatea ca acesta să eșueze în condiții normale de funcționare este de 0,00133. La rândul său, al doilea producător se laudă că doar două dintre cipurile sale defectează la fiecare 5.000 de unități instalate. Proprietarul fabricii dorește să găsească probabilitatea ca ambele componente să se defecteze în același timp. Eșecul fiecărei mărci de cip poate fi considerat independent de celălalt.

În acest caz, declarația în sine specifică că cele două evenimente sunt independente, așa că putem folosi regula înmulțirii de mai sus. În plus, este furnizată și probabilitatea de defectare a primului cip, pe care îl vom numi eveniment A. Probabilitatea de defectare a celui de-al doilea cip (eveniment B) poate fi calculată din informațiile furnizate de producător:

Deci probabilitatea ca ambele componente să eșueze în același timp este:

Referințe

Probabilitate condiționată și independență . (nd). Universitatea de Sănătate din Florida. https://bolt.mph.ufl.edu/6050-6052/unit-3/module-7/

Devore, JL (1998). PROBABILITATE ŞI STATISTICĂ PENTRU INGINERIE ŞI ŞTIINŢE . International Thomson Publishers, SA

Frost, J. (2021, 10 mai). Regula înmulțirii pentru calcularea probabilităților . Statistici de Jim. https://statisticsbyjim.com/probability/multiplication-rule-calculating-probabilities/

Regula înmulțirii, exerciții rezolvate . (2021, 1 ianuarie). MateMobile. https://matemovil.com/regla-de-la-multiplicacion-o-producto-de-probabilidades/

Regula înmulțirii probabilității . (nd). Tutori de facultate. https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/multiplication-rule-of-probability

Regulă de înmulțire (probabilitate) [Exemple] . (nd). Fhybea. https://www.fhybea.com/multiplication-rule.html

Regula generală a înmulțirii . (nd). Academia Khan. https://www.khanacademy.org/math/ap-statistics/probability-ap/probability-multiplication-rule/a/general-multiplication-rule